任務驅動 自主轉化

周春芝 徐花

【摘要】計算教學既要掌握算法，同時也要理解算理。算理是算法的基礎，只有明確了算理，才能有助于算法掌握，二者相輔相成，不可偏頗。而計算教學經常運用轉化的策略來探究算理，以舊引新，引導學生自主探索算理和算法，不斷積累學習經驗和技能，逐步培養學生的數感，最終落實學科素養。

【關鍵詞】轉化策略? ?估算? ?數學推理

“小數乘小數”這節課是在學生已經學習了小數乘整數，以及“小數點的移動引起小數大小變化的規律”的基礎上開展教學的。在前面小數乘整數時，學生已經習得利用轉化的策略，把小數乘整數轉化成整數乘法，最后根據乘數中小數的位數確定乘積中小數的位數。可以說學生已經積累了一定轉化技能和學習經驗，也體驗了轉化策略的價值。這節課學生只要利用同化技能，把前面積累的經驗和方法遷移到這節課中，自主探究小數乘小數的算理和算法，就能掌握基礎知識和基本技能。但這個過程應該由學生自己“摸著石頭過河”，由此獲得經驗和感悟才是深刻的。這節課筆者先后觀摩過兩位教師的執教過程，由于教學理念不同而帶來不同的教學效果，由此形成了強烈的對比，不由得引起了筆者的反思。

案例一：

1.復習

（1）口算（略）。

（2）列豎式計算：0.72×6。

（3）反饋交流：小數乘整數怎樣計算？

生：先把小數看作整數……

（4）揭示課題。

2.教學例題

出示例題（學生看圖，并收集信息）。

師：你能提出哪些數學問題？

生：①房間的面積是多少平方米？②陽臺的面積是多少平方米？總面積是多少平方米？

師：我們來解決第一個問題，你能列式嗎？

生：3.2×3.8。

師：你能估算一下房間的面積大約是多少平方米嗎？

生：3.2×3.8≈9（平方米），3.2×3.8≈12（平方米），3.2×3.8≈12.8（平方米），3.2×3.8≈11.4（平方米）。

師：通過估算發現這個房間的面積在9～12平方米之間，大約是12平方米左右。

師：準確的結果是多少？還需要……

生：可以通過豎式進行計算。

你打算用豎式來計算3.2×3.8時，把3.2和3.8可以看作多少來計算？

生：把3.2×3.8看成32×38。

師：那3.2→32乘數有什么變化？3.8→38呢？積又有什么變化？

生：3.2→32乘數擴大10倍，3.8→38乘數擴大10倍，積就擴大了100倍。

師：要想得到原來的積怎么辦？

生：用得到的積除以100，也就是把小數點向右移動兩位。

以上教學片段中，整個教學過程流暢，學生似乎在老師的“牽引”下都能運用轉化策略計算小數乘小數，而且通過后面有針對性、有層次性、有比較性的鞏固練習，學生的計算技能、技巧都得到了鍛煉和提高，并且從當場反饋的情況來看，學生的正確率較高。但實際這樣的學習過程是被動、機械、模仿式的學習過程，學生的體驗并不深刻，基本活動經驗和數學思想沒有得到有效的落實。

案例二：

師：3.2×3.8，看一看和之前學習的知識做比較，有什么不同？

生：之前學習的乘法中只有一個乘數是小數，另一個乘數是整數。

師：今天老師不講，由你們自己研究，能不能用學過的知識來解決這個新問題。如果遇到困難可以尋求幫助，也可以共同研究解決，好嗎？

（生自主嘗試用豎式計算，2分鐘后匯報、交流）

師：說一說，你遇到了什么困難？

生：不知道小數點應該點在什么位置。

師：誰有辦法來確定乘積中小數點的位置？

生：我是通過估算來確定小數點的位置的。因為3.2×3.8≈12，所以小數點應該在數字“2”和第二個數字“1”之間，積是12.16。

師：為什么不在其他位置點上小數點呢？

生：因為在其他位置點上小數點后，得到的積與估算的結果相差太大了，所以不可能。

師：如果你能舉例說一下就更好了。

生：如果在數字“1”和“6”之間點上小數點，得數是121.6，而通過估算正確的乘積大約是12左右，所以不可能點在這個位置。如果點在其他的地方也是一樣的道理。

師：看來估算不僅能知道結果大約是多少，而且能夠幫助我們確定小數乘小數中積的小數點的位置，真是一舉多得。還有不同確定小數點位置的辦法嗎？

生：我把3.8米改寫成38分米，3.2米改寫成32分米，相乘得1216平方分米，改寫成用平方米作單位，用1216÷100=12.16（平方米）。

師：以后在計算小數乘小數時，不能總帶上單位名稱一起參與計算吧，況且有些單位名稱之間的進率不是10，比如，“小時”和“分”之間的進率是60，再用這樣的方法就顯得比較麻煩，能不能尋找一種通用的、不依賴單位名稱，并能確定小數點位置的方法？

（生沉思不語）

師：需不需要提示一下？

生：需要。

師：能不能從乘法中乘數的變化，引起積的變化規律中尋找方法呢？請同學們先小組討論。

（1分鐘后學生匯報交流）

生：把3.8看作38乘數擴大10倍，3.2看作32乘數又擴大10，那么算出的得數就擴大100倍，要想得到原來的得數，就用1216除以100得出12.16。

師：我在下面看到有兩位同學是這樣豎式計算的，我們請這兩位同學說一說自己的想法。

生1：把3.2看作32，先用2乘3.8得7.6，所以就在7和6之間點上小數點。再用3乘3.8得11.4，所以就在數字4前面點上小數點。

師：那上下兩個小數點不對齊怎么辦？

生1：我也不知道，剛才聽同學說大約是12，所以就在數字“2”和“1”之間點上小數點。

生2：我和他想的差不多，2乘3.8得7.6，3在十位上表示30，30乘3.8得114，所以小數點就在數字“4”的后面，開始想在數字“1”和“6”之間點上小數點，但是和估算的結果相差很多，所以就在數字“2”和“1”之間點上小數點。

師：誰能幫一幫他們，解決他們心中的疑惑。

生3：我認為兩次算乘法的時候不要點小數點，因為我們已經把這兩個小數看成整數來計算。其實就是算2×38和30×38，所以兩次算出的得數也就沒有小數點。

師：那為什么相加后，要點上小數點呢？

生4：因為相加后不是原來的積，而是32×38的積，要想得到原來的積必須要點上小數點。

師：通過剛才這幾位同學的發言我們發現，每乘一次都考慮小數點的位置顯得很麻煩，而且到最后都無法說清楚小數點的位置應該在哪里，不如把兩個乘數都看成整數來計算，最后綜合來考慮小數點的位置。

師：通過前面同學的討論，發現乘法中積的變化規律和其中的每一個乘數都有關聯。那么積的小數位數和乘數的小數位數有聯系嗎？如果有，又是什么聯系？

生：第一個乘數的小數位數是一位，第二個乘數的小數位數也是一位，積就是兩位小數，1加1等于2。

師：這只是一個猜測，我們再來看看其他小數乘小數是不是也有這樣的規律，我們來解決第二個問題。

……

小數乘小數在“小數乘法和除法”這一單元中起著承前啟后的作用。它既是前面小數乘整數知識的延伸，又為后面除數是小數的除法計算做好策略層面的鋪墊。其中隱性的轉化策略則是一條主線貫穿整個單元。而轉化的價值經常表現為溝通新舊知識之間的聯系，化新為舊，利用已有的知識經驗解決新的數學問題，是有意義學習的表現。當然轉化的方法學生可以通過模仿獲得，但更重要的是轉化思想需要學生自己感悟和體驗。只有學生通過自主參與，深入研究，才能夠有效鍛煉自己的推理能力和邏輯思維能力。

一、估算是被動行為嗎

新課標指出：能在解決問題的同時，選擇合適的估算方法，培養學生的估算意識和習慣。可以看出，估算意識和習慣的養成需要教師在平時的教學中捕捉時機，引導學生自主、靈活選擇估算去解決問題，從而感受估算的價值和便捷。所以說估算不應流于形式，不應成為學生的被動應答行為。案例一中估算的要求是教師發出的一道“指令”，學生只是在執行這道“指令”，而行為主體卻沒有主動采用估算解決問題的意識;但案例二中估算是學生為了解決確定小數點的位置而產生一種實際內需，這時的估算行為已經上升為一種策略，顯然要比單純為估而估要高明得多。通過對比發現，如果單純地學習估算，那只是一種技能，技能可以通過一定量的訓練得到鞏固和強化，但是“為什么要估算？何時采用估算？”這樣的意識問題卻得不到最終的解決。如果讓學生帶著問題去主動運用估算，這樣獲得的價值也許會更多。因為估算不僅可以發展學生的思維，培養學生的直覺思維能力，而且可以發展學生對數的認識，培養學生的數感，提高學生在學習和生活中的預見能力和判斷能力。

二、例題僅是“敲門磚”嗎

教材不僅僅是個例子，它是師生共同對話的文本，所以教師在走進課堂前首先要做的就是研究教材，深刻吃透教材的要義，然后最大限度地用足、用好教材，讓每個例題發揮它應有的價值。然而案例一中的教師僅僅將教材的例題看作一塊“敲門磚”，在學生觀察收集數據并提出問題后就束之高閣了。可是翻閱這一單元的教材，不管是前面的例題1（小數乘整數），還是后面的例題10（除數是小數的除法），其中例題已經暗含了利用單位名稱的改寫來實現知識之間的轉化的編寫意圖，這是教師缺位的一種表現。案例二中，教師則充分相信學生的主觀能動性和學生已經積累的學習經驗，利用單位名稱之間的改寫來實現新舊知識之間的轉化，化新為舊，從而求出房間的面積，體現了轉化策略的多樣化，也為后面除數是小數的除法計算再次作了策略和經驗層面的積累。通過兩個案例對比，再次驗證了那句教育名言：教師既要備教材，也要備學生。教師要充分信賴學生的能力，讓學生自主尋找轉化的路徑，這樣才能培養學生獨立自主學習的能力。

三、學生的錯誤可以忽視嗎

錯與對是一對矛盾體，二者之間可以相互轉化。沒有“錯”，哪來“對”。恩格斯說過：最好的學習是從差錯中學習。案例一中學生的探究活動是在教師的“牽引”下亦步亦趨的學習活動，這樣的探究活動學生不需要作出克服困難的意志努力，探究的味道自然不濃;案例二中學生真實探究后產生不同的錯誤計算方法，教師沒有視而不見，而是直面學生的錯誤，并不惜時間讓學生自己說明計算過程。同時通過辨析，學生也明確解決問題的方向，就是最后一次性來考慮積的小數點的位置，中途不需要考慮小數點的位置。雖然這樣的探究過程比較曲折、費時，但卻能最大限度地暴露學生最真實的思維狀態，學生也能從錯例中汲取經驗，不斷修正自己的思維方向，從而找到解決問題的最佳路徑。

四、運算推理的過程可以替代嗎

陳省身院士曾說過：“經驗不可替代，過程無法超越。”本節課從思維形式上進行講述，轉化過程也就是推理過程，但這個過程是別人無法替代的，需要學生自己運用已有的知識去實現自主推理，把小數乘小數的算理弄明白。而在這個過程中，教師只能起到引領者、組織者和對話者的角色。案例一中教師通過一問一答的形式讓學生完成推理的過程，這樣的學習活動教師“調控”太多，沒有充分考慮學生已經積累了一定的基礎知識和學習經驗。案例二中教師則放手讓學生利用乘法中乘數變化引起積的變化規律自主去完成推理過程，并且通過觀察兩個乘數中小數位數與積的小數位數之間的聯系作出大膽猜測，激發學生探究的欲望，使學生保持高昂的情緒繼續投入下面的探究活動中去。