關(guān)于Neuman-Sándor平均的一個(gè)最優(yōu)組合界

何燈, 吳善和

(1. 福清第三中學(xué)， 福建 福清 350315； 2. 龍巖學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 龍巖 364012)

0 引言

兩個(gè)正數(shù)a,b(a≠b)的冪平均定義為

兩個(gè)正數(shù)a、b(a≠b)的調(diào)和平均，指數(shù)平均，對(duì)數(shù)平均，形心平均，反調(diào)和平均分別定義為

兩個(gè)正數(shù)a、b(a≠b)的Schwab-Borchardt平均SB(a,b)[1-2]定義為

其中：P(a,b)為第一類Seiffert平均，T(a,b)為第二類Seiffert平均，M(a,b)為Neuman-Sándor平均，L(a,b)為對(duì)數(shù)平均.

上述所列平均有如下熟知不等式鏈:

H(a,b)

M(a,b)

近幾年，Neuman-Sándor平均和其他二元平均得到深入的研究. 特別地,從有關(guān)Neuman-Sándor平均與其他二元平均或它們的各類組合比較中發(fā)現(xiàn)了許多重要的結(jié)論，參見文[1-16].

關(guān)于Neuman-Sándor平均的下界估計(jì),形式簡(jiǎn)潔且較強(qiáng)的有如下結(jié)論:

關(guān)于Neuman-Sándor平均的上界估計(jì),形式簡(jiǎn)潔且較強(qiáng)的有如下結(jié)論:

綜合上述結(jié)論進(jìn)行比較分析，可得Neuman-Sándor平均的如下最強(qiáng)上下界估計(jì):

(1)

筆者在研究中發(fā)現(xiàn)，式(1)上界可作改進(jìn)，實(shí)際上有如下更強(qiáng)的雙邊不等式:

(2)

顯然，算術(shù)平均A(a,b)與第二類Seiffert平均T(a,b)能夠更精確構(gòu)造出Neuman-Sándor平均M(a,b)的上下界. 在式(2)的基礎(chǔ)上，本文研究如下雙邊不等式:

αT(a,b)+(1-α)A(a,b)

給出此不等式對(duì)所有不同正實(shí)數(shù)a和b成立的最大α值及最小β值.

1 引理及證明

則g2(x)關(guān)于x在(0,1)上單調(diào)遞增，從而g2(x)>g2(0)=0.

則

(1+x2)(10 000+7 600x2+2 019x4-139x6)2-(100+63x2+3x4)4>(<0)?

3 350 000-709 000x2-2 278 685x4-767 087x6+12 517x8-81x10>(<0).

令g5(x)=3 350 000-709 000x2-2 278 685x4-767 087x6+12 517x8-81x10，計(jì)算得

g′5(x)=-1 418 000x-9 114 740x3-4 602 522x5+100 136x7-810x9<

-4 602 522x5+100 136x5<0，

則g5(x)關(guān)于x在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，注意到g5(0)·g5(1)<0，由零點(diǎn)存在定理得g5(x)在(0,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0，則當(dāng)x∈(0,x0)有g(shù)5(x)>0，g′4(x)>0，當(dāng)x∈(x0,1)有g(shù)5(x)<0，g′4(x)<0. 綜上，可得g4(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)先增后減，從而

引理3得證.

證明將待證不等式變形，等價(jià)于證明

即證

(1+x2)(300+139x2)2(100+13x2-36x4-2x6)2-(3-2x2)2(100+63x2+3x4)4>0?

g7(x)+g8(x)>0.

其中：

g7(x)=-324x18+51 040x16+2 373 523x14-201 359 151x8-595 105 800x6，

g8(x)=27 437 168x12+47 121 658x10+10 260 000x4+1 218 000 000x2+900 000 000.

由于

g7(x)>-324-201 359 151-595 105 800=-796 465 275，g8(x)>900 000 000，

則g7(x)+g8(x)>-796 465 275+900 000 000>0，從而F1(t1)>0，引理4得證.

證明計(jì)算得

其中:

g9(x)=607 500+804 600x2+218 637x4-36 271x6-6 732x8>607 500-36 271-6 732>0.

則定理5成立.

引理6若x∈(0,1)，記

g10(x)=54(450+223x2)(6x2+25)(100+63x2+3x4)2，

g11(x)=(300+139x2)(11 664x10+974 835x8+8 571 892x6+29 034 750x4+

41 152 500x2+20 250 000)，

證明借助于數(shù)學(xué)軟件的輔助計(jì)算，可得

其中:

g12(x)=422 848 471 824x10+38 543 819 989 824x8+1 227 891 635 120 340x6+

13 257 228 349 412 739x4+67 557 540 066 375 960x2+178 105 636 717 830 500>0，

g13(x)=6 089 703 722 617x8+2 162 065 917 900x6-2 107 376 977 500x4-

721 615 500 000x2+917 325 000 000.

注意到

g13(x)>6 089 703 722 617x8-2 107 376 977 500x4-721 615 500 000+917 325 000 000=

6 089 703 722 617x8-2 107 376 977 500x4+195 709 500 000≥

2 主要結(jié)論及證明

定理1雙向不等式

αT(a,b)+(1-α)A(a,b)

(3)

得式(3)等價(jià)于

其中:

其中:

從而可得

3 結(jié)語

通過對(duì)Neuman-Sándor平均M(a,b)上、下界的比較分析，筆者發(fā)現(xiàn)了算術(shù)平均A(a,b)與第二類Seiffert平均T(a,b)能夠更精確構(gòu)造出M(a,b)的上下界，在此基礎(chǔ)上建立M(a,b)的一個(gè)最優(yōu)組合界. 此種研究方法可借鑒于尋求P(a,b),T(a,b)及L(a,b)等平均的更優(yōu)上下界，此將另文敘述.