基于經歷教學的“二元一次方程組的應用”教學及其分析

摘 要：課堂教學過程是學生主動經歷的教學活動.學生一步步經歷教材預習、知識探索、問題解決、結論概括、體系構建.體現課堂是培養學生核心素養的活動.學生的經歷不僅在認知上提升知識構建，而且在過程與方法上提升處理問題的能力，甚至在情感與價值觀上建立實踐與堅持的品質.

關鍵詞：經歷教學;教學分析;學生經歷

作者簡介：金明陽（1987-），男，浙江紹興人，本科，中學一級教師，研究方向：中學數學課程教育教學研究.

1 背景介紹

在課堂改革的教學實踐中，經歷教學是學生能親歷親為、親自感受一些現象、事情、活動、情感等一種教育理念及其教育行為方式.在課堂中教師通過豐富的情境設置，多樣的教學活動，不同的教學手段引導學生主動參與課堂，經歷知識的發生、發展、延伸、拓展的過程，并在此過程中不僅獲得知識的掌握與運用，而且還可培養學生的數學素養.

本文以浙教版《數學（七下）》“2.4二元一次方程的應用”第一課時為載體，以課堂教學中存在學生對題目束手無策，課后做題不知所措等一系列問題為思考，從而反思到教學中學生的“經歷”知識的認知不到位，對運用知識的能力不夠.鑒于此，筆者在反復深究學生思維層次與教學目標中，基于經歷教學的方式，對這堂課再次設計與改進.以下是簡錄部分教學過程.

2 教學實錄

2.1 新知探究中經歷知識的產生

問題1 一水壩的橫截面是梯形，它的面積為42m2，高為6m，下底比上底的2倍少1m，則上底和下底的長各是多少米？

生1：設上底為x米，則下底為（2x-1）米.

根據題意，可知3x+3（2x-1）=42.

解得x=5，下底=2x-1=9米.

答：上底為5米，下底為9米.

師：這是很好的方法，誰來給大家解？

生2：如果設上底為x米，從“下底比上底的2倍少1m”找到突破口，下底為（2x-1）m，然后根據面積列出方程.

師：好，我們繼續思考這有幾個未知量？有沒有其他方法？

生3：兩個，所以可以設兩個未知數.設上底為x米，下底為y米.

根據題意，可知

3x+3y=42，y=2x-1.解得x=5，y=9.

答：上底為5米，下底為9米.

師：我們來比較一下這兩種方程.

生4：第一種思維方式很容易想到.

生5：第二種好，思維比較簡潔，列方程組不用考慮哪個未知量設元.

生6：通過計算說明，二元一次方程組的解決是“走向”一元一次方程來解決，各有各的優勢.

師：總結，另外提出思考：設下底為x米，又該怎么做？

設計意圖 （1）讓學生經歷“用”——學生隨著題目的思維而調動，看到“下底比上底的2倍少1m”，學生直接是一元一次方程的方式解決，這需要肯定.數學的教學就是復雜問題簡單化.本節教學點是用二元一次方程組的應用經歷來解決問題，產生了學生思維與教學設計的“矛盾”，這時需要去引導，便設置：問題中有幾個未知量？也可以設幾個未知數？從而恰到好處地引出新知主題.

（2）讓學生經歷“解”——二元一次方程組的解決是轉化到一元一次方程，轉化中包含著兩種方式，即代入消元與加減消元.注重過程的經歷是讓學生明白本質，從而更好運用.

（3）讓學生經歷“思”——教師設置的問題的導向基于學生經歷與教學目標相結合，對“一題一總結”的方式，有利于學生在經歷中加深感受，在總結中回味無窮.

（4）讓學生經歷“再思考”——教師總結與提出另一種思路，讓學生體會多種方法解決這類問題，拓展學生思維.

2.2 新知歷練中經歷知識的發展

問題2 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽.如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍，問男孩與女孩各有多少人？

部分學生一看問題已開始做題，另外部分學生仍在積極思考，前者經歷了方程組列出與解答，初步已有了處理問題的經歷，這時讓學生總結這“經歷”的過程，得出解決問題的步驟.對于還無法解答的學生，教師及時干預學生思維，產生“經歷”過程，從而解答問題.設置下列問題.

思考：（1）問題中所求的未知數有幾個？

（2）有哪些等量關系？

（3）怎樣設未知數？可以列出幾個方程？

（4）可否僅設一個未知數？用一元一次方程來解決？效果怎樣？

（5）想一想，上面整個思考過程中，你經歷了哪些問題解決的基本步驟？

師：誰來回到問題（1）？

生7：有2個，男孩人數、女孩人數.

師：好，精準“定位”了，那么，問題（2）呢？

生8：①男孩人數-1=女孩人數;②男孩人數=2（女孩人數-1）.

師：這是最關鍵一步，在問題中提煉等量關系.那問題（3）呢？

生9：可設男孩x人，女孩y人，則由題意得 x-1=y，x=2y-1，解得x=4，y=3.

師：那問題（4）呢？

生10：可設男生有x人，則女生的人數有（x-1）人，則由題意得，x=2（x-1），解出x的值即可.

生10：在列出方程組時有點不確定，在算出答案后與剛才的方法算出的答案一樣，才肯定.

師：這的確是解決問題的最好“經歷”，有時候尋找解問題的路很多不確定，甚至迷茫中潛行，但在“未知”中尋找正確之路，這種“堅持”值得學習，此類問題，反而覺得“二元一次方程組解決問題”比“一元一次方程解決問題”簡單多.能否歸納出解決問題的步驟？

生12：列方程組解應用題的一般步驟：審→設→找→列→解→答.

師：非常好，總結的板書如下：

設計意圖 （1）讓學生經歷“模仿”——當問題所求的未知數有兩個時，用字母來表示未知數往往比較容易列出方程.要注意的是必須尋找兩個等量關系，列出兩個不同的方程，組成二元一次方程組.

（2）讓學生經歷“充實”——學生對問題（4）（5）的討論最激烈.學生的思維從單一的方法解決問題轉向多維度、多方法解決問題.

2.3 題型演練中經歷知識的拓展

問題3 用如圖2中的長方形和正方形紙板作側面和底面，做成如圖 3的豎式和橫式兩種無蓋紙盒.現在倉庫里有1000張正方形紙板和2000 張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完？

師：做一個豎式紙盒需要幾張長方形紙板和正方形紙板？做一個橫式紙盒呢？請填寫下表.

生一起：設做豎式紙盒x個，橫式紙盒y個.根據題意得x+2y=1000，4x+3y=2000，解得x=200，y=400.經檢驗，這個解滿足方程組，且符合題意.

答： 做豎式紙盒200個，橫式紙盒400個，恰好紙板用完.

變式1 如果上題中的條件改為倉庫里有正方形紙板500 張，長方形紙板1001張，那么能否在做成若干支所說的兩種紙盒后，恰好把庫存的紙板用完？說明你的理由.

變式2 對于變式1的紙板張數，不能完全恰好用完，那么在節約的前提下，如何組合可以做出更多的盒子？說說你的理由.

變式3 將問題3中的條件改為：正方形紙板有a張，長方形紙板有b張，若恰好把這些紙板用完，請問a，b應滿足怎樣的關系？

變式4 將問題3中的條件改為：庫存長方形紙板2000張，正方形紙板若干張，那么，要做成豎式紙盒和橫式紙盒共600支，且恰好把庫存紙板用完，需要正方形紙板多少張？

變式5 將問題3中的條件“無蓋”改為“有蓋”.其他條件不變，此題是否有解？如果無解，怎么處理？說說你的想法.

設計意圖 （1）這環節的問題3 的設置讓學生經歷知識的延伸與拓展，問題的演變本質是不變的，問題3采用列表的方式，讓學生的“經歷”更加充實與明了，這樣往往比較容易列出方程.要注意的是必須尋找兩個等量關系，列出兩個不同的方程，組成二元一次方程組.

（2）以“問題串”的形式開展合作交流解決問題，讓學生經歷更加充實、具體，把課堂真正地還給學生，在“經歷”中，提升學生的思維能力和合作交流能力.

3 教學分析

3.1 教學過程分析

本節課的教學重點是讓學生經歷和體驗用方程組解決實際問題的過程，抓住實際問題的等量關系建立方程組模型.教學難點是在探究過程中分析題意，由相等關系正確地建立方程組，從而把實際問題轉化為數學問題.教學中，為了突破重難點，主要讓學生經歷獨立思考、自主探索、合作交流、估算驗證等學習方式，在思考、交流等數學活動中，養成嚴謹的思維方式和良好的學習習慣，在解決這些實際問題中，體現了以學生發展為本，讓學生積極參與并且有效參與.

3.2 教學后續思考

3.2.1 “例題經歷”分析

學生解一系列的“變式”題“經歷”體驗，即學即用，能想出列方程組的方法，甚至學生之間相互出題，這是實施方案中的最大成功.“經歷”體會方法多，方法好，擴展了學生的思維，從而樹立學習的信心，激發學習的積極性，讓學生真正成為課堂的主人.

數學是一門精確的學問，也是一門發散的學問，如在“變式”的最后一問中，對這些孩子具有跳躍性與開放性，促使學生深度思考.教師應該更多地引導與積極鼓勵學生發散思維，拋開固有模式，充分體現學生個性化能力.

3.2.2 “變式題經歷”思考

對于變式的拓展也可從方程組出發，讓學生編寫應用題，反角度去思考與拓展，讓知識經歷從“形”到‘體，又經歷從“體”到“形”.這樣設計是不是更完美一些，學生編題不是一件輕而易舉的事情，編寫的有層次、有深度、有思考，更加可以體現學生的思維深度與廣度，精心構思更是一種高級的思維能力.

學習即經歷，學生面對數學問題，學會用簡單的方式解決就是最好的學習效果.數學課標中要求發展人人學有價值的數學，學生“經歷”活動即是一種“價值”的教學.這樣的經歷教學，讓學生真正實現自我價值，真正地培養學生解決問題的能力，不僅是知識上的螺旋式提升，而且更是思維提升與能力上的價值體現.

參考文獻：

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（收稿日期：2020-02-04）