基于成本指數的民機四維航跡預測優化算法

樊劉仡 鄭智明 薛 飛 王 青

(上海飛機設計研究院，上海 201210)

0 引言

隨著社會經濟的快速發展，空中交通運輸需求與日俱增，空域擁堵、航班延誤等問題日益嚴重，給民航安全、高效運行帶來了嚴峻的壓力。為了應對目前空中交通運輸上存在的問題，國際民航組織提出了全球空中交通管理運行戰略[1-3]。該戰略指導未來空中交通管制從基于指令運行(Command-Based Operation，簡稱CBO)向基于軌跡運行(Trajectory-Based Operation，簡稱TBO)轉變，而基于軌跡運行的理念在時間與空間上對航空器飛行軌跡的預測提出了更高精度的要求。

軌跡預測是按照飛行計劃中的控制方案驅動飛機性能模型進行飛行全過程的快速數值仿真[4]。它不僅能夠計算得到飛機飛行的三維軌跡，而且能夠預測出飛機在飛行軌跡上每一點的時間、空速、地速、質量、油耗、升力和阻力等全狀態信息，得到飛行全過程的高維預測數據。為減少空氣污染，節省燃料消耗，除了在飛機設計階段采取多種優化技術以外，也可以在運營階段利用FMS計算最優高度速度計劃表和最優軌跡對飛機的性能進行優化[5-6]。

優化參考軌跡主要有兩種手段，一是考慮飛行器運動方程(Equation of Motion，簡稱EOM)，用最優控制的方法來得到最優軌跡[7-8]；二是動態查詢性能數據庫[9-10]，考慮在風或者高度變化因素影響下的性能優化問題。由于FMS計算效率不高，難以使用EOM進行大量實時運算，因此通常使用查詢性能數據庫(Performance Database，簡稱PDB)中的經驗表格的方法來完成計算。PDB中的數據以離散形式存儲，因此可以將軌跡優化問題視為一個組合優化問題。對于優化指標的選擇一般有燃油消耗和飛行時間兩種，飛行成本指數能夠對兩者進行有效的權衡，因此本文提出了一種基于成本指數的方法對民用飛機的四維航跡預測進行優化。

1 成本指數與代價函數

飛行成本是飛行航跡優化過程中必須考慮的關鍵指標。一般來說，飛行成本可以分為固定成本和變動成本。其中固定成本在一定范圍內與航空公司業務量變化關系不大，譬如發動機大修費用、機組固定工資、月固定租賃費用、飛行訓練費用等。變動成本包括燃油成本和其他與飛行時間相關的成本(以下稱為時間成本)，譬如機組的小時薪水提成、小時租賃費用、飛機維護成本等。

飛行航跡的優化通常只考慮變動成本，即燃油成本和時間成本，而不將固定成本考慮在內。記單位燃油成本為Cf元/kg，單位時間成本為Ct元/min，則可以定義成本指數(Cost Index，簡稱CI)為：

(1)

單位為：kg/min。

成本指數一般由機組人員在飛機起飛前通過顯示控制系統的人機界面輸入到飛行管理計算機中。成本指數的取值反映了時間成本和燃油成本在飛行總成本中的構成比例。當成本指數為0時，表征時間成本可以忽略不計，飛行成本的全部權重集中于燃油成本，此時優化的結果為最省油的飛行模式，即最大燃油里程模式。當成本指數取最大值時，表征燃油成本可以忽略不計，飛行成本的全部權重集中于時間成本，此時優化的結果為最短飛行時間。一般來說，按照最大燃油里程模式飛行速度太慢。當飛機處于最大燃油里程狀態飛行時，以多消耗1%燃油為代價就可以換取3%～5%的速度提升。因此，在實際工程中，一般不會將成本指數設為0。同理，也不會將成本指數設為最大值。對于不同的飛機和不同的航空公司，成本指數的取值范圍也會有很大差別。以波音系列飛機為例，表1展示了部分型號飛機飛行過程中選用的成本指數的范圍。

表1 波音系列飛機成本指數取值范圍

在實際運行過程中，通常會將成本指數設置為兩者之間較為合適的值。表2顯示了波音系列飛機成本指數推薦的取值。

表2 波音系列飛機成本指數推薦取值

通過成本指數，可以計算飛行的直接運行成本(Direct Operating Cost, 簡稱DOC)：

(2)

其中,t0為起飛時刻，tf為降落時刻，f為燃油流量(單位時間內消耗的燃油量)。

飛行成本的變化與巡航速度的選取有密切的關系，如圖1所示。時間成本隨巡航速度的增大而遞減，燃油成本隨巡航速度的變化會出現極小值，極小值處取得最大燃油里程速度。當速度小于最大燃油里程速度時，燃油成本隨巡航速度增大而減??；當速度大于最大燃油里程速度時，燃油成本隨巡航速度增大而增大?？偝杀倦S巡航速度的變化也會出現極小值，極小值處取得最經濟巡航速度。

成本指數對垂直剖面的影響如圖2所示。成本指數增加會導致爬升頂點和下降頂點在水平方向上的投影均向前運動。

圖2 成本指數變化對上升頂點和下降頂點位置的影響

針對軌跡優化需要定下優化的目標，即獲取計算航程代價的函數，根據需求的不同，航程代價一般指航行中的燃油消耗、時間、成本指數CI的綜合代價。

定義航程成本如式(3)所示：

Cost=FBurned+CI×TFlight

(3)

其中，FBurned是總航程的燃油消耗，單位kg，TFlight是總航程時間，單位min，CI是成本指數，單位kg/min。CI一般由運營方提供，CI越高，表明時間成本比重越高。

2 四維航跡優化方法

根據ARINC702A中關于性能計算模塊的規定，機載性能數據庫主要由以下三個方面組成:

1)飛機氣動模型數據庫，內容包括升力系數、阻力極曲線等飛機氣動外形數據；

2)發動機數據庫，主要由發動機推力模型和耗油特性數據組成，內容包括發動機推力模式、推力限制、推力使用狀態以及對應的耗油特性等數據。

3)空中性能數據庫，內容包括飛機在起飛、爬升、巡航、下降和著陸階段等飛行模態下的速度、燃油消耗、時間、水平距離和重量等數據。同時還包括基于性能數據二次計算得到的與航路相關的性能數據，以便機載性能管理。

飛機性能手冊中提供的數據包含曲線和表格兩種形式，將數據整理構建成便于系統調用的數據庫，涵蓋飛行包線數據、發動機數據和空中性能數據三個方面以供FMC調用。由于很多數據是離散存儲的，因此可以使用插值方法進行制備和查詢。

為了尋找最優的軌跡，需要計算按照不同速度高度計劃表飛行的航程代價并進行比較，如果采取巡航階段階梯爬升，也需要計算爬升所帶來的額外代價。最后，利用窮舉的辦法，計算所有可行的軌跡，選擇總航程代價最低者作為最優的垂直剖面。

根據第1節的描述，以航程代價最小為目標時，軌跡優化的主要環節在巡航階段，可以用基于成本指數的方法進行優化。

3 最經濟巡航速度的計算

飛機在巡航階段飛行時，高度變化量近似為0，速度變化量近似為0，巡航過程中迎角很小，α也可近似視為0。在飛機水平航跡確定的情況下，其在垂直剖面內的運動可以近似用質心運動方程來描述：

(4)

其中，x為飛機在水平方向上的位置，v為飛行真空速，T為發動機推力，D為阻力，L為飛機升力，m為飛機質量，g為重力加速度，η為推力單位燃料消耗。

根據第2節對飛機性能模型的描述，可以得到如下關系：

在垂直剖面的優化過程中，優化目標是飛行總成本：

其中，F為總燃油消耗量，f為燃油流量，t為飛行時間，CI為成本指數，Cf為燃油價格，Ct為單位時間成本，η為推力單位燃料消耗，D為飛機阻力。在優化過程中給定了初始飛行時刻t0，初始飛機重量m0，初始位置x0。

考慮到燃油價格Cf是給定的值，因此優化目標可以寫成：

s.t.

x(t0)=x0,x(tf)=xf,m(t0)=m0,h(t)=h0

(7)

取v為優化變量，使用HJB方程求解上述優化問題，得到最經濟巡航速度v*，并通過仿真的方法作出v*隨巡航高度的變化關系如圖3所示。圖中，各條曲線代表不同成本指數下的情況，巡航重量取240 t，成本指數變化范圍取0～100，每間隔10取一個樣本點；橫坐標代表巡航高度，變化范圍取0 m～12 000 m，每隔100 m取一個樣本點；縱坐標代表計算得到的最經濟巡航速度。

圖3 最經濟巡航速度隨高度的變化關系示意圖(不同成本指數下)

從圖中可以看出，當巡航高度在7 000 m～11 000 m范圍內變化時，計算出的最經濟巡航速度與高度呈現近似線性關系。當高度達到對流層頂后，溫度不再隨高度增加而變化，因此圖像上曲線斜率在該點處發生改變，如圖4所示。

圖4 最經濟巡航速度隨高度的變化關系示意圖(7 000 m～12 000 m段)

由于v*與h之間存在局部近似線性關系，因此可以利用最小二乘的方法擬合曲線斜率。這樣，只要知道了給定成本指數下某一巡航高度對應的最經濟巡航速度，很快就能通過擬合公式計算其他高度對應的最經濟巡航速度。

4 最經濟巡航高度的計算

類似的，以巡航高度為優化變量，使用HJB方程求解上述優化問題，發現在巡航速度確定后，巡航高度越高，巡航總成本越小。因此對于高度的優化需要利用飛行包線的限制。

受飛機性能和空中交通管制約束，民航飛機只能在一定的飛行包線內飛行。以波音747飛機為例，其巡航馬赫數限制不能超過0.89 Ma，巡航高度不能高于45 000 ft。取最大巡航馬赫數為0.85 Ma, 假設巡航高度變化范圍為7 000 m～12 000 m。飛機在某個巡航高度上飛行時，速度不能無限增大。加速過程中，當最大推力等于阻力時，飛機達到最大速度。類似地，飛機飛行高度也不能無限增大。隨著飛行高度的增大，發動機最大推力減小，直到不足以克服飛行受到的阻力，飛機的飛行高度下降。

根據飛機性能模型，有：

其中，ΔTeff=ΔT-CTc,4,0≤ΔTeff·CTc,5≤0.4,CTc,5≥0,CTc,3=0,CFcr=0.966。

又：

(9)

其中，

令最大巡航推力等于阻力，

(11)

則：

解得：

(13)

此即為最大巡航高度的約束條件，發現其與飛機巡航重量相關。飛機巡航重量減小時，最大巡航高度會隨之增大。對于起飛重量250 t的情況，可以計算最大巡航高度約為10 700 m，約合35 000 ft。

下面討論在固定飛行高度的情況下巡航速度的約束條件,可得：

在巡航重量240 t的條件下，改變巡航高度，可以得到速度約束如圖5所示。

圖5 最大巡航速度隨巡航高度變化曲線(推力約束下)

可見隨著巡航高度的增大，最大巡航速度限值隨之減小。取速度最大限值時飛行總成本的變化曲線如圖6所示，其中巡航高度變化范圍為10 000 m～10 600 m，每隔100 m取一個樣本點，成本指數取為30。發現在發動機最大推力約束下，總成本隨巡航高度的增大呈現出先減小后增大的變化趨勢。

考慮0.85 Ma的最大巡航馬赫數限值。固定巡航速度為0.85 Ma，改變巡航高度，從7 000 m～10 000 m，每隔500 m取一個樣本點。得到飛行總成本隨巡航高度的變化曲線如圖7所示。在最大巡航馬赫數的條件下，隨著巡航高度的增大，飛行總成本逐漸減小。

圖6 取速度最大限值時飛行總成本隨巡航高度變化曲線(推力約束下)

圖7 飛行總成本隨巡航高度變化曲線(最大巡航馬赫數約束下)

綜合以上分析，可以得到最經濟巡航高度的求解方法，如圖8所示。

圖8 最經濟巡航高度求解示意圖

其中一族平行的直線表示不同成本指數下最經濟巡航速度隨巡航高度的變化情況；黑色虛線表示最大巡航馬赫數的限制，本文中取0.85 Ma；黑色實線表示發動機最大推力對巡航速度的限制。

以成本指數CI取30，起飛重量取250 t的情況為例進行分析。圖8中①過程可以分解為④過程加⑤過程。在④過程中巡航速度不變，巡航時間成本近似不變，當巡航高度增大時，由于大氣密度下降，阻力減小，因此燃油消耗減少，燃油成本降低，導致飛行總成本降低；在⑤過程中，由于是在高度不變的情況下向最經濟巡航速度的方向變化，因此飛行總成本會降低。綜合對④、⑤過程的分析，可知①過程中飛行總成本是單調下降的，即隨著巡航高度的增加，最經濟巡航速度對應的飛行總成本單調遞減。②過程沿著最大巡航馬赫數限制線變化，根據圖7的實驗結果知，當巡航高度增加時，飛行總成本呈現下降趨勢。③過程沿著發動機最大推力限制線變化，根據圖6的實驗結果知，當巡航高度增加時，飛行總成本呈現先減小后增大的變化趨勢。

根據對①、②、③過程的分析可知，在成本指數為30、起飛重量取250 t的情況下，最優巡航條件應該在③過程中取到。結合圖6的實驗結果，最經濟巡航高度應取10 400 m，約合34 000 ft；最經濟巡航速度應取243 m/s，約合真空速472節，校正空速284節，巡航馬赫數0.817 Ma。

5 結論

本文綜合考慮民用飛機在飛行過程中燃油以及時間代價，基于成本指數提出了一種航跡預測優化方法，以波音747飛機為例，結合飛機性能模型，理論推導了最經濟巡航速度以及最經濟巡航高度的計算方法，通過仿真驗證了本文優化方法的可行性，為民用飛機四維航跡精確預測的工程實現提供了理論參考。