初中幾何“路徑最短問題”的探究與解決策略

陳隆田

摘要：初中幾何“路徑最短問題”，近年來備受中考命題的青睞，成為中考數學的熱點與考點。本文中筆者對幾何“路徑最短問題”的原理、路徑的類型、起點終點的類型進行分類，運用圖形變換，等效點、等效線段的轉換，解決“路徑最短問題”的策略。

關鍵詞：幾何公理;路徑最短;圖形變換;等效點;線段

中圖分類號：G633.7?????????? 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）10-075-2

2018年全國各地中考數學試卷中頻頻出現“最短路徑問題”，如廣西貴港、山東濱州泰安、天津、湖北黃岡……“路徑最短問題”涉及知識較多，具有很強生產生活實踐應用價值。筆者正視熱點，結合自己教學實踐經驗，細致深入地進行探究，形成自己解決“最短路徑問題”策略，教學中借助幾何畫板的動態化、明晰化優勢，使“路徑最短問題”專題教學取得良好效果。

“最短路徑問題”多以填空題、選擇題進行考察，分值4～5分，難易程度為0.1～0.3，屬于學生較難掌握、解決的問題。

有鑒于此，筆者將從以下幾個方面來探究“最短路徑問題”以及解決策略。

一、“最短路徑問題”的三個主要理論依據

1.線段最短

公理：連接兩點之間的所有連線中，線段最短。簡稱：線段最短。

筆者解讀：公理“兩點”即兩個定點，因此，公理為解決兩個定點之間最短路徑問題提供理論依據。同時，它還能拓展解決，圓外定點到圓周上動點最短距離問題。如下圖所示：

2.垂線段最短

公理：直線外一點到直線上所有點的連線中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。

筆者解讀：運用本公理能解決直線外一定點到直線上的所有點即直線上動點之間的路徑最短問題。同時它還能拓展解決，圓周上動點到圓外定直線的最短距離問題。如下圖所示：

3.三角形三邊關系定理

定理：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

筆者解讀：根據該定理，三角形的第三邊長度受到一端相連的兩條定長線段限制，這也說明了公共端點的兩條定長線段的另外兩個端點之間的路徑距離范圍在兩條線段之和與之差之間。當兩條線段中短的線段完全重合在長的線段上時，線段另外兩個端點之間的路徑最短距離就是兩條線段之差。因此，三角形的三邊關系定理的拓展能解決，公共端點的兩條定長線段另外兩個端點之間的最短路徑問題。如下圖所示：

二、“路徑最短問題”的類型

1.路徑類型分類

一條線段、“V”型折線、“Z”型折線、三角形周長型與星型三條線段之和等等。

2.點類型分類

（1）定點+過程性動點+定點;（2）定點+過程性動點+動點;（3）動點+動點

三、解決“最短路徑問題”的基本步驟

1.第一步

觀察路徑類型，確定起點、終點的點類型。

2.第二步

利用圖形變換（軸對稱、全等、平移、旋轉等）對應線段相等性質把路徑中某些線段進行等效轉換，使原路徑變成向兩個方向伸展的連續折線，再“拉直”折線。

3.第三步

確定某一定點為路徑的起點，根據終點的類型來確定路徑最短的理論依據。

四、掌握解決“最短路徑問題”的幾個“必殺技”

1.關于等效點、等效線段

利用圖形變換（軸對稱、全等、平移、旋轉等）得到對應點、對應線段，由于作用相同、數量關系確定，暫且稱為等效點、等效線段，這是實現最短路徑有效轉換的關鍵。

2.各種類型路徑的分解轉換

（1）“V”型折線、“Z”型折線、三角形周長型路徑：以過程性動點所在的直線為對稱軸，做起始定點的對稱點，連接得到等效線段，使“V”型折線、“Z”型路徑變換為向兩個方向伸展的連續折線，再“拉直”路徑。

（2）星型三條線段之和：通過繞其中一個定點將其中一個三角形旋轉60o，使之拆解為向兩個方向伸展的連續折線，再“拉直”路徑。

3.原理判斷與選擇——關鍵看起點、終點的類型

（1）如果起點、終點都是定點，那就利用“線段最短”原理。

（2）如果起點是定點，終點是在直線上的動點，那就利用“垂線段最短”原理來解決。

（3）如果起點是定點，終點是在定圓上的動點，那就利用“線段最短”拓展原理來解決。

（4）如果起點是定圓上的動點，終點是在定直線上的動點，那就利用“垂線段最短”拓展原理來解決。

（5）如果公共端點的兩條定長線段另外兩端的兩個點，那就利用“三角形兩邊之差小于第三邊”拓展原理來解決。

4.關于隱形圓的運用

當終點沒有明確的運動軌跡時，就要考慮是否在隱形圓上運動。認真挖掘題目的已知條件。如：四點共圓、“直徑所對圓周是直角”等方法發現隱形圓的存在。

5.關于幾何畫板在解決“路徑最短問題”中的作用

運用幾何畫板的動態化、明晰化的優勢，能生動形象地呈現路徑變換過程，從而提高課堂上解決“最短路徑問題”的有效性。

五、具體實例分析

例1：如圖，正方形ABCD邊長為4，E、F分別是邊BC、CD上的動點，BE=CF，連接BF、DE，求BF+DE的最小值。

簡析：路徑“BF+DE”看似不滿足以上任何一種路徑，但根據已知條件，連接AE，顯然△ABE≌△BCF，得出AE=BF，因此，等價路徑“AE+DE”就是“V”型了。由于過程性動點E在直線BC上，所以作A關于直線BC對稱點A′，實現A與A′等效，AE=AE′，從而把原來“V”型路徑轉化向兩個方向伸展的連續折線，“拉直”就得到最短距離。由于點類型是“定點+過程性動點+定點”，故利用“線段最短”原理，即A′D為最短路徑。本題運用三角形全等、軸對稱兩種的幾何圖形轉換，實現一條線段的兩次等效轉化。

例2：如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=120°，∠B=∠D=90°，AD=4，AB=3，點M、點N分別是邊BC，CD上的動點，求△AMN周長的最小值。

簡析：本題路徑屬于三角形周長型，封閉的三條變化的線段需要“拆解”。發現動點M、N分別在直線BC、CD上，所以要分別做定點A關于直線BC、CD的對稱點A1、A2，得到AM=A1M，AN=A2N，因此實現封閉的三條變化線段“拆解”向兩個方向伸展的連續折線。本題通過兩次的軸對稱神奇地實現了一個定點對稱變出兩個定點，故本題點類型真正屬于“定點+過程性動點+定點”。

例3：如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，求PM的最小值。

簡析：本題路徑類型是一條線段，點類型是兩動點，看似無從下手。認真閱讀題意，不難發現：四邊形AEPF是矩形，連接AM，A、M、P三點共線，并且MP=12AP，所以AP是MP等效線段，確定線段AP最小值即可。由于線段AP是“定點+動點”，根據“垂線段最短”原理，當AP⊥BC時，求出AP的長度就解決了PM的最小值。

例4：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4，BA=3，動點F在邊AC上運動，連接BF，過點C作CE⊥BF于點E，交AB于點D，求A、E兩點之間距離的最短距離。

簡析：本題路徑是一條線段，點類型：定點+動點。由于動點不在直線上運動，所以要研究動點P的運動軌跡。根據題意∠ACB=90°，并且對著定長線段BC。故此，根據“直徑所對的圓周角是直角”推導得知E的運動軌跡：以線段BC為直徑的圓周。因此可利用“線段最短”的拓展原理解決。連接BC的中點O（即圓心）與A，且與圓交于H，當D運動到H時，AH的長度就是AE的最小值。

例5：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點D在以點A為圓心，2為半徑的圓上一點，連接BD，點M為BD中點，求線段CM長度的最小值。

簡析：本題路徑類型是一條線段，點類型為：定點+動點。動點M運動軌跡不確定。綜合考慮已知條件，取AB的中點N，連接AD、MN、CN，發現MN=12AD，CN=12AB，均為定長，且有公共端點。根據“三角形的三邊關系”定理拓展得知，當D運動到使MN與CN重合位置時，CM長度的最小值。

例6：如圖，矩形ABCD中，BC=12，AB=4，P是矩形ABCD內一動點，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值。

簡析：本題路徑類型是星型的三條線段之和，點類型非常規類型。把其中一個三角形（如△ABP）繞定點A旋轉60°。得到△ABP≌△AB′P′和△APP′是等邊三角形，從而實現AP=PP′， BP=B′P′。這樣原星型的三條線段之和就轉化為向兩個方向伸展的連續折線，“拉直”后路徑本質上是：兩定點之間的線段最短。由此可見凡路徑為星型的三條線段之和的問題要用旋轉60°的方法得以實現路徑轉化，全等和旋轉是實現線段等效轉化的“利器”。

本文只是對初中幾何“路徑最短問題”探究和解決策略的粗淺思考，囿于文章篇幅以及實例材料的局限，對問題研究深度不足，方法策略不夠豐富，以期繼續深入完善。

（作者單位：福建省福州第三十中學，福建 福州 350008）