基于CVaR投資組合優(yōu)化的迫近束方法子問(wèn)題及其對(duì)偶

沈 潔， 趙予嘉， 姜興睿， 王朗迪

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

在投資過(guò)程中,希望收益越大越好,相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)越小越好.在該條件下，Krokhmal[1]證明了以下3種風(fēng)險(xiǎn)投資中的經(jīng)典模型,即風(fēng)險(xiǎn)極小化模型、期望收益極大化模型、風(fēng)險(xiǎn)厭惡模型是等價(jià)的,故可以選擇其中一種展開(kāi)研究.束方法是目前公認(rèn)的求解非光滑優(yōu)化最有前景的算法之一,可分為迫近束方法、信賴域束方法、水平束方法等[2].對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題,可通過(guò)引進(jìn)改進(jìn)函數(shù)[3]將其轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,便于求解.本文基于CVaR最小化的投資組合問(wèn)題,采用束方法對(duì)其進(jìn)行研究,從對(duì)偶角度進(jìn)行分析,得到其子問(wèn)題解的表示式,同時(shí)得到其中一些相關(guān)重要關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)及模型簡(jiǎn)介

首先給出與束方法相關(guān)的一些預(yù)備知識(shí)及投資組合優(yōu)化問(wèn)題的CVaR模型.

定義1(次微分) 設(shè)f(x)是n上凸函數(shù),稱

?f(x)={ξ∈n|f(y)≥f(x)+ξT(y-x),?y∈n}

為f在x點(diǎn)的次微分,向量ξ∈?f(x)稱為f在x處的次梯度,相應(yīng)不等式稱為次梯度不等式.

(1)

為束方法在迭代過(guò)程中產(chǎn)生的下一個(gè)候選點(diǎn).其中,μk>0為迫近參數(shù),當(dāng)割平面近似最小值點(diǎn)與當(dāng)前穩(wěn)定中心距離太遠(yuǎn)時(shí),可以通過(guò)減小μk,增大懲罰去除候選點(diǎn),從而每次迭代都會(huì)產(chǎn)生與當(dāng)前穩(wěn)定中心較接近的試探點(diǎn).對(duì)xk+1進(jìn)行下降性檢驗(yàn),若下降充分則執(zhí)行下降步,否則,執(zhí)行空步,穩(wěn)定中心保持不變.

定義3(VaR(風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值)和CVaR(條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值))[4]假設(shè)一投資組合,其投資權(quán)重為x=(x1,x2,…,xn)T,y∈n表示投資的損益.假設(shè)y的概率密度函數(shù)為p(y),損失函數(shù)f(x,y)=-xTy，則f(x,y)為隨機(jī)變量.假設(shè)損失變量y服從的分布函數(shù)為其中，α為某一臨界值,則在置信水平β∈(0,1)給定的情況下，VaR定義為

αβ(x)=min{α|ψ(x,α)≥β}.

CVaR定義為

基于CVaR的投資組合的優(yōu)化模型一般具有如下形式[5-6]：

(2)

模型：?jiǎn)纹谕顿Y組合的CVaR模型

令m=E(y),則E[xTy]≥R就是xTm≥R，單期投資組合的CVaR模型為

(3)

問(wèn)題(3)為凸規(guī)劃,所以其全局最優(yōu)解與局部最優(yōu)解相同,又由于問(wèn)題(3)為非光滑凸規(guī)劃問(wèn)題,因而可利用束方法對(duì)其進(jìn)行求解.一般束方法在求解下一個(gè)候選點(diǎn)xk+1時(shí)等價(jià)于求解一個(gè)無(wú)約束二次規(guī)劃子問(wèn)題,因此,不妨利用指示函數(shù)將CVaR模型中的約束集直接添加到二次規(guī)劃子問(wèn)題中進(jìn)行求解.

求解CVaR模型的懲罰束方法：

求解問(wèn)題(3)的下一個(gè)候選點(diǎn)(xk+1,αk+1)相當(dāng)于求解下述二次規(guī)劃子問(wèn)題：

(4)

其中,

問(wèn)題(4)可以等價(jià)的寫(xiě)成

(5)

(6)

對(duì)于指示函數(shù)iD(x,α),利用類(lèi)似的割平面思想構(gòu)造以下的模型：

其中,?iD(xi,αi)=ND(xi,αi)={(z1,z2)|〈(z1,z2),(y1,y2)-(xi,αi)〉≤0,?(y1,y2)∈D},則問(wèn)題(5)又可等價(jià)表示成

(7)

定義4設(shè)(x*,α*)為問(wèn)題(6)的最優(yōu)解,令(xk+1,αk+1)=(x*,α*), 將期望下降量定義為

(8)

定義5將

2 對(duì)偶問(wèn)題及一些重要關(guān)系

通過(guò)研究問(wèn)題(6)，得到以下主要結(jié)論：

定理2.1令(xk+1,αk+1)是問(wèn)題(6)的唯一解,則

(9)

是下述問(wèn)題的最優(yōu)解:

(10)

且下述結(jié)論成立：

證問(wèn)題(6)可以改寫(xiě)成求解下述二次規(guī)劃問(wèn)題：

(11)

合并同類(lèi)項(xiàng)得到：

考慮上述對(duì)偶問(wèn)題.對(duì)于每個(gè)給定的γl∈Δk,(l=1,2),記

根據(jù)最優(yōu)性條件，

(12)

故結(jié)論(9)成立.

即

(13)

下面證明結(jié)論(2)成立.首先,因?yàn)樵訂?wèn)題和對(duì)偶子問(wèn)題沒(méi)有對(duì)偶間隙,故問(wèn)題(6)的最優(yōu)值和對(duì)偶子問(wèn)題(13)的最優(yōu)值相同：

因此, 聯(lián)立式(7)和式(8),得到

利用式(10),上述不等式還可以寫(xiě)作：

由vk原始定義和結(jié)論(2),有

故此結(jié)論(3)成立.

3 結(jié) 論

本文對(duì)CVaR模型的優(yōu)化問(wèn)題展開(kāi)研究,利用迫近思想給出原子問(wèn)題和對(duì)偶子問(wèn)題的解的顯式表示，并且得到了與次梯度和近似次梯度有關(guān)的重要結(jié)論,這些結(jié)論對(duì)于分析算法收斂性有至關(guān)重要的作用.