生長數學視角下的課堂教學

趙靜

關鍵詞：初中數學;課堂教學;核心素養

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B? ? 文章編號：1009-010X（2020）14-0051-03

數學的生長必須基于人的發展、生命的成長，才能凸顯其真正的價值，學校教育也應該從生長的視角把學生作為一個完整的人、發展中的人來教育。筆者以冀教版教材“圓心角與圓周角”第二課時為例，對生長數學視角下課堂教學進行探討。

一、教學過程

1.以舊帶新，引入思考

探究一：圓周角的概念

師：同學們我們上節課學習了圓心角的有關知識，現在請同學們在練習本上畫一個圓心角，并說一說圓心角的概念和特征。

師：試著畫一畫如果僅改變圓心角的頂點位置，可以畫出多少個角？

生：無數個。

追問1：那我們怎樣來研究這無數個角呢？

生：要對無數個角進行分類研究。

追問2：很聰明！那依據什么來進行分類呢？分成幾類？

生：根據頂點和圓的位置分類，可以分成三類。

追問3：研究數學對象我們經常采用從特殊到一般的方法，那么我們先研究哪一類角呢？

生：先研究頂點在圓上的角，這類角比較特殊，因為頂點的運動軌跡是確定的。

追問4：那么你能類比圓心角概括這類角的概念和特征嗎？并給這類角起個名字。

同桌之間交流并請代表回答。

師：同學們已經掌握了圓周角的概念，類比我們之前學習幾何圖形的過程，想一想我們接下來還要研究圓周角的什么呢？

生：還要研究判定、性質和應用。

師：很好！那怎樣來判定是不是圓周角呢？

生：定義法。

辨一辨：判斷下列圖形是否為圓周角，并說明理由。

【設計意圖】在復習圓心角的基礎上又為類比出圓周角的特征打下良好的基礎，讓學生通過觀察類比思考合作交流探究圓周角的特征。通過練習加深學生對圓周角定義理解。

2.合作交流，探求新知

接著我們來研究圓周角的性質

探究二：同弧所對的圓周角與它所對的圓心角的大小關系

師：試著畫一畫同一段弧所對的圓心角和圓周角，可以畫幾個圓心角，幾個圓周角呢？

生：可以畫一個圓心角和無數個圓周角。

追問1：同弧所對的圓周角和圓心角之間有沒有關系？又怎樣來研究呢？

生：類比剛才研究圓周角概念的過程，我們可以將圓周角進行分類研究。

生：依照我們學習幾何的經驗，同弧影響著角的特殊位置，我們也猜測存在著特殊的數量關系。

生：我們之前學習幾何時，經常先用工具測量一下，先猜想再證明。

量一量：同桌合作，量角器度量圓周角和圓心角，并記錄下數據。

猜一猜：你得出了什么猜想？

師：同學們通過測量得到的數據可能存在誤差，老師用幾何畫板演示一下，注意觀察圓周角和圓心角的大小關系。

得出猜想的結論后，我們必須要經過嚴謹的論證。我們沒有辦法一一證明無數個圓周角和一個圓心角，按照剛才同學們的研究思路，我們要先分類，依據是什么呢？

分一分：教師利用幾何畫板動態演示讓學生感知圓周角的頂點在圓周上運動時，圓心與圓周角不同的位置關系，啟迪學生對三種位置關系認識。

師：我們分成了三類，那么先研究哪一類呢？

生：從特殊到一般，先研究有直徑的那種情況。

證一證：引導學生分析特殊情況時推理思路，并板書推理過程。

師：我們在遇到未知的問題時常常要轉化為已知。那么其他兩種情況怎樣來證明呢？

學生充分思考后開展小組討論探究二、三兩種情況，教師巡視點撥，最后歸納板演圓周角定理。

說一說：用數學語言來總結得出的結論。

幾何語言：

∵∠BAC和∠BOC是同弧所對的圓周角和圓心角

∴∠BAC=∠BOC

【設計意圖】在培養學生邏輯思維的基礎上，使學生體會從特殊到一般的解決問題的方法，滲透化歸思想，從而也培養學生嚴謹的治學態度和創造性解決問題的能力。

隨堂練習：基礎題：求圓周角X的度數

當∠BOC=a°時，X=? ? ? ? ?;

當∠BOC=70°時，X=? ? ? ? ?;

當∠BOC=120°時，X=? ? ? ? ?;

當∠BOC=180°時，X=? ? ? ? ?;

追問：直徑所對的圓周角是90°嗎？請說明理由。

追問：反過來成立嗎？90°的圓周角所對的弦是直徑嗎？請說明理由。

從而得到圓周角性質定理的推論1。

【設計意圖】整個探究活動是為了讓學生動眼、動手、動腦、動口積極參與學習活動，讓學生深切感受到合情推理與演繹推理在探索問題時所發揮的重要作用，注重引導學生形象思維向理性思維的過渡，培養了學生創造性解決問題的能力。

3.運用新知，解決問題

鞏固題：如圖1，AB是⊙O的直徑，∠A=10°，則∠ABC=________.

提高題：如圖2，AB是⊙O的直徑，⊙O外一點C，連接BC、AC， BC交⊙O于點D，且DC=BD，則△ABC是_____________三角形.

【設計意圖】根據學生的認知規律，循序漸進地設計有目的、有坡度、有層次的練習題。拓展了學生思維，培養學生分析問題、解決問題的能力，真正提高了數學學習效率。

4.歸納小結，反思提高

引導學生從知識、思想方法、如何添加輔助線、疑惑和評價等方面進行小結，并利用思維導圖，建構有關圓的知識體系。

【設計意圖】：讓學生總結出自己的收獲，理清思路、整理經驗，從而形成良好的學習習慣，同時也提出自己的疑問和困惑便于教師及時反饋。

二、基于課例的教學評析與思考

（一）抓住生長點，凸顯數學本質

如果將本節課探究活動放在本節課中看其生長點：課堂中設置兩個探究活動，探究一是圓周角概念，探究二是圓周角定理。課堂預設中我分析學生，在尋找證明思路上會出現這樣的問題：1.不知分類畫圖2.不曉由特殊入手3.不懂做輔助線，所以探究一中概念的引入并沒有創設常見的足球射門的情境來引出圓周角，而是在學生已有的經驗上，利用概念同化的方式來學習新概念，并且在學生的頭腦中種下了類比、分類、從特殊到一般的數學思想種子。這樣探究一的活動就為學生積累了探究二的活動經驗，第二個探究活動是第一個探究活動中數學思想、探究方法的傳承和延續。當學生知道從特殊到一般是研究問題的方法時，解決第一種類型的證明后，自然能想到轉化，得到輔助線。探究二使學生頭腦中的種子醒過來，讓它生根、發芽、生長，在學生思維生長過程中有效突破了本節課的重點和難點。

如果將本節課探究活動放在整個初中數學中看其生長點：本節課屬于原理性命題課，探究的基本思路是確定研究對象——下定義——合情推理發現性質—演繹推理證明性質——研究特例得到圓周角定理的推論。這種研究思路學生并不陌生。例如：學習等腰三角形時，先下定義——發現性質——證明性質——研究判定——到研究特殊性得到等邊三角形;研究平行四邊形時同樣是這樣的探究思路，先學習平行四邊形的定義——利用測量或中心對稱發現性質——證明性質——將平行四邊形特殊化又得到了矩形、菱形、正方形，這是從三角形到四邊形再到圓的和諧擴展，是探究方法的再生長。

（二）引導自主探究，內化數學核心素養

數學學科的核心素養的提出對課堂教學提出了更高的要求。本節課在探究中通過動手畫圖、操作、觀察、小組討論、合作交流、動畫演示等活動，讓學生參與完整的知識形成過程，培養了學生的直觀想象的核心素養。從合情推理到演繹推理，體會證明的必要性和嚴謹的說理意識，培養了學生邏輯推理的核心素養。通過探究得到了圓周角及定理的幾何模型，又利用該模型去解決問題，培養了學生的數學建模的核心素養。生長數學視角下課堂教學，應在關注知識生長、生命成長的活動過程中，內化知識技能，積累活動經驗，提升數學素養。

（三）融入信息技術，助力活力生長

信息技術與數學課堂的深度融合，為“教”與“學”帶來了全新的方式。本節課中幾何畫板的應用，彌補了傳統教學的不足，激活了學生的數學思維。本節課共三次應用了幾何畫板：移動頂點，構建概念階段;操作觀察，引發猜想階段;分類說理，證明猜想階段。動靜結合地講解為幾何教學注入了活力。