流量控制繼電反饋參數自整定研究

殷華文

(南陽理工學院智能制造學院，河南 南陽 473004)

0 引言

Astrom和Hagglund在1984年提出基于繼電反饋控制的比例積分微分(proportion integration differentiation,PID)參數整定方法[1]。基于繼電反饋的PID參數整定過程完全在閉環條件下完成，對擾動不靈敏。另外，由于振蕩幅度可控，因此其可廣泛應用于大多數工業過程[2]。繼電反饋PID參數自整定策略是在閉環控制方式下完成的，通過合理選擇繼電參數，過程被控參數能被保持在設定點附近[3]。

基于繼電反饋測試的自整定PID控制策略一經提出，立即得到了廣泛的關注。 通過一個標準繼電反饋單元，就可以獲取被控過程在臨界頻率點處的頻率響應特性。但在控制器設計時,往往還需要了解其他一些頻率點處的過程特性。為此，需要對標準繼電反饋特性進行改進,例如在標準繼電反饋環節后面串聯一個積分或者微分環節,被控對象的相位被人為地超前或滯后了-0.5π；或者直接串聯一個時滯環節，通過調整純滯后時間來改變臨界頻率點。另一類改進的繼電反饋方案是采用帶有滯環的繼電反饋[4-5]。本課題就采用這種反饋方法。

流量是典型的過程對象，具有慣性小、非線性的特點。如何在工作點附近產生穩定的振蕩、提取振蕩信息，則非常值得研究。本課題針對實際的流量對象，設計繼電反饋參數自整定算法，實現對象的振蕩和信息辨識；得到PID控制參數，實現對流量的控制。

1 流量控制回路設計

本課題以管道流量為被控變量，在繼電反饋下觀測流量的極限環振蕩，并用Ziegler-Nichols公式計算控制器參數；參數整定完畢后，再投入PID控制。流量管道內徑20 mm，供水壓力50 kPa，調節閥為直行程電動調節閥，等百分比流量特性，流量變送器量程為0～1 200 L/h。控制系統中，控制器有兩種模式可以選擇，可根據開關的位置來確定控制器的工作狀態。管道流量控制系統如圖1所示。

圖1 管道流量控制系統框圖

2 繼電反饋的理論基礎及參數整定思想

2.1 標準繼電反饋

在控制系統中有兩種狀態：繼電反饋控制狀態和PID控制狀態。在繼電反饋控制狀態下，利用繼電控制的非線性特性使過程響應，出現極限環振蕩測試系統的振蕩頻率和幅值，進而獲得系統的頻域信息或近似的模型結構；然后，由獲得的系統信息根據選定的控制策略，求得控制器參數。在PID控制狀態下，利用求得的控制器參數來運行系統。

在繼電反饋控制下，被控對象只要具有至少-π的相位滯后，就可產生臨界振蕩。這樣就可獲得臨界信息，然后應用Ziegler-Nichols公式確定PID參數[2]。

2.2 帶滯環的繼電反饋

為防止由于噪聲產生的顫動，繼電器應有滯環，同時反饋系統應使極限環振蕩保持在規定的范圍內。極限環法必須提供的唯一先驗知識是繼電器特性幅值d的初始值。繼電器滯環的寬度h由測量噪聲確定[6]。假設此時的臨界增益為Ku，臨界振蕩周期為Tu。它們的計算如式(1)和式(2)[2]所示。

(1)

(2)

2.3 如何讓廣義對象振蕩

當繼電環節對廣義對象輸出激勵u=d時，被控變量(PV)開始增加。當PV>設定值(SV)時，繼電環節的輸出立刻翻轉到相反的方向，u=-d。在u=-d激勵下，輸出PV開始減小。當PV

帶有滯環的繼電環節，因為存在滯環寬度h，所以當PV>SV且偏差絕對值大于h時，繼電輸出才會翻轉變化。這使得繼電環節的切換要延遲一段時間。臨界振蕩周期也會因此多出一段時間。振蕩曲線的振幅a隨之增加，臨界增益則相應減小。帶滯環的繼電反饋振蕩曲線原理如圖2所示。

圖2 帶滯環的繼電反饋振蕩曲線原理圖

圖2中：d為繼電輸出高度；a為振蕩的幅值；h為滯環寬度。

測出繼電振蕩周期Tu，根據式(1)可以反求出極限頻率ωu。ωu反映了對象慣性的大小。測出振蕩幅值a，根據式(2)可以計算出臨界增益Ku。Ku可看作繼電環節在傳輸幅度為a的正弦信號時的等價控制器增益。

Astrom的繼電反饋試驗是在繼電環節輸出u0=0的基礎上，疊加一個幅度為±d的繼電輸出。但是對于實際執行機構來說，沒有負位置，PID調節器輸出為單極性0～100%。這樣，繼電輸出應該在一個大于0的基值u0上疊加±d的繼電輸出，并且0

2.4 繼電反饋振蕩的物理意義

設繼電特性輸入一個正弦信號e(t)=asin(wt)，則繼電特性的輸出u(t)是一個同相位、同頻率、幅值為d的方波信號。將該方波信號作傅里葉級數展開，于是周期信號u(t)具有如下形式[7]：

(3)

繼電輸出矩形波脈沖按照傅里葉級數分解，將會有許多諧波分量。基波是廣義對象的固有頻率波。繼電輸出脈沖的各個諧波分量經過廣義對象后，就像經過一個選頻器一樣，只有和廣義對象固有頻率相應的諧波分量得以通過，而其他的諧波分量都將被衰減，最后就只剩下基波信號在系統內流動[8]。由于非線性環節無法用傳遞函數準確表達，所以用它傳遞的基波分量的幅相頻率特性來描述。這就是描述函數[9]。廣義對象既包括過程對象，又包括執行器和傳感變送器。顯然，廣義對象的慣性有大有小。小慣性對象由于時間常數小，容易產生振蕩；大慣性對象振蕩起來比較困難。同樣地，繼電環節用在不同的廣義對象的描述函數是不一樣的。

2.5 繼電反饋試驗誤差分析

繼電反饋試驗存在的誤差主要是由兩方面原因產生的。一方面是對繼電非線性環節的近似估計，另一方面是被控對象的非線性。繼電輸出的方波可以近似為傅里葉變換的主諧波，并據此計算出相應的極限增益。被控對象的非線性會導致系統產生正負半周期的不對稱振蕩。對于不對稱的振蕩，振蕩的幅值a可以取為振蕩的平均值，從而減小誤差，如式(4)所示[3]。

(4)

式中：amax和amin分別為振蕩曲線的波峰值和波谷值。

即使出現了不對稱振蕩，由此求得的Ku和ωu仍然比較可靠。

3 流量對象數學模型的測試

采用階躍響應法測試流量對象的數學模型。測試對象是除調節器外所有環節，因此測試所得的是管道流量對象的廣義數學模型。考慮電動調節閥動作滯后因素，將管道流量對象近似為一階慣性加純滯后環節。對象數學模型可以選定為如下形式：

(5)

調節閥開度從20%階躍到40%時，測得T=3.89 s、τ=5.37 s、K=0.463。調節閥開度從40%階躍到60%時，測得T=4.35 s、τ=5.45 s、K=0.59。調節閥開度從60%階躍到80%時，測得T=4.11 s、τ=6.23 s、K=0.93。調節閥開度從80%階躍到100%時，測得T=5.02 s、τ=5.23 s、K=2.33。

由以上數據可知，對應于調節閥不同的開度，放大增益K的差別很大。這是由于廣義對象中存在著嚴重非線性。由于調節閥對象特性為對數特性，隨著開度的變大，流量變化加快，放大增益K也變大。所以，流量對象為小慣性、非線性對象。

4 繼電反饋自整定算法設計

繼電自整定控制器的主要任務是對繼電反饋振蕩曲線幅值a和周期Tu進行在線識別。在測得a后，可以求出臨界增益Ku。最后，根據Ziegler-Nichols公式得到PID控制器的參數。計算臨界增益Ku時要對變量參數作歸一化處理，如式(6)所示。

(6)

式中:umax和umin分別為控制器輸出的上限和下限；ymax和ymin分別為管道流量工作量程的上限和下限。

本設計中，繼電輸出為0～100%，流量的工作量程為0～1 200 L/h。

有了Ku和Tu后，就可以根據Ziegler-Nichols公式計算PID參數：P=0.6Ku，I=0.5Tu，D=0.12Tu。如果是改進型Ziegler-Nichols公式，則適度超調P參數為P=0.33Ku。

5 繼電反饋振蕩方法設計

首先確定繼電輸出中心點u0和繼電幅度d，然后啟動參數自整定，并自動記錄程序運行時間Tx。為了減少噪聲，對測量值作數字濾波。

尋找工藝點：由于對象的非線性，所以繼電振蕩應在工藝工作點附近進行。使調節器處于繼電自整定工作狀態，并輸出某一幅值u0。此幅值能使系統工藝參數達到工作點附近。在本課題的試驗中，u0=60%。流量從0開始上升，當Tx累計到大約100 s時，流量在400 L/h附近穩定。將此時的流量值作為工藝流量，即流量設定值SV。

對象起振：當流量在工藝點達到穩定后，開始進行繼電控制。如果PV>SV，u=55%，如果PV

振蕩信息提取：設置變量C，用來記錄實時流量PV曲線穿越設定流量SV線的次數。這樣，C為半個振蕩周期的個數。設置變量PVlast為上一次流量采樣值。當PVlast

當C=9時，振蕩曲線進入第五個周期，振蕩曲線已比較穩定，記錄此時時間T1。此時開始提取振蕩信息。在流量上升過程中，通過遞推比較找到流量波峰值amax。當C=10時，仍為第五個周期，記錄此時時間T2。在流量下降過程中，通過遞推比較找到流量波谷值amin。當C=11時，此時第五個周期結束，即將進入第六個周期，記錄此時時間T3。按式(4)計算振蕩幅值α。這樣對于輸出正負半周不對稱的波形，計算結果仍較為可靠。根據T1、T2和T3，求取臨界周期Tu，如式(7)所示。

Tu=(T2-T1)+ (T3-T2)

(7)

PID參數計算：根據Ziegler-Nichols公式或修正的Ziegler-Nichols公式計算PID控制器參數，并將自整定開關復位，結束繼電反饋自整定過程，系統進入PID調節狀態。

6 PID控制程序設計

PID控制程序放在定時中斷服務程序中，中斷間隔500 ms，使PID按照一定的周期進行運算、輸出。PID控制算式為改進型位置式PID算式，如式(8)所示。

(8)

式中:u(k)為對應執行機構的實際位置；y(k)和y(k-1)分別為本次和上次流量測量值。

PID算法采用的主要思想如下：梯形積分、微分先行[2]、偏差不靈敏區、積分保持等。為了實現從繼電反饋振蕩狀態到PID調節狀態的無擾動切換，需要把當前的繼電反饋輸出直接賦值給PID運算的積分初值。

7 理想繼電反饋參數整定試驗

采用理想繼電反饋，繼電輸出u0=60%，繼電幅度d=5%，滯環寬度h=0。按下“自整定”按鈕，經過兩個振蕩周期就可以得到穩定的振蕩波形。流量對象在理想繼電反饋下的閉環響應曲線如圖3所示。

圖3 流量對象在理想繼電反饋下的閉環響應曲線

由圖3可知：振蕩曲線波峰值為431.30 L/h,波谷值376.70 L/h，振幅a=27.3 L/h，臨界增益為Ku=2.8，振蕩周期Tu=14.00 s。振蕩周期反映了對象慣性的大小，它將直接影響PID參數的計算。

由改進型Ziegler-Nichols公式整定適度超調下PID控制器參數為P=0.924、I=7.0 s、D=1.68 s。采用這一組參數對流量進行控制，適度超調下流量響應曲線如圖4所示。

圖4 適度超調下流量響應曲線

由監控曲線可知，自整定得到的PID參數控制效果比較滿意。適度超調規則PID調節下，系統超調量為1%，穩態誤差小于0.5%。

8 帶滯環繼電反饋參數整定試驗

采用帶滯環繼電反饋，調節器繼電輸出u0=60%、d=5%、h=10 L/h。按下“自整定”按鈕，其他步驟與理想繼電整定試驗相同，得到的流量對象在滯環繼電反饋下的閉環響應曲線如圖5所示。

圖5 流量對象在滯環繼電反饋下的閉環響應曲線

圖5與圖3相比，滯環繼電的輸入與輸出不是相差180°，而是大于180°。這是因為流量曲線穿越穩態流量線時，繼電輸出不是立刻切換到相反方向，而是在穩態流量上下10 L/h的死區內繼電輸出不改變方向，大于滯環寬度時繼電輸出才切換到相反方向。滯環繼電對存在強噪聲的場合特別適用，可以避免執行機構在穩態值附近頻繁切換。

由原始Ziegler-Nichols公式整定得到控制器參數P=1.515、I=8.001 s、D=1.920 s。滯環繼電參數整定下，流量PID調節響應曲線如圖6所示。

圖6 滯環繼電參數整定下流量PID調節響應曲線

由圖6可知，系統有微量超調，但調節時間縮短。與理想繼電相比，加入滯環后：振蕩曲線臨界周期Tu變大，由14 s變為16 s；臨界增益Ku變小，由2.8變為2.525。但PID調節超調量變小，穩定性變好。

9 微分先行PID控制試驗

在流量控制系統中，設定值的調整是經常發生的。由于流量是小慣性對象，容易產生振蕩，所以對微分比較敏感。因此，要求微分項對設定值的調整不起作用，以避免控制器輸出大的跳變。這就需要在PID算法中加入微分先行運算。

使用帶滯環繼電反饋整定的PID參數，分別用標準PID和微分先行PID進行控制。圖7是標準PID控制的響應曲線，圖8是微分先行PID控制的響應曲線。

圖7 標準PID算法響應曲線

圖8 微分先行PID算法響應曲線

圖7中，設定值階躍變化時，調節器輸出出現大的跳變。圖8與圖7相比，調節器輸出跳變沒有那么劇烈，反映了微分先行PID算法的優點。

10 控制參數魯棒性分析

前面的繼電反饋振蕩試驗是在u0=60%，流量為400 L/h附近進行的。由于對象的非線性，因此整定出來的控制器參數在流量為400 L/h附近時控制效果較好，而在其他流量設定值時將不再是“最佳的”。一般用“魯棒性”來描述控制器參數對對象特性變化的敏感性。使用圖8參數，當設定值為600 L/h時的控制曲線如圖9所示。圖9與圖8相比，系統超調量變大，穩態誤差變大，控制效果變差。這是因為在高流量時，調節閥開度增大，增益Ku變大，控制通道放大增益也變大。在相同的PID參數調節下，系統呈現欠阻尼狀態，所以超調量變大，穩定性變差。

設定值為600 L/h流量響應曲線如圖9所示。

圖9 設定值為600 L/h流量響應曲線

11 結論

本課題對流量對象進行繼電反饋振蕩試驗，通過對振蕩曲線的在線自動辨識，實現PID控制器的參數自整定。由于對象的非線性，在不同的流量設定值下，參數魯棒性較差，所以繼電反饋振蕩應在工藝點附近進行。繼電反饋中心點u0的選擇應能使對象工作在工藝點附近。由于對象慣性小，容易實現繼電振蕩，大部分情況下都能一次整定成功，所以帶滯環的繼電反饋參數整定結合微分先行PID算法適用于流量對象的控制。繼電幅值d應選5%～10%，而滯環寬度h應大于流量信號的毛刺；在計算臨界增益Ku時，須對變量參數作歸一化處理。本課題研究的流量對象為小慣性對象。對于慣性大小不同的各種對象，如何實現繼電幅值和滯環大小的自動尋找仍需作進一步研究。