三維實李代數的分類

胡建華， 栗菲菲， 劉 靜

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

李代數的分類問題是李代數結構理論的核心內容。經典的李代數理論[1-3]利用根系理論完整地給出了特征為0的代數閉域上的有限維半單李代數分類。但對于特征為或非代數閉域上的李代數分類還有許多未解決的問題。而對于這些李代數的研究，總是從低維開始的。文獻[4-7]利用同構定理研究了低維的可解李代數和冪零李代數分類問題。實數域是特征為0的數域，但它是非代數閉域，因此，實李代數的結構與復李代數的完全不同。本文研究三維實李代數的分類問題，利用同構定理，根據導代數的維數[8-10]給出三維實李代數的完整分類。

1 基礎知識

定理1[1]令和是2個維 李代數，，若它們存在一組對應基，其對應的結構常數相等，則和同構。

同構的2個李代數，它們的導代數的維數相同。

文獻[1,3]在同構意義下給出了一維、二維實李代數的分類。一維實李代數只有一類，，是交換李代數，滿足，記為。二維實李代數有兩類。一類是交換的，滿足，記為；另一類是非交換的，滿足，記為。

現根據導代數的維數分別討論三維實李代數在同構意義下的分類。

2 三維實李代數的分類

2.1 導代數維數為0和1

2.2 導代數維數為2

2.3 導代數維數為3

最后，將以上關于三維實李代數的討論總結為定理2。

定理2 在同構意義下，3維實李代數有如下8類：