淺析線面積分的三個(gè)重要公式及其應(yīng)用

楊付貴

摘 ?要：格林公式，高斯公式和斯托克斯公式是高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)中的三個(gè)重要的計(jì)算公式，在多元函數(shù)積分學(xué)中占有十分重要的地位，這三個(gè)重要的公式主要揭示了線面積分與重積分的內(nèi)在聯(lián)系，并且有著極其廣泛的應(yīng)用。本文主要闡述如何使用格林公式，高斯公式和斯托克斯公式，它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，以及在高等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高斯公式;斯托克斯;曲線積分

一.三個(gè)重要的公式

1.格林公式

設(shè)閉區(qū)域D是由光滑或分段光滑的曲線L所圍成，函數(shù) 及 在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式 其中 L是D的取正向的邊界曲線.

2.高斯公式

設(shè)空間閉區(qū)域 是由光滑或分片光滑曲面S所圍成的單連通區(qū)域（不含有洞的區(qū)域）， 在 上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式

3.斯托克斯公式

二.三個(gè)重要公式的區(qū)別與聯(lián)系

在高等數(shù)學(xué)中，我們知道，我們把定積分的積分區(qū)間推廣到平面或空間上的某一區(qū)域，得到了重積分，再把定積分的積分區(qū)間推廣到平面或空間上的一條曲線或一片曲面，我們就得到了曲線積分和曲面積分，那么，重積分和曲線積分之間有無(wú)聯(lián)系呢？重積分和曲面積分

之間有無(wú)聯(lián)系呢？同樣，曲線積分和曲面積分之間有無(wú)聯(lián)系呢？

格林公式，高斯公式和斯托克斯公式的主要區(qū)別是：它們分別給出了重積分和曲線積分，重積分和曲面積分以及曲線積分和曲面積分之間的聯(lián)系。具體的說(shuō)，格林公式揭示了在平面區(qū)域D上的二重積分與沿其D邊界L上的曲線積分的內(nèi)在聯(lián)系，而高斯公式揭示了在空間區(qū)域 上的三重積分與其圍成 的光滑或分片光滑的邊界曲面S上的曲面積分的內(nèi)在聯(lián)系。至于斯托克斯公式則是揭示了在空間曲面S上的曲面積分與其沿著S的光滑或分片光滑邊界閉曲線L的曲線積分的內(nèi)在聯(lián)系。

這三個(gè)重要公式的主要聯(lián)系是：高斯公式和斯托克斯公式是格林公式的推廣，而格林公式是高斯公式和斯托克斯公式的特例。由于這三個(gè)重要公式揭示了曲線積分、曲面積分和重積分三者的關(guān)系，因此在解題中可依此三個(gè)重要公式將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但務(wù)必需要注意轉(zhuǎn)化的條件。

參考文獻(xiàn)

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