芻議高中數學解題中構造法的應用

何愛文

【摘 要】構造法是指抓住已知條件與結論之間的內在關聯，通過問題中的數據、外形、坐標等特征，將已知條件作為原材料，運用已經學過的數學關系式與數學理論，構造出一個全新的數學研究對象，進而使數學問題中隱藏的關系及數學屬性浮出水面，最終達到解決數學問題的目的。該方法在高中數學解題當中得到普遍應用，不但提高了解題效率，而且也相對提高了解題準確率。本文圍繞構造法在高中數學解題中的實際應用案例展開論述。

【關鍵詞】高中數學;解題;構造法;應用

運用構造法能夠解決高中數學中的函數、方程、數列等問題，它能夠將抽象的數學問題變得形象，能夠將復雜的數學關系變得簡單，能夠將繁雜無頭緒的解題過程變得清晰，是一種特殊、高效、科學的解題方法。

1? ?構造法在數列題型中的應用

高中數學中的數列知識點在高考數學試卷當中占據著較大分值。求解數列的通項公式問題，給學生帶來了諸多困擾。在面對這一題型中較為簡單直觀的問題時，學生通常運用求差法、求商法、疊乘法、遞推公式、倒數法來求解通項公式，這樣能夠快速解出正確答案。但是，當解答一些較為復雜的求解通項公式問題時，這些常用方法的效果并不盡如人意。這時學生可以應用構造法，根據已知條件，構造出一個新的數列，從而使問題迎刃而解[1]。

如這道數列題“已知a1=2，an+1=2an+3n+n，求an的通項公式。”對于這道數列題，如果運用構造法，首先應當構造一個新的數列，即an+1+m3n+1+x（n+1）+y=2（an+m3n+xn+y），將此數列展開，進一步進行化簡，根據已知條件可以得到m=-1，x=1，y=1，所以an-3n+n+1=（a1-31+1+1）·2n-1=2n-1，所以an=3n+2n-1-n-1。由此可見，利用構造法解決求數列通項公式的問題，不僅使求解過程變得簡單易懂，而且省略了大量的中間轉換過程，能夠達到事半功倍的解題效果。

2? ?構造法在函數題型中的應用

函數知識貫穿整個高中階段的數學學習，是數學教師的教學重點，也是學生的學習難點。這主要是因為函數知識具有可變性，不但題型千變萬化，而且應用的數學理論也復雜多變。為了降低函數問題的難度，提高解題速度，學生在解決相關函數問題時，可以借助于構造法來準確判斷函數的單調性、奇偶性以及周期性特征，并且構造出一個簡單的函數，將函數問題化繁為簡，使問題得到有效解決。

3? ?構造法在方程題型中的應用

高中階段的方程知識是數學知識點中的一項難點內容，不但題型復雜、計算量大，而且對學生邏輯推理能力的要求較高。如果采取常規的直接計算的方法，不僅難以求解出方程的根，而且往往一道題將占用學生大量的解題時間，久而久之，就會直接影響學生的數學成績。因此在高中數學教學中，教師應當正確引導學生運用構造法，從而降低問題的難度，快速得到正確答案。

4? ?構造法在幾何題型中的應用

代數與幾何是高中數學的兩大組成元素，在學習幾何知識或者解決相關的幾何題型時，學生會認為幾何知識的學習和掌握難度相對較大。這主要是由于幾何知識點中融入了各種各樣的圖形元素，學生在解決代數問題時，必須具有較強的圖形分析能力。因此，如果在解決幾何題型時，能夠引入構造法，重新構造出一個形象化、具體化的幾何圖形，將對學生解決復雜的幾何問題大有幫助[2]。如這道題“求出cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos215°的值。”當面對這道題型時，學生容易被題干給出的已知條件所誤導，直接運用余弦定理進行求解。實際上根據幾何知識中的角與邊的關系，該問題也涉及正弦定理。因此，可以利用構造法，構造出一個三角形，并且令∠A=85°，∠B=80°，∠C=15°，然后根據這個構造出的三角形，得到，從這道題可以看出，學生在面對類似的幾何題型時，首先應當考慮構造一個新的幾何圖形的方法，將抽象化、不易于理解的題設條件轉化為直觀的幾何圖形，進而學生根據圖形快速找到問題的突破口，求解出最終的正確答案。

總之，構造法不僅是解題思維上的一種全新突破，而且也是經過長期實踐而得出的一條高效解題路徑。對于難度較大的高中數學知識來說，在解決數學問題時合理應用構造法，既能夠鍛煉和培養學生的創新思維，也能夠提高學生的數學學習能力，從而破解更多的數學難題。

【參考文獻】

[1]潘威威.簡析高中數學解題中運用構造法的措施[J].新課程·中學，2019（6）.

[2]李朝磊.巧借構造法妙解數學題——解析構造法在高中數學解題中的應用[J].數學大世界（中旬版），2019（1）.