基于塑性修正系數的矩形薄板屈曲計算方法

童杰 李娟 張冰珂 蘇江 侯鵬飛

摘要：為探究薄板的屈曲破壞性能，以飛機機身設計中最常用的鋁合金薄板結構為研究對象，利用金屬材料塑性修正系數分析矩形薄板的屈曲失效，得到在均布壓力和不同約束條件下矩形薄板的臨界屈曲應力。數值仿真算例及其有限元計算結果對比，驗證該方法的正確性。

關鍵詞：塑性修正;薄板;屈曲應力;失效

中圖分類號：V214.35;TB115.1文獻標志碼：B

0引言

在現代飛機和汽車結構中，很多部件設計為板桿結構，因此大量使用平板和曲板，如飛機地板、框梁肋的腹板等多為平板結構，飛機機身蒙皮、汽車車身等多為曲板結構。在飛機總體有限元模型中，一般將薄板結構簡化為剪切板或薄板，只承受拉壓和剪切載荷，不承受彎曲載荷。這些結構在建立計算模型時一般簡化為薄板單元，在結構破壞設計計算中主要考慮屈曲失效。

平板和曲板結構示意見圖1。當板的厚度δ與板的寬度b的比值δ/b在1/80-1/5范圍內時，這樣的板就稱為薄板。薄板結構廣泛應用于航空航天、土木、海洋和機械工程等眾多領域。若薄板在縱向載荷作用下處于彎曲平衡狀態，則此時的縱向彎曲或壓曲稱為屈曲。

陳貞鉅計算在中面載荷下正交各向異性帶孔薄板各單元的受力分布，并用高精度板彎曲單元計算其臨界屈曲載荷和有中面力時的橫向振動特征，總結開孔大小、材料性質、彈性主方向、約束條件和中面載荷類型對屈曲臨界載荷和橫向振動特征值的影響規律。沙云東等研究在熱、聲載荷作用下各向同性矩形薄壁結構的大撓度非線性控制方程，推導四邊簡支板的模態頻率及其在溫度梯度作用下的熱屈曲溫度差，并通過有限元數值計算，得到在熱、聲載荷作用下簡支板熱屈曲前后的動態應力響應。馬連生等基于經典板理論研究在邊界面內均布壓力作用下，功能梯度材料圓形板的軸對稱屈曲方程，得到功能梯度材料圓（環）板的臨界屈曲載荷，并分析材料的梯度性質、內外半徑比和邊界條件對板臨界載荷的影響。錢偉長等用合成展開攝動法，把外場解和內層解結合起來，求解圓形薄板大撓度問題。ULLAH等采用廣義積分變換方法得到矩形薄板的精確解析屈曲解，根據板的邊界條件，采用振動梁函數作為積分核構造積分變換，將積分變換應用于板的高階偏微分方程的基本控制，利用梁函數的一些固有性質，將問題轉化為線性代數方程組，由該方程組快速地得到精確的解析解。該分析方法的主要優點是簡單、通用，不需要任何預先確定的變形函數。LI等用一種特殊的辛疊加方法討論雙軸向壓縮下完全自由板的典型屈曲問題，提出辛空間哈密頓系統的解，給出新的屈曲載荷綜合分析結果。該方法收斂速度快、精度高，適用于多層板問題的解析建模。WANG等研究基于辛疊加法的矩形薄板屈曲解析解，提出一種基于哈密頓系統的變分理論，利用拉格朗日乘子法求解辛空間薄板屈曲問題，但是文獻中沒有提及利用材料塑性修正系數對薄板屈曲問題進行研究。

基于以上研究成果，本文在金屬材料的Ramberg-Osgood特性曲線的基礎上，對屈曲計算結果進行塑性修改，研究在均布載荷作用下的四邊簡支矩形薄板屈曲計算方法。首先，基于薄板壓曲微分方程，求解臨界屈曲壓應力;其次，根據邊界約束條件和薄板尺寸結構選擇不同的計算參數，對臨界屈曲壓應力進行迭代修正計算，得到準確的臨界屈曲壓應力;最后，通過數值算例與Nastran求解器計算結果的對比，驗證此計算方法的正確性。

1 薄板結構的基本參數和基本方程

在現代飛機和汽車結構設計中，主要結構件多為金屬結構，并以鋁合金為主。必須要明確金屬材料的彈、塑性關系，才能進行塑性修正計算。鋁合金材料的彈、塑性關系可根據Ramberg-Osgood材料特性曲線（見圖2）給出。式中：D為彎曲剛度;Fx、Fxy、Fy為中面內力。

2 平板屈曲分析

式中：η為塑性修正系數;k_c為屈曲因數，其值取決于邊界條件;δ為板厚。屈曲因數k_c.的取值一般為：三邊剪支一邊自由時，k_c=0.43;四邊簡支，a>b時k_c=4，ac=（a/b）²+（b/a）²+2。

通常認為，當線彈性臨界屈曲應力大于0.5δ_b時需要進行塑性修正計算，壓縮載荷時塑性修正系數η的確定公式見表1。

3 數值算例

以平板在均布壓縮載荷作用下的臨界壓縮屈曲應力計算為例，采用有限元法進行計算，與前文計算結果進行對比。

在計算模型中，薄板長邊a=540mm，短邊b=180mm，厚度δ=2mm。材料選擇2024鋁合金，其彈性模量E=70300MPa，泊松比v_e=0.44，壓縮屈服應力δ_cy=270MPa，Ramberg-Osgood系數n_c=13。邊界條件為四邊簡支，短邊施加30MPa純壓載荷。薄板計算模型和參數示意見圖3。

由此，可以得到δ_cr=32.04MPa。

在Nastran中進行有限元計算，邊界條件為四邊簡支，計算單元為四邊形單元，單元尺寸為2×2，共計劃分24300個單元，計算結果應力云圖見圖4。

改變計算模型尺寸，應力計算結果見表2;改變邊界條件，應力計算結果見表3。分析表2和3數據可知，與有限元計算結果相比，修正后的計算結果誤差都小于2%。對比分析不同薄板尺寸下的屈曲應力可知，長度尺寸a和寬度尺寸b越接近，薄板的屈曲應力越大;在同等尺寸下，四邊簡支邊界條件下的屈曲應力明顯大于三邊簡支一邊自由邊界條件的屈曲應力。

4 結束語

利用金屬材料的Ramberg-Osgood彈塑性特征曲線，對薄板受壓臨界屈曲應力進行塑性修正。在薄板壓曲微分方程的基礎上，給出臨界屈曲壓應力計算公式，分析多種邊界條件下的修正系數;通過計算模型算例與有限元計算結果對比，驗證本文計算方法的正確性，為工程設計中薄板屈曲計算提供參考。