有關一種數列極限計算題型的思考

【摘 要】極限的計算是高等數學學習的重點。極限計算方法眾多，學生通常容易掌握各種不同類型的未定式的極限計算，但對數列極限的計算普遍感到比較困難。本文從一道數列極限的計算題出發，結合教材常規題型，分析數列極限計算題型的解題思路。

【關鍵詞】數列極限;單調有界收斂準則;遞推式

1? ?問題提出

極限的思想貫穿高等數學整本教材。因此，極限的計算在高等數學的學習過程中非常重要，而且，由于極限思想滲透到各個章節，所以極限的計算方法也豐富多彩。這一方面激發了學生學習這一塊的興趣，另一方面學習這一塊是比較具有挑戰性的，學生會時常遇到困難。抽象的數列極限計算題或者證明題，一直是學生學習過程中的一個難點。筆者在教學過程中，遇到學生問這樣一道計算數列極限的題。

這是一道給出通項遞推式的極限題。學生給出的上述解答過程是不是正確的呢？不妨回憶教材所學內容，尋找突破口。在教材中，常遇到已知通項遞推式求數列極限的題，如例2。

2? ?問題分析

例2 已知，證明存在并求出該極限。

例2的求解過程分為兩步，第一步先證明數列單調有界，保證極限存在;第二步在遞推公式兩邊同時取極限，解出具體的極限值。可以發現例1（解法一）直接進行了第二步，而沒有證明該極限存在，因此還必須先證明該極限是存在的。而對例1的前面幾項進行試算，發現該數列不具有單調的趨勢。這就給解題造成了困難，常規的單調有界收斂準則不能用了，那該怎么辦呢？遇到這種情況，通常有兩種思路，一種是另尋他法來證明極限存在，如例3所示;另一種是找出的通項表達式，直接計算。

例3是先假設極限存在，推算出極限值后，再根據極限的定義證明該極限等于推算出的極限值。我們知道極限的定義可以用來證明極限存在，但不能直接求出極限值。因此對于沒有單調性的數列，可以采用這樣一種方式來處理。那么，回到例1，按照例3的思路，如果要完善解法一的解答過程，就可以嘗試去證明。

對于例1的解法一，由于，用數學歸納法證明，即當時，結論成立;設時，，則有，結論成立。下面證明。

經過這樣一個補充，就完善了例1解法一的解答過程。那么在做完善工作時都是對已有的題型進行分析，做一個類似的模仿。這種模仿不僅幫助學生有效地解決了問題，同時也展示了數學學習的一種方法。學生不斷模仿，不斷摸索，不斷總結，從而提高對數學知識的掌握程度，提高自己的解題能力。特別是在遇到復雜問題的時候，要從更基礎的更簡單的類似問題尋找突破口。只有常規思路用得得心應手了，才能一眼發現問題，從而解決問題。

在上述解答過程中用到了無窮級數求和的知識，等比級數。解法二成功地避開了證明，但也對解題者知識掌握的綜合程度要求更高。

例1的求解過程，很好地展現了“已知，求”這一類數列極限題的常規思路：先用單調有界準則證明存在，再設遞推式對兩邊同時求極限，得到最后的極限值A;如果單調有界準則證明受阻，就退而求其次，先假設極限存在并求出A，然后再用定義去證明。這里還有一種思路就是由遞推式得到具體的，然后直接計算，從而避開極限單調性的證明。

3? ?結語

本文從一道數列極限題入手，提供了一種解題的思路，那就是當學生遇到比較困難、比較復雜的題型的時候，要善于跟教材上的基礎題型、跟已接觸過的一些題型作類比，作思維的遷移，從而保證探索復雜題的有效性。這樣既能快速找到解題的切入口，也能提高解題的準確率。

【作者簡介】

鄭彭丹（1981～），女，湖南岳陽人，碩士研究生，講師，研究方向：概率論與數理統計。