關(guān)于行列式展開(kāi)機(jī)制的再探究

徐斌

關(guān)于行列式展開(kāi)機(jī)制的再探究

徐斌

（普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 普洱 665099）

以分類(lèi)求和為觀點(diǎn)結(jié)合逆序數(shù)理論對(duì)行列式的展開(kāi)機(jī)制進(jìn)行探究，得到了排列標(biāo)的全求和公式、逆序數(shù)降階公式及逆序數(shù)拆分公式．利用所得公式對(duì)行列式的展開(kāi)問(wèn)題進(jìn)行研究，給出了行列式按行展開(kāi)以及Laplace展開(kāi)等定理純計(jì)算式的新證明，通過(guò)這樣的研究增進(jìn)了對(duì)行列式展開(kāi)機(jī)制的認(rèn)識(shí)．

行列式展開(kāi)；排列標(biāo)的全求和；逆序數(shù)降階；Laplace展開(kāi)

1　引言及預(yù)備知識(shí)

數(shù)學(xué)中求和是一個(gè)很普遍的運(yùn)算，當(dāng)引入形式化的符號(hào)之后就形成了具有各種結(jié)構(gòu)的求和模式[1-2]，而行列式就是一種具有排列標(biāo)的全求和結(jié)構(gòu)的求和式[3-4]．本文以分類(lèi)求和為觀點(diǎn)，結(jié)合逆序數(shù)理論[5-6]對(duì)行列式的展開(kāi)機(jī)制進(jìn)行再探究．

2 主要結(jié)果及證明

定理1排列標(biāo)的全求和公式為

證畢．

3　以分類(lèi)求和觀點(diǎn)探究行列式的展開(kāi)

3.1　行列式按第行展開(kāi)定理的新證明

證明根據(jù)行列式的定義，有

證畢．

3.2　 Laplace展開(kāi)定理的新證明

證畢．

4　結(jié)語(yǔ)

本文以分類(lèi)求和為指導(dǎo)思想，通過(guò)定義一套專(zhuān)用符號(hào)并推證出基于這套符號(hào)系統(tǒng)的幾個(gè)重要公式，再利用這些公式對(duì)行列式的展開(kāi)機(jī)制進(jìn)行探究，給出了行列式按行展開(kāi)以及Laplace展開(kāi)等定理純計(jì)算式的新證明．通過(guò)這樣的研究厘清了行列式這種求和結(jié)構(gòu)的內(nèi)在機(jī)制，并且提供了一套嚴(yán)密的形式化求和模式，這對(duì)于將行列式這套高效的計(jì)算技術(shù)推廣到其它抽象結(jié)構(gòu)中（如交換環(huán)）是有所助益的．

[1] 徐斌．一個(gè)新求和公式及其在微分學(xué)中的運(yùn)用[J]．高師理科學(xué)刊，2018，38（4）：4-6

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)[M]．5版．北京：高等教育出版社，2019

[3] 張禾瑞．高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，1999

[4] 林亞南．高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2013

[5] 徐斌．逆序數(shù)降階公式及Laplace定理的新證明[J]．普洱學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（6）：29-31

[6] 徐斌，李勝平．矩陣乘法的推廣及運(yùn)用[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2013（5）：87-90

[7] 盧開(kāi)澄，盧華明．組合數(shù)學(xué)[M]．3版．北京：清華大學(xué)出版社，2002

[8] 屈婉玲．組合數(shù)學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2002

[9] 張禾瑞．近世代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2001

[10] 楊子胥．近世代數(shù)[M]．3版．北京：高等教育出版社，2011

A further study on the determinant expansion mechanism

XU Bin

( School of Mathematics and Statistics，Pu′er University，Pu′er 665099，China )

From the point of view of classified summation and the theory of inverse ordinal number，the expansion mechanism of determinant is explored．The total sum of permutations formula，reverse ordinal number reduction formula and reverse ordinal number split formula are obtained．Using the formulas to study the expansion of determinant，a new proof of pure calculation formulas is given for theorems such as expand determinant by row and Laplace expansion．Through such a study，the understanding of determinant expansion mechanism is enhanced．

determinant expansion；total sum of permutations；inverse number reduction；Laplace expansion

O151.2

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.04.004

1007-9831（2020）04-0016-04

2019-12-12

徐斌（1983-），男，云南玉溪人，講師，碩士，從事代數(shù)研究．E-mail：puerxubin@163.com