函數思想在高中解題中的應用策略探究

摘?要：函數是描述客觀世界變化規律的一種數學模型，不同的變化現象可以用不同的函數模型來描述。而解決數學問題的過程就是應用各種數學思想、數學知識來分析客觀問題的過程，函數思想便是其中的一種。借助函數思想能夠有效地轉化一些較難數學問題，幫助學生提高解題效率和正確率。本文筆者重點以高中數學教學為例，探討函數思想在高中數學解題中的應用。

關鍵詞：高中數學;函數思想;解題

一、 前言

高中數學對于大部分學生而言是一門高難度課程，不僅需要學生扎實的理論基礎，同時也需要學生具備良好數學思維，合理應用不同數學方法、數學思想綜合分析問題，如此方可學好數學，解決數學問題。從歷年高考數學題型可以看出，高考更注重考查學生數學思維、綜合分析能力。從這一層面而言，我們數學教師在日常教學中應該注重學生數學思維培養，加強能力鍛煉。將函數思想貫徹于數學教學過程中，引導學生巧妙應用函數思想解決數學問題就是對學生思維能力培養的過程。所以，研究函數思想在高中數學解題中的應用已然成為新時代數學教學的重要課題。

二、 函數思想解讀

函數思想和眾多數學思想一樣，例如數形結合思想，它既是一種數學思想，同時也是一種解題方式。換言之即是：學習了函數相關知識，能夠利用變量與函數來分析各類數學問題，將其他類型的數學問題巧妙地轉化為函數問題，從而快速解題的過程就是函數思想的應用過程。從函數性質相關知識來看，指導學生應用函數思想解題的重點是啟發學生將函數思想作為一種思維工具，也就是面對一道數學題，首先可以從函數性質的角度切入，分析其是否能夠從函數的角度解題，如果可以，則根據題干構建出一個函數模型，或者直接利用函數性質分析問題，從而順利解決數學問題。

高中數學教學大綱明確指出：函數思想是高考重點考查的一種數學思維，對學生學習數學非常重要。倘若學生只掌握了函數知識，但卻不能夠靈活應用函數思想，這對解決實際問題也無甚幫助，在面對很多數學問題時，很難主動地想到用函數思想解題，尤其是遇到數列問題時，數列題型和函數題型看似關聯度不高，實則從本質而言，數列也是一種特殊函數。所以，指導學生靈活運用函數思想，定然是有利于提高學生解題效率的。

三、 函數思想在高中數學解題中的應用實踐

（一）應用函數思想解決不等式問題

不等式是高中數學教學的重要內容，也是高考數學必考內容之一，但不等式這部分內容相比較于其他數學內容而言，難度較小，也容易找到解題規律，其中函數思想就是解不等式的一種重要規律和技巧。利用函數思想、數形結合思想，根據函數圖象的分布區間可以直觀地表示不等式，節約了學生計算分析不等式的時間，同時還有利于提高解題效率。關于函數思想在不等式解題中的具體應用，筆者綜合多年經驗，總結了如下類型：

1. 利用函數的單調性解決不等式問題

函數的單調性常用來證明、判斷、比較數的大小、求單調區間等問題。通用范式就是將不等式轉化為函數f（x）≥a或f（x）≤a，左邊是函數y=f（x）解析式，若右邊a是某個自變量x′的函數值，即f（x′）=a，則可利用函數單調性直接解不等式。例如：已知函數f（x）=11+x+lg1-x1+x。①判斷函數f（x）的單調性;②求解關于x的不等式f[（x）（x-1）]<1。此題只需要建構函數模型，利用函數的單調性既可以解決問題。

2. 利用函數周期性解決不等式問題

在高中數學題型中，我們常常可以看到有些函數具有周期性，要求解決不等式。針對這類不等式與函數問題，我們只需要引導學生求解出長度為一個周期區間上的不等式解，即可以求出整個定義域內的不等式解。例如：已知函數f（x）對于一切x都有f（x+1）=f（1-x），當x∈[1，2]時，f（x）=logax（a>1），要求 x∈[-1，1]，f（x）的解析式;如果函數f（x）的最大值為12，解不等式f（x）>14。此題重點就在于函數周期性原理，只要學生掌握函數的周期性，就能夠巧妙地轉化問題，快速解題。

（二）應用函數思想解決數列問題

數列可以說是高中數學知識中比較復雜的一種題型，有些數列問題計算量大，容易出錯。但數列同時也是高中數學知識中比較有規律可循的一類問題，只要我們教師善于引導學生發現規律，結合函數知識，定能突破這一難題。通常，利用函數思想解決數學問題主要可以從如下幾方面著手：一是利用函數概念解決數學問題，比如函數圖象上坐標點的意義、復合函數的概念、函數零點概念等;二是利用函數圖象來直觀地分析數列問題，尤其是利用函數圖象的單調區間分析數列問題。關于數列和函數的轉化，筆者結合多年教學經驗，總結了如下規律表1：

數列通項公式對應函數

等差數列an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）y=ax+b（a≠0時為一次函數）

等比數列an=a1qn-1=a1q·qny=Aqn（指數型函數）

數列前n項和公式對應函數

等差數列Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）ny=an2+bn（a≠0時為二次函數）

等比數列Sn=a1（1-qn）1-q=-a11-q·qn+a11-qy=Aqn+b（指數型函數）

例如：①等差數列{an}中，Sm=Sn，（m≠n），則Sm+n=????。②等差數列{an}中，a1=25，前n項和為Sn，若S3=S11，n為何值時Sn最大？

第①題將數列轉化為二次函數，利用函數圖象對稱性即可解決;第②題可將等差數列的n項和Sn看成一個關于n的二次函數Sn=d2n2+a1-d2n，（n，Sn）是拋物線f（x）=d2x2+a1-d2x上的離散點，結合二次函數圖象開口，對稱軸等知識即可以解題。

實踐證明，利用函數思想轉化數列問題，不僅減小了數列題型的計算難度，同時也更加直觀形象，解題效率也更高。我們高中數學教師一定要在日常教學中指導學生應用函數思想解決數列問題，以函數的觀點去揭開數列神秘的“面紗”。

（三）應用函數思想解決數學應用題

數學應用題屬于綜合類題型，考查學生多方面能力，比如閱讀能力、理解能力、分析能力、轉化能力、解題能力。大部分學生對數學應用題都是“嗤之以鼻”的態度，常常畏懼應用題的難度，看到應用題就退縮。針對這一現狀，筆者在教學中嘗試指導學生利用函數思想解決數學應用題。以一般線性規劃問題為例，在教學實踐中，筆者重點引導學生將應用題的情境與函數對應起來，指導學生建立函數模型，具體解題步驟總結如下：

首先要求學生讀懂題意，結合題干中的變量x，y列出線性約束條件;其次指導學生確定線性目標函數z=f（x，y）;接著要求學生畫出可行域;最后直接利用線性目標函數作平行直線系y=f（x）（z為參數），觀察圖象找最值。整個過程其實是函數思想與數形結合思想的綜合運用。

例如：一工廠預備生產甲、乙兩類產品，生產這些產品的設備一共有A、B、C、D四種，甲、乙產品在各設備上需要的加工臺時數如下表格（表2）所示，已知各設備在計劃期內有效臺時數分別是12，8，16，12（一臺設備工作一小時稱為一臺時），一件甲產品可得利潤2元，一件乙產品可得利潤3元，該廠應該如何安排計劃，生產利潤才會最大？

解題分析：第一步指導學生列出關于產品甲和乙生產件數對應的函數分別將甲和乙看成是函數的自變量和因變量x，y，第二步，結合表格給出數量關系列出不等式，2x+2y≤12;x+2y≤8;4x≤16;4y≤12;x≥0;y≥0，第三步作畫，利用函數知識解題。

從目標函數z=2x+3y，作直線2x+3y=t，結合圖象可以看出，2x+3y=t在A點時，其與y軸的截距是最大的，此時t值最大，求出A點坐標為（4，2），也就是x=4，y=2時該廠獲得的利潤最大。將x和y的值再帶回目標函數，即可解得該廠的最大利潤值。

需要強調的是，利用函數思想解決線性規劃應用題時，我們要指導學生嚴格按照步驟解題，避免遺漏約束條件。當然，線性規劃類應用題實則也是數形結合思想的應用過程，我們在指導學生解決這類問題時，要重點培養學生數形結合思想，啟發學生讀題、畫圖、識圖、解題。

四、 結束語

綜上所述，高中數學問題是復雜多變的，考查的內容也是非常廣泛的。我們教師應該指導學生“以不變應萬變”，始終相信“萬變不離其宗”，只有基礎扎實，思維靈活，能夠將不同數學知識架構成知識體系，靈活運用數學思維一定能夠找到數學問題的突破口。比如本文所探討的函數思想，既可以用于不等式問題，也可以用于數列問題、應用題，夯實基礎，掌握思想，數學問題也并沒有那么難。當然，以上關于函數思想在高中數學解題中的應用僅為筆者經驗之談，希望能夠有拋磚引玉之用。

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作者簡介：

朱琳雪，福建省泉州市，福建省泉州市石獅市華僑中學。