分塊矩陣在行列式及逆矩陣計(jì)算中的應(yīng)用研究

王從徐

(滁州城市職業(yè)學(xué)院 教育系，安徽 滁州 239000)

線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科專業(yè)必修的基礎(chǔ)理論課之一，邏輯嚴(yán)密、抽象性強(qiáng)，在自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.分塊矩陣與行列式是線性代數(shù)的重要組成部分,是重要的研究工具[1].而分塊矩陣能夠?yàn)楦唠A矩陣的求逆和高階行列式的計(jì)算提供“打包”的思想，有助于簡化計(jì)算.岳靖[2]和沈進(jìn)中[3]分別探討了分塊矩陣在矩陣求逆和行列式的應(yīng)用.本文首先對分塊矩陣在高階行列式及特殊的高階矩陣求逆方面進(jìn)行理論分析，并應(yīng)用具體例子探討了分塊矩陣的理論運(yùn)算和工程技術(shù)方面的應(yīng)用.

1 分塊矩陣的基本概念

定義2.1：設(shè)A是數(shù)域F上的m×n矩陣,把A分成如下形式的矩陣,

其中Aij是mi×nj矩

(i=1,2，…,r,j=1,2,…,s,m1+m2+…+mr=m,

n1+n2+…+ns=n),稱為A的一個(gè)分塊矩陣.

分塊矩陣的應(yīng)用過程，就是采用“打包”的思想,把若干個(gè)小矩陣看作其中的元素，從而實(shí)現(xiàn)降階和簡化計(jì)算的目的.分塊矩陣的結(jié)構(gòu)與矩陣類似,因此運(yùn)算也可以按照普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則，進(jìn)行加(減)、數(shù)乘、乘積、逆矩陣、轉(zhuǎn)置和初等變換等運(yùn)算.下面我們將討論分塊矩陣的若干應(yīng)用.

2 分塊矩陣的若干應(yīng)用

2.1 在行列式計(jì)算中的應(yīng)用

行列式的計(jì)算方法有兩種：一種是利用性質(zhì)化為特殊的行列式進(jìn)行計(jì)算，另一種是采用展開加降階的思想進(jìn)行計(jì)算.利用分塊矩陣的思想，可以使我們的行列式計(jì)算對象向低階和特殊結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到簡化計(jì)算的目的[4].

事實(shí)上,計(jì)算逆矩陣并非易事.對于定理1，通常需要考慮特殊的可逆矩陣.結(jié)合分塊矩陣的結(jié)構(gòu)和行列式的性質(zhì),考慮特殊的可逆矩陣,我們給出注1～3.

下面,我們通過例子來說明分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用.

該題的求解通常是利用行列式的展開定理得到遞推公式,然后利用遞推思想進(jìn)行求解.下面我們利用分塊的思想進(jìn)行計(jì)算.

由于B-CA-1D=diag(b-ca-1d).，所以得D2n=|A||B-CA-1D|=an(b-ca-1d)n=(ab-cd)n.

本題屬于“爪”型行列式,通常是通過經(jīng)行消邊，轉(zhuǎn)化為特殊的行列式進(jìn)行求解.由于所求行列式的階數(shù)較高,經(jīng)行消邊的計(jì)算量比較大.利用分塊矩陣的思想進(jìn)行計(jì)算.

利用克萊姆法則求解，計(jì)算

2.2 在矩陣求逆運(yùn)算中的應(yīng)用

求逆矩陣是矩陣中的一種重要計(jì)算.逆矩陣的求解方法常見有兩種：一種是利用伴隨矩陣來求解，由于伴隨矩陣的結(jié)構(gòu)問題，高階矩陣的逆矩陣的計(jì)算量會(huì)非常大；另一種方法是利用矩陣的初等變換方法求逆，這是最常用的方法.利用分塊矩陣的思想，將高階矩陣往低階矩陣或特殊矩陣上靠攏，從而達(dá)到簡化計(jì)算的目的.

分塊矩求逆矩陣的判定及求逆公式[3]十分繁瑣,利用從一般到特殊的思想,如果子塊十分特殊,考慮某些固定類型的分塊矩陣求逆運(yùn)算.

利用定理2則有

則計(jì)算就轉(zhuǎn)化為計(jì)算三階矩陣B-E的逆矩陣(B-E)-1和E+(B-E)-1.

為加密矩陣，求其解密矩陣.

解：解密矩陣為加密矩陣A的逆矩陣.

3 結(jié) 論

從上述分析可以看出，分塊矩陣的主要思想是“打包”，利用“打包”來達(dá)到降階和向特殊矩陣靠攏的目的.分塊矩陣在高階行列式及高階矩陣的研究中起著重要作用，一方面可以簡化運(yùn)算，另一方面也可以幫我們看清楚運(yùn)算過程中子塊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).