正態(tài)分布產(chǎn)品的Bayes可靠性抽樣檢驗(yàn)方案

王燕飛

(吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林 132022)

可靠性抽樣檢驗(yàn)是通過檢查產(chǎn)品的樣本質(zhì)量來評(píng)價(jià)整批產(chǎn)品質(zhì)量.隨著科技進(jìn)步，產(chǎn)品的可靠性越來越高，應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法制定的可靠性抽樣檢驗(yàn)方案的抽樣量較大.因此，人們?cè)絹碓街匾晳?yīng)用Bayes統(tǒng)計(jì)方法制定可靠性抽樣檢驗(yàn)方案，以便充分利用產(chǎn)品的各類可靠性信息，從而有效地降低可靠性試驗(yàn)的抽樣量.

在實(shí)際生產(chǎn)生活中，很多產(chǎn)品的性能指標(biāo)都服從正態(tài)分布，非常普遍.但關(guān)于正態(tài)分布產(chǎn)品的可靠性抽樣檢驗(yàn)的研究成果卻較少.馮文哲、劉琦基于0—1損失函數(shù)和兩類風(fēng)險(xiǎn)約束條件，研究了正態(tài)型指標(biāo)的復(fù)雜假設(shè)的Bayes可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)[1].張碩云等對(duì)于正態(tài)型指標(biāo)的簡單假設(shè)，利用Bayes方法基于兩類風(fēng)險(xiǎn)確定了樣本量[2].很多產(chǎn)品的指標(biāo)是要求在規(guī)格上限與規(guī)格下限范圍之間鑒定為合格，否則認(rèn)為不合格.關(guān)于正態(tài)型產(chǎn)品的雙側(cè)規(guī)格限情形的可靠性抽樣檢驗(yàn)問題，國家標(biāo)準(zhǔn)GB8053—87[3]沒有明確方案.國際標(biāo)準(zhǔn)ISO3951:1989(E)和國家標(biāo)準(zhǔn)GB6378—86只有圖方法，沒有數(shù)值方法.美軍標(biāo)MIL-STD-414和美國標(biāo)ANSI/ASqCZI 1.9也僅是得到近似的抽樣方案設(shè)計(jì).呂建華、吳啟光利用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法，探討了綜合雙側(cè)規(guī)格限下方差未知的正態(tài)分布產(chǎn)品的可靠性抽樣檢驗(yàn)方案[3].

事實(shí)上，正態(tài)型產(chǎn)品的指標(biāo)值多數(shù)都為正值.這一信息往往被忽視.針對(duì)正態(tài)分布指標(biāo)的雙側(cè)規(guī)格限情形，研究了在總體方差已知，總體指標(biāo)的均值為正的前提下，根據(jù)Bayes理論，確定最大熵先驗(yàn)分布，并求得后驗(yàn)分布.利用生產(chǎn)方和使用方的兩類風(fēng)險(xiǎn)約束條件，確定最小抽檢樣本量，從而制定更加合理有效的抽樣檢驗(yàn)方案.最后通過實(shí)例說明其效果優(yōu)于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法確定的抽樣檢驗(yàn)方案.

1 基于最大熵先驗(yàn)的正態(tài)指標(biāo)的可靠性抽樣檢驗(yàn)設(shè)計(jì)模型(MENBR)

假設(shè)產(chǎn)品的某性能指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2).其中σ2已知，指標(biāo)均值μ>0.為了檢驗(yàn)該指標(biāo)均值是否達(dá)標(biāo)，抽取樣本X1,X2,…,Xn，其觀察值為x1,x2,…,xn.

產(chǎn)品的生產(chǎn)方和使用方根據(jù)產(chǎn)品性能的可靠性要求，共同協(xié)商建立如下統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

H0：L≤μ≤U，H1：μ>U或0<μ

其中L為指標(biāo)值的規(guī)格下限，U為指標(biāo)值的規(guī)格上限.即產(chǎn)品指標(biāo)均值滿足L≤μ≤U時(shí)認(rèn)為合格，否則認(rèn)為不合格.

根據(jù)Bayes理論，為了對(duì)產(chǎn)品指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)，需要利用指標(biāo)值的后驗(yàn)分布[4].首先依據(jù)一些先驗(yàn)信息確定μ的先驗(yàn)分布.根據(jù)以往歷史數(shù)據(jù)資料，容易得到μ的樣本均值，近似估計(jì)總體均值.若E(μ)=θ(μ>0)，則除此之外沒有其他信息可用.那么在這樣的前提條件下，確定最“無信息”的先驗(yàn)分布是非常合理的，即最大熵先驗(yàn)[5].

證明：根據(jù)文獻(xiàn)[4]，可知，若滿足條件

Eπ[gk(μ)]=θk(k=1,2,…,m)，

其中g(shù)k(·),μk(k=1,2,…,m)分別表示已知的函數(shù)和已知的常數(shù).則此時(shí)μ的最大熵先驗(yàn)分布為

其中π0(μ)為μ的無信息先驗(yàn).

當(dāng)λ1≥0時(shí)，π(θ)=0.無意義；當(dāng)λ1<0時(shí)，π(θ)=-λ1eλ1θ.

下面利用μ的先驗(yàn)分布及總體分布確定μ的后驗(yàn)分布，得到如下定理2.

(1)

故T的邊緣分布為

則μ的后驗(yàn)分布為

對(duì)產(chǎn)品指標(biāo)進(jìn)行可靠性抽樣檢驗(yàn)，對(duì)于生產(chǎn)方最關(guān)心的是：由抽樣得到批產(chǎn)品沒有通過檢驗(yàn)，而產(chǎn)品的性能指標(biāo)值卻是合格時(shí)的風(fēng)險(xiǎn).換言之，在抽樣檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T∈W(W為檢驗(yàn)的拒絕域)時(shí)μ∈[L,U]的概率.則生產(chǎn)方所承擔(dān)的最大風(fēng)險(xiǎn)即為后驗(yàn)概率

對(duì)于使用方而言，最關(guān)心的是通過抽樣批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)，但產(chǎn)品指標(biāo)卻是不合格時(shí)的風(fēng)險(xiǎn).或者說，在抽樣檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T?W(W為檢驗(yàn)的拒絕域)時(shí)μ∈(-∞,L)∪(U,+∞)的概率.則使用方所承擔(dān)的最大風(fēng)險(xiǎn)即為后驗(yàn)概率

通常，生產(chǎn)方和使用方的最大風(fēng)險(xiǎn)分別限定在給定數(shù)值α和β值以內(nèi).由此可知，可靠性抽樣檢驗(yàn)方案的制定，就是求解方程組

(2)

從而確定最小抽檢樣本量.將方程組(2)稱為基于最大熵先驗(yàn)的正態(tài)指標(biāo)的可靠性抽樣檢驗(yàn)設(shè)計(jì)模型(MENBR).

2 模型的求解

對(duì)于模型MENBR，拒絕域W的確定尤為關(guān)鍵.根據(jù)Bayes假設(shè)檢驗(yàn)理論，當(dāng)后驗(yàn)概率

P(μ∈Θ1|T=t)≥P(μ∈Θ0|T=t)

(3)

時(shí)拒絕原假設(shè)H0.

將后驗(yàn)分布(1)代入(3)中，化簡得:

(4)

即當(dāng)T滿足(4)式時(shí)，拒絕原假設(shè)H0，則此時(shí)的T的范圍即為拒絕域W.

為了求解拒絕域W，可以利用Matlab編程.具體編程步驟如下：

建立函數(shù)

2．編制兩個(gè)子程序：

子程序1：

子程序2：

3.運(yùn)行子程序1和子程序2，可以分別得到臨界點(diǎn)C1和C2.

通過Matlab程序搜尋結(jié)果可得到，T的拒絕域W=(0,C1)∪(C2,+∞).

下面將拒絕域W=(0,C1)∪(C2,+∞)代入方程組(2)，即可得到最小檢驗(yàn)樣本量n，

從而確定模型的Bayes抽樣檢驗(yàn)方案(n,C1,C2).

3 算 例

假設(shè)某種產(chǎn)品的指標(biāo)值為X，且X～N(μ,σ2).根據(jù)歷史數(shù)據(jù)得到，該產(chǎn)品指標(biāo)的總體方差為σ2=16，利用平均指標(biāo)的數(shù)據(jù)求得的期望為E(μ)=350=θ.若生產(chǎn)方和使用方協(xié)商確定產(chǎn)品的規(guī)格下限和規(guī)格上限分別為L=346,U=355.通常，生產(chǎn)方承受最大風(fēng)險(xiǎn)限定值為α=0.05，使用方承受最大風(fēng)險(xiǎn)限定值為β=0.10.則利用Matlab搜尋得到拒絕域W的臨界值為346.7和354.8.故T的拒絕域?yàn)閃=(0,346.7)∪(354.8,+∞)，將其代入方程組(2)，得：

從而確定最小檢驗(yàn)樣本量為44.

即得到模型的Bayes抽樣檢驗(yàn)方案(44,346.7,354.8).這比經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法確定的最小抽檢驗(yàn)本量68要小得多.并且較之經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法，該方法更加簡便易行.

4 結(jié) 論

本文針對(duì)正態(tài)分布型產(chǎn)品的指標(biāo)值為正，且總體方差已知，平均指標(biāo)值為已知常數(shù)的情況，利用最大熵原理確定指標(biāo)值的先驗(yàn)分布，根據(jù)Bayes理論確定可靠性抽樣檢驗(yàn)方案.在求解過程中，運(yùn)用Matlab軟件編程搜索拒絕域的臨界值，并由生產(chǎn)方和使用方的最大承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)確定最小抽樣樣本量.這種確定可靠性鑒定試驗(yàn)方案的方法，對(duì)于正態(tài)型分布產(chǎn)品的雙側(cè)規(guī)格限情況，有較大突破，避免了傳統(tǒng)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法的繁瑣計(jì)算.最終得到的最小抽樣檢驗(yàn)量也更加節(jié)約經(jīng)濟(jì)，效果很好.