非正規子群彼此同構的有限群

石化國 韓章家 張隆輝

(1.四川職業技術學院 教師教育系,遂寧,629000；2.成都信息工程大學 應用數學學院,成都,610225)

1 引言

本文所討論的群均為有限群, 除非特別說明, 本文所使用的符號都是標準的(見[8]).

所有子群皆正規的群稱為 Dedekind 群.Dedekind 群在討論有限群的結構中扮演很重要的角色, 自 R.Dedekind, E.Wendt 和R.Bare給出Dedekind 群的結構后(見[5]), 許多群論工作者從不同的角度對 Dedekind 群進行了推廣, 得到了大量的成果, 在此不一一贅述, 僅舉幾例來說明.比如, 石化國、韓章家和陳貴云教授[6]以及R.Brand[2]討論了非正規子群彼此共軛的有限群的結構; 陳順民和陳貴云教授[3-4]討論了非正規子群共軛類數為2和3的有限群的性質和結構.

其實我們可以換個角度來看待以上這些研究.顯然Dedekind群既可以看作是非正規子群個數為零的群，也可以看作是非正規子群共軛類個數為零的群, 所以以上提及的文獻從非正規子群共軛類數這個角度對 Dedekind 群進行推廣就比較自然了.

進一步地, 探討具有特定群論性質的非正規子群對有限群結構的影響也是一件很有意思的工作, 例如 A.Fattahi在[1]中給出了非正規子群皆反正規(abnormal)的有限群的結構; 張勤海教授[9]給出了非正規子群皆自正規的有限群的結構; 石化國、韓章家、江磊[2]討論了非正規子群均為素數階的有限群的結構等.這些研究都是從非正規子群具有某一特性的角度對 Dedekind 群進行推廣.本文將繼續這一思路討論非正規子群彼此同構的有限群, 并最終確定其結構.

我們的主要結論是:

主要定理設G為有限群,G的非正規子群彼此同構當且僅當G同構于下列群之一:

(1)非正規子群彼此共軛的有限群;

(2)非正規子群的階均為素數的有限p-群;

(3)16階廣義四元數群Q16;

(4)四元數群Q8與4階循環群的直積;

(5)亞循環群G=.

2 預備知識

為了完成主要定理的證明, 我們首先給出如下的一些結論.

引理2.1([6], Main Theorem) 設G為有限群,G的非正規子群彼此共軛當且僅當G同構于下列群之一:

(1)G=;

(2)G=;

(3)G=.

引理2.2([2], Main Theorem) 有限群G的的非正規子群的階均為素數當且僅當G同構于下列群之一:

(1)非正規子群彼此共軛的有限群;

(2)G=;

(3)G=;

(6)G=.

引理2.3設有限群G的非正規子群階不為素數, 若G的非正規子群彼此同構,則G為一個p-群.

證明斷言G為冪零群.否則存在G的一個Sylow 子群非正規,于是由G的非正規子群彼此同構,便有G的非正規子群彼此共軛.再由([6]Main Theorem)就可得G的非正規子群的階為素數, 矛盾.斷言得證.

設H為G的非正規子群,則至少存在H的一個Sylowp-子群P非正規于G, 由于G的非正規子群彼此同構, 因此有H=P.又G冪零,故G的Sylowp-子群P1正規于G且PP1.若G不是p-群, 則存在G的Sylowq-子群Q正規于G.同樣地, 由于G的非正規子群彼此同構,故PQG, 這樣有P=P1∩PQG, 矛盾.所以G為p-群,引理得證.

引理2.4設G為有限2-群, |Ω1(G)|≠2, 且G的非正規子群的階不為素數.若G的非正規子群彼此同構, 則G/Ω1(G)中不包含四元數群.

證明用反證法.假設G/Ω(G)中存在一個四元數子群KΩ1(G)/Ω1(G).由于G的非正規子群的階不為素數且彼此同構, 故Ω1(G)為初等交換2-群, 于是K∩Ω1(G)=Ω1(K).記Ω=Ω1(K), 則KΩ1(G)/Ω1(G)?K/K∩Ω1(G)=K/Ω為四元數群.

任取K/Ω的一個最小生成系{aΩ,bΩ}, 則有a4Ω=Ω,b2Ω=a2Ω, 且[a,b]Ω=a2Ω.因Ω是初等交換2-群且包含于Z(K), 故a,b均為8階元,a2,b2,[a,b]均屬于Z(K)且[a,b]2=a4, 于是有1=[a,b2]=[a,b]2=a4, 矛盾.引理得證.

下面的引理在本文中是不可或缺的.

引理2.5設p為素數,G為有限p-群, Ω1(G)不為循環群, 并且G的非正規子群的階不為素數.若G的非正規子群彼此同構,則有：

(1)G′≤Ω1(G);

(2)G的Frattini 子群Φ(G)≤Z(G);

(3)Ω1(G)為(p,p)型交換群且含于Φ(G).

證明由于G的非正規子群不是素數階群且彼此同構,所以Ω1(G)為初等交換群且包含于Z(G).又Ω1(G)不為循環群,于是對G的任意元a都有aΩ1(G)G, 故G/Ω1(G)為Dedekind 群.再由引理2.4,G/Ω1(G)為交換群, 故對G的任意兩個元a,b都為[a,b]∈Ω1(G)且為p階元, 于是有G的換位子群G′≤Ω1(G).因[a,b]為p階元,故[ap,b]=[a,b]p=1.再由a,b的任意性知ap∈Z(G), 固有Φ(G)≤Z(G).

若Ω1(G)不是(p,p)型交換群,則存在Ω1(G)的三個不同的素數階子真群A1,A2,A3, 使得A1A2A3=A1×A2×A3.這樣對G的任意循環子群A有A=AA1∩AA2∩AA3?G,矛盾于G中有非正規子群, 于是Ω1(G)為(p,p)型交換群.

若Ω1(G)Φ(G), 則存在G的子群H和p階子群B, 使得G=H×B.因Ω1(G)為(p,p)型初等交換群, 故H為循環群、四元數群或廣義四元數群.當H為循環群或四元數群時,G為Dedekind-群.當H為廣義四元數群時, 可以驗證G的非正規子群不彼此同構, 都不可能.引理得證.

3 主要結論的證明

定理3.1設p為素數,G為有限p-群.如果G的非正規子群的階不為素數, 并且G中包含四元數群, 則G的非正規子群彼此同構當且僅當G為16 階廣義四元數群Q16, 或G為四元數群Q8與一個4階循環群的直積.

證明我們分兩種情況來證明.

(1)G中含有16階廣義四元數群Q16.

設H=為G的16階廣義四元數子群.顯然不正規于G.若|Ω1(G)|≠2, 取w?H為G的一個2階元, 由G的非正規子群彼此同構有?G,H?G, 于是=∩H?G, 矛盾.故|Ω1(G)|=2,G為廣義四元數群.若|G|≥32, 則不正規于G, 矛盾于G的非正規子群彼此同構, 故此時G應為16 階廣義四元數群Q16.顯然，此時G的非正規子群彼此同構.

(2)G中不含16階廣義四元數群Q16.

令H=為G的四元數子群, 顯然此時Ω1(G)不是循環群, 故H的每一個循環子群均正規于G.

斷言G的方次數為4.否則取G中的8 階元a.若a2∈H, 由引理2.5知H為交換群, 矛盾于H是四元數群.若a4∈H, 則ua2,va2為G的兩個不同的2階元, 而(ua2va2)2≠1, 矛盾于引理2.5.這樣∩H=1, 于是G的4 階子群非正規于G, 從而G的8階子群是正規的.這樣我們就有[u,a]=[v,a]=1, 進一步有8 階子群也非正規于G, 矛盾于G的非正規子群彼此同構.斷言得證.

設A=為G的一個非正規的4階循環子群, 顯然a2?H, 否則A=∩?G, 矛盾.又H的每個子群均正規于G, 故可選取適當的4階循環子群B=, 使得=H×B.此時, ?G,H×B的非正規子群彼此同構，且由引理2.5有Ω1(G)=Ω1(H×B)=Φ(G)=Φ(H×B)≤Z(G).

斷言G=H×B.若斷言不成立，則存在G的4 階元c, 使得cH×K.顯然c2≠u2(否則，由H的每個子群皆正規于G知存在H的一個4階元，不妨仍設為u, 使得cu=uc, 于是(cu)2=1且=, 矛盾).這樣存在4階子群D=使得=H×D.顯然d2=b2或b2u2.

當d2=b2時, 有(bd)2=b2d2[d,b]=[d,b].若[d,b]=1, 則bd∈Ω1(G)=Φ(H×B)且=, 矛盾.若[d,b]=u2, 則(bdu)2=1且=, 矛盾.若[d,b]=b2, 則為四元數群，進一步有?G, 矛盾.若[d,b]=b2u2, 則(bd)2=(bu)2, 又[bu,bd]=(bd)2, 于是為四元數群, ?G, 同樣矛盾.

當d2=b2u2時,(dbu)2=d2(bu)2[bu,d]=[bu,d], 若[d,bu]=1, 則bud∈Ω1(G)=Φ(H×B)且=, 矛盾; 若[d,bu]=u2, 則(db)2=1且=, 矛盾; 若[d,bu]=b2u2, 則為四元數群，進一步有?G, 矛盾; 若[d,bu]=b2, 則[du,b]=[d,b]=[d,bu]=b2, 又由d2=b2u2有(du)2=b2, 于是為四元數群, ?G, 但(du)v?, 矛盾, 斷言得證.容易驗證, 此時G的非正規子群彼此同構.定理證畢.

定理3.2設p為素數,G為有限p-群.如果G的非正規子群的階不為素數, 并且G中不含四元數群, 則G的非正規子群彼此同構當且僅當G=.

證明因G不含四元數群, 由引理2.5有G′≤Ω1(G)≤Z(G)且Ω1(G)為(p,p)型交換群.下面分三步完成定理的證明.

(1)G為二元生成群,G′為p階循環群.

用反證法.若G不為二元生成群, 在G的一個最小生成系中取3個元u,v,w, 由引理2.5知up≠1,vp≠1均包含于Z(G).于是為交換群, 不妨記為H.再由引理2.5, Ω1(G)為(p,p)型交換群, 故H為循環群或兩個循環群的直積.若為前者, 則有up∈w, 此時中存在循環極大子群, 又G中不存在四元數群, 于是存在一個p階元u1∈使得=.由引理2.5, Ω1(G)≤Φ(G), 故有u∈, 這將矛盾于u,v,w是G的最小生成系中的3個生成元.若為后者, 則H為二元生成群, 于是在up,vp,w三個元中能選出兩個元生成H.若是=H, 則w∈, 這將與H為循環群的情形一樣可導出矛盾.如果=H, 也類似于H為循環群的情形可導出矛盾.同理也可以證明≠H.這樣,G為二元生成群,G′為p階循環群.結論得證.

(2)G為亞循環群.

顯然存在G的一個生成系{u,v}使得?G.若不正規于G, 結論已經得證, 故設不正規于G.由于G的非正規子群彼此同構, 故u的階等于v的階(設為pm)且[u,v]不屬于, 也不屬于.

若u∩v=1,則存在k,t, 使得p?k,p?t且G′=.又(ukvt)pm-1=ukpm-1vtpm-1[vt,uk]∈G′.若(ukvt)pm-1=1, 則ukvt的階小于pm.進一步?G, 這樣G=為亞循環群.若(ukvt)pm-1≠1, 則G′≤, 這樣?G,G=也為亞循環群.結論得證.

(3)完成證明.

選取G的適當的生成元a,b使得不正規于G且apm=1,bpn=apt,[b,a]=apm-1.斷言t=m, 即apt=1.否則t≤m-1, 由[b,a]=apm-1有ba=bapm-1∈, 這樣?G, 矛盾.故G=.可以驗證, 此時G的非正規子群彼此同構, 定理得證.

下面我們來證明本文的主要結論.

主要定理的證明顯然當G的非正規子群彼此共軛時G的非正規子群彼此同構, 即G為類型(1)中的群.

當G為非正規子群的階均為素數的有限p-群時,G的非正規子是彼此同構的.當G為非正規子群均為素數的非p-群時, 根據引理2.2, 當且僅當G的非正規子群彼此共軛時,G的非正規子群彼此同構.所以當G的非正規子群的階為素數時, 當且僅當G為類型(1)或類(2)中的群之一時G的非正規子群彼此同構.下設G的非正規子群的階不為素數.由引理2.3 知, 此時G為一個有限p-群.當G中含有四元數群時, 由定理3.1知,G的非正規子群彼此同構當且僅當G為類型(3)或類型(4)中的群之一, 當G不含四元數群, 由定理3.2知G的非正規子群彼此同構當且僅當G為類型(5)中的群.定理證畢.