讓思維再往前走一步

張紹華

【摘要】在運用教材進行教學的過程中，筆者發現有一些練習題不容錯過，值得深度開發，花上一節課的時間與學生們分享。這些題目是學生們數學學習中思維的難點、觸發點和滲透點。用好這“一題”，以探究問題的策略為切入點進行教學設計，開發為“一課”，讓一道題引領學生的思維再往前走一步。

【關鍵詞】一題一課 探究問題 策略

一、課程開發的背景

自學習10以內加減法開始，學生就不斷接觸到這樣的組題（下稱“加減題組”）：

在教師的引導下，學生們慢慢能夠完整地表達出：第一個加的數是1，之后加的數比前一個大1，結果也一個比一個大1。后來只要學習了新的加減法計算（包括口算和筆算），從新授到練習再到復習，都會有機會接觸這樣的組題，但學生并沒有機會深入體會到加減法中的這些“規律”。

仔細翻翻教材（本文以蘇教版數學教材為例），類似的題目還真不少，下圖是一年級上冊總復習中的一道題（下稱“復習題”），當時講解了，人人會做，可是之后再遇到這樣的問題或是稍有變式，很多學生便不知所措，也就是說，這道題的解答只給學生留下了答案，并沒有給學生留下方法與智慧。

于是，筆者將類似的這些題目挑選出來，開發為一節課，以期望發揮其更大的價值，引領學生的思維再往前走一步。

二、“一題”的選擇

教材中的練習題，其主要價值是知識的鞏固與運用，適合開發為“一課”的題目畢竟是少數。那么如何將這些題目遴選出來呢？筆者主要從以下三個角度考慮：

1.學生思維的難點

“層次性”是練習題設計的基本特征之一，既然有層次性，那么總有習題成為一部分學生的學習難點。一年級的學生，解決問題的方式基本限于將所看到的條件進行運算，理解了一種排隊問題了，但以后遇到排隊問題的變式題，又無從下手了。所以雖然題目做過了，學生依然不懂不會，需要教師引導學生深入研究，真正獲得解決問題的方法和策略。

2.學生思維的觸發點

有些題目從知識的層面看并不難。例如四年級上冊有一道思考題（下稱“思考題”），按照教材的設計，學生只要畫一畫，觀察比較，找到其中的規律即可。但如果我們將問題的呈現改一下：平面上有50個點 （任意3個點不在一條直線上） ，過其中兩點畫一條直線，最多可以畫多少條直線？通過對這個問題的研究，可以觸發學生對“解決復雜問題，可以從簡單想起”這一探究問題策略的體會，而不僅僅只是做了一道題、發現一個規律。

有些題目的價值是多元的，如果能夠找到它對高階思維的觸發點，當然不容錯過。

3.學生思維的滲透點

根據“學習進階”理論，學生對某一知識特別是核心的概念、知識以及實踐的認知是一個不斷發展、完善、加深的過程，并不是在某一節課或是階段就能一步到位的。比如長方體、圓柱，從一年級開始就有了初步認識，到后面還要進一步認識其特征、會計算其表面積和體積。一年級上冊有這樣一題（下稱“卷紙題”）：同樣一張長方形紙，可以卷出不同的柱體，然而它們的容積不同（如下圖）。容積雖是六年級的內容，是否可以借此讓一年級的學生體會一下呢？這樣的滲透，會使學生有機會帶著對相關知識的思考期待下一階段的學習。

三、“一課”的開發

原本幾分鐘就解決的一道題，如何開發成一節課呢？結合現有的題目筆者嘗試以“探究問題的策略”為切入點進行課程開發。下面簡述幾個片段，來談談筆者的設計思路與內容開發。

1.四年級上冊“思考題”開發——從簡單想起

老子語：“天下難事，必作于易;天下大事，必作于細。”當面對復雜的問題無從下手時，不妨從簡單想起。

【案例】“從何想起”教學片段——一波三折 體會策略

初次嘗試：不知從何想起

師：算一算，積的個位數字是幾？

學生嘗試解答，并提出自己的困難：100個3相乘，乘數太多，算不完;積越乘越大，計算難度越來越大;一旦有一個積算錯，就全白算了，很難保證能得到正確答案……

二次嘗試：嘗試從“幾個3”想起

師：面對這么多困難，這個問題到底該從何想起呢？誰能給點思路？

生（討論）：可以先算幾個3相乘看看，有沒有什么規律;題目只要求積的個位是幾，所以每次乘的時候，只要算積的個位就可以了……

（通過嘗試，學生發現規律，解決問題）

再次嘗試：大膽從簡單想起

師：如果把這里的3換成任意一個自然數，你都能得到答案嗎？

生：能！

師：我題目還沒出呢，你們哪來的底氣就說能呢？

生：不管是100個幾相乘，我們都可以先算幾個，找到規律就能求出答案了！

【思考：100個3相乘，課程剛開始就把學生難住了，很多學生算了一會就沒信心繼續了。也有學生執著地算著，但也表示越算越難，還需要很多時間，一節課肯定算不完了。學生們被復雜的問題難倒了。當然也有學生不甘于此，想著另辟蹊徑：先少算幾個看看能不能有什么規律。這次嘗試中，學生發現算到第5個3，積的個位開始重復出現了，算到第8個3，兩組重復數出現了，據此規律，原來的難題便迎刃而解了。學生突然體會到，要解決復雜的問題，可以先從簡單的角度思考。當教師提出“如果把這里的3換成任意一個自然數，你都能得到答案嗎？”學生信心滿滿，因為他們有了“先從少數幾個算起”的好方法。】

解決新問題：方法遷移

平面上有50個點 （任意3個點不在一條直線上），過其中兩點畫一條直線，最多可以畫多少條直線？

【思考：既然100個3相乘可以從“幾個3相乘”想起，那么過50個點畫直線也可以從“過幾個點畫直線”想起。學生在方法遷移的過程中，體會到 “從簡單想起”的策略。在應用策略解決問題的過程中，不僅感嘆于“從簡單想起”的奇妙，也體會到之所以從簡單想起可以解決復雜問題，在于“規律”，從簡單中尋求規律，再運用規律解決復雜的問題。】

2. 一年級上冊“卷紙題”開發——猜想→驗證

就數學方法論的研究而言， 就有兩種不同的研究對象： 論證 （解決問題）的方法和猜測（發現問題）的方法。“猜想→驗證”是我們探索新知常用的方法。

【案例】“誰裝得紅豆多”教學片段——“猜想→驗證”之現場

現場一

當這兩個圓柱放在學生們眼前，有的學生是憑感覺、通過觀察猜的。但更多的學生是經歷了思考的：

生1：一樣多，因為一個高，但它瘦;一個矮，但它胖。就是抵消了。

生2：我也覺得一樣多，但理由和她不一樣，我覺得把那個胖胖矮矮的往上擠一擠，就和那個高高瘦瘦的一樣了。

生3：它們都是用一樣的紙卷出來的，肯定一樣多。

……

【思考：是的，學生們的結論都是錯的，可是他們的猜想是何等珍貴，生3的回答顯然是在進行合情推理;“把那個胖胖矮矮的往上擠一擠”，這是等積變形的思想！當學生用她最稚嫩、樸素的語言觸碰到數學的本質、核心時，難道這不是最美妙的時刻嗎？現場實驗結果，令大多數學生不得其解。他們初嘗了一種滋味：即使已是理由充分，答案也許還是錯的。恰恰是這樣的滋味讓學生們從對結果的期待與興奮，轉向靜靜地思考。】

現場二

當學生們目睹了兩個圓柱的實驗結果，再討論兩個長方體時：

依然有學生說一樣多，但不少學生表示：應該是第一個長方體裝得紅豆多，因為我們剛才的那個實驗，就是矮矮胖胖的圓柱裝得多，所以我想，現在也應該是矮矮胖胖的長方體裝得多。

【思考：學生們根據實驗的結果對自己原先的判斷進行審視和調整。他們重視實驗的價值，并根據實驗中的數據進行類比，這無疑又是一次理性思考的突破。】

現場三

師：這次你覺得哪個裝得紅豆多？

生1：應該一樣多，它們一樣高，也一樣胖。

生2：我覺得長方體多一些，因為它多出四個角。

生3：我也覺得一樣多，它們一樣高，你們再看，把它們倆對在一起，長方體多出了四個角，正好補在缺的那個彎彎的地方。

……

【思考：現場實驗結果再一次令多數學生大跌眼鏡：明明一樣高一樣胖了呀？在這次猜想中，學生們明顯更加謹慎、周到了。發言的學生還請求老師把兩個圖形對接在一起，然后指著圖形對大家說：“你們再看，把它們倆對在一起，長方體多出了四個角，正好補在缺的那個彎彎的地方。”由此可以看出，學生有了更加理性的思考。】

現場四

學生們已經在以上兩個環節中成功地進行了類比，但是當最后一次討論，這兩個圖形（下圖左）哪個裝得紅豆多時，他們都能從前一次實驗（下圖右）中得以類比，但還是呼吁：做實驗！學生表示：我還是想看一下實驗結果，才放心。

【思考：人們在科學探索中，何嘗不是如此，即使已是“嚴謹”“周密”的推理，但結論未必正確。學生們似乎隱隱覺察到這一點。這本身就是一種理性的思考，一種科學的精神。】

3.一年級上冊“復習題”開發——直觀畫圖

蘇教版數學教材中，“畫圖”的策略在四年級下冊才正式亮相，其實一年級的學生就已經有“畫圖”需求了，因為學生的認知特征，他們更需要用直觀的方式幫助自己理解問題、解決問題。

【案例】“調皮的‘1”教學片段

“1”躲躲閃閃——初試畫圖

第一題出來，有些學生無從下手：圖上“我”的后面明明只有5個人呀？還有的學生知道結果是9人，可是面對題目中的算式，不知該寫什么;全班有4個學生畫了圖。

于是教師展示了一個學生的圖：

師：誰能看懂他的圖？

生1：他用一個方框表示舉旗的小朋友，用8個圓圈表示后面的8個小朋友。

生2：可是書上明明只有5個小朋友啊？

師：是啊，書上不是有圖嗎？畫得又好看，為什么這個小朋友還要畫圖呢？

生1：他的圖沒有書上漂亮，但它很清楚。

生2：書上，有些小朋友被大樹擋住了！而他畫的圖把8個小朋友都畫出來了。

【思考：一個“清楚”道出了畫圖的價值：能夠清楚地表達數量間的關系。學生們也意識到了數學中的畫圖與色彩、美觀等非數學元素無關，關鍵是要幫助我們理解數量間的關系。也正因為這個學生的圖，讓躲躲閃閃的“1”慢慢清晰地展現在學生們眼前。】

“1”清清楚楚——親近畫圖

第二題出來，這次，大部分學生都畫了圖：

師：這次，你們為什么都先畫圖呢？

生1：畫圖，就能把大樹后面擋住的小朋友畫出來了。

生2：畫了圖，我就能看出，這個小男孩前面應該有7個小朋友。

生3：大家看圖，就知道一共8人，減去說話的這個小男孩，就是他前面的7個人了。

【思考：這個環節，已無須教師過多地干預，學生們自覺畫圖，體會到了畫圖的好處，并能夠結合圖，將算式中減去的“1”弄得清清楚楚。】

“1”無處可逃——迷戀畫圖

第三題亮出，學生們便開始埋頭畫圖，只是這幅圖畫起來有些難度，學生們畫畫、數數，又想想再畫畫。

意想不到的事情發生了，學生們有多種解題方法：

方法一：4+1+7=12

方法二：5+8-1=12

方法三：4+8=12

方法四：5+7=12

并且對于每一種方法，學生們都能結合圖，清楚地說出算式的意義。

【思考：這次，學生們算是迷戀上畫圖了，不僅是獨立做題時在畫圖，列式時都在看圖，特別是后面當小伙伴說出那么多種方法后，學生們都在仔細看圖，試圖從中找到算式的意義。當他們發現，每一個算式都能在圖中獲得合理的解釋時，感覺畫圖真好！】

意猶未盡一：

當大家都在感嘆畫圖的好處時，一個學生一盆涼水澆下來：我不需要畫圖，也能把這題做出來！

師：你是怎么想的？

生：“從前往后數，第5只是小鹿”，那我就能想象出來小鹿前面站了4只小動物，它又說“從后往前數，第8只是小鹿”，我就能想象出來小鹿后面站了7只動物，所以4+1+7=12（只）。

（一片掌聲又一陣安靜）

終于有一個學生說：我知道了，他是在腦子里畫圖的！

意猶未盡二：

下課了，又有一個小姑娘追過來：要是后面不是8人，是很多很多人，怎么辦，畫起來太麻煩了。教師回答說：這確實是個問題哦，你能不能想想辦法。結果當天家庭作業，她就給予了回應（見下圖）。

作業講評時，筆者就問學生們：這樣畫圖行嗎？有什么好處？

學生：可以，她用數代替小圓圈，一樣看得清楚，以后要是數大了，用這個方法特別好。

【思考：至此，學生們已愛上了畫圖，可以在頭腦中畫一畫，也可以用筆畫一畫;可以用圖形表示，也可以用數據表示。他們在思考著，如何用更簡潔、更合理的方式理解和表達數量間的關系，從而順利地解決問題。】

4. 一年級上冊“加減題組”開發——多元表征

萊什認為：學生必須同時具備以下條件才是真正理解了一個數學概念。第一， 他必須能將所學數學概念放入不同的表征系統之中;第二， 在給定的表征系統內，他能夠很好地處理這個概念;第三，他必須很精確地將此概念從一個表征系統轉換到另一個表征系統中，即在不同表征系統之間任意切換。因此多元表征可以促進學生對概念的理解。

【案例】 “加減法的秘密”教學片段

（1）多元表征，讓學生再思考

8+2=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8+4=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8+7=

當學生順利完成口算，并發現“一個加數是8，另一個加數越來越大，和也越來越大。”教師提出：“你能想辦法表示出這個發現嗎？可以講一講故事、擺一擺圓片，也可以畫一畫圖。”

來看看學生們的表征，他們盡可能地調動了自己的所有經驗：

講故事——現實情景表征

公交車上原來有8人，上來了2人，這時有10人;如果原來還是有8人，但上來了4人，就是12人;還是原來有8人，上來了7人，一共就是15人。原來都是8人，上來的人越多，車上的總人數就越多。

擺圓片——實物操作表征

學生說出擺圓片的過程，并強調：每組都是8個圓片，哪組增加的圓片越多，那么這組的圓片總數就越多。

畫圖——圖像表征

學生強調：每次都是8，加的數越大，和就越大，你們看，長方形都越來越長了！

符號表征

教師說：“我用‘——表示一個加數不變，用“↑”表示另一個加數越來越大，可以嗎？那么和也越來越大，怎么表示呢？”學生表示可以，并說和越來越大也用向上的箭頭表示。雖然不是學生主動選擇的，但他們接受了這樣的符號表征，因為他們在后來的交流中，也會用手勢表達箭頭方向，并在減法規律研究中，用“↓”表示越來越小。

【思考：對照萊什提出的數學概念外在表征的五種形式，每次學生都會說的“第一個加的數是1，第二個加的數比前一個大1，結果也一個比一個大1。”是口頭語言表征。可如果每次學生都停留在口頭語言表征層面，并不能代表也不能促進學生真正理解概念。“逼迫”他們調動已有經驗，嘗試多元表征，才能實現概念的真正理解。在上述環節中，我們看到，學生不僅能講故事，還能指出：“原來都是8人，上車的人越多，車上的總人數就越多。”擺圓片時強調“每組都是8個圓片，哪組增加的圓片越多，那么這組的圓片總數就越多。”畫圖時強調“長方形都越來越長了！”不是流于形式的講、擺、畫，學生在表征時會積極處理這個概念。】

（2）表征轉換，促進概念理解

當學生交流了自己講的故事、擺的圓片后，教師指出：誰能把講故事和擺圓片結合起來，指著圓片說說公交車上的故事呢？于是學生一邊指著圓片，對應地講著故事。

【思考：這是現實情景表征與實物操作表征的結合，也是轉換。事實證明，這種轉換能夠讓學生“更明白”。其實，之前學生擺圓片時強調的“每組都是8個圓片，哪組增加的圓片越多，那么這組的圓片總數就越多。”這句話更接近口頭語言表征，學生已經在自覺地將其與實物操作表征進行轉換了。在后面的環節中，學生進行圖像表征時，也會自覺地將其與現實情景表征（講故事）或口頭語言表征（強調“每次都是8，加的數越大，和就越大，你們看，長方形都越來越長了！”）或是符號表征（用手勢畫箭頭）等多種表征進行轉換。】

在“一題一課”的課程實踐中，筆者看得到學生們的成長。比如，當他們面臨新難題時，雖然不能確定是否能解決問題，但一定會有信心進行各種嘗試：從簡單想起、畫一畫圖或是舉一些例子看看。在平時，只要遇到題組練習，就會忍不住多想一想：有什么特點、什么規律、為什么會有這樣的規律…… “一題一課”的課程開發還在探索與實踐的路上，這一路上，師生相伴一起感受著數學的魅力，分享著思考的快樂。