幾種提高IGS精密星歷方法的比較

湯偉堯

摘 要：對GPS衛星精密星歷的Lagrange插值，chebyshv擬合以及離散正交法進行了比較分析。結果表明，擬合算法最佳精度階數為9階，插值算法在8階時計算精度最高，而三種方法的擬合精度排序為：chebyshv擬合>Lagrange插值>離散正交法，盡管chebyshv擬合所得衛星坐標精度最高且不存在法方程病態，但其系數都是在[-1 ，1]的范圍內仍存在缺陷，而離散正交算法對未知數定義域沒有要求，更加靈活。

關鍵詞：IGS精密星歷;Lagrange插值法;chebyshv擬合法;離散正交算法

中圖分類號：P228.4 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2020）06-0225-03

0引言

IGS發布的精密星歷文件（后綴為.sp3）所包含的內容為GPS衛星的位置，其時間間隔為15分鐘，精度為亞分米級，而在很多科研應用中，需要得到GPS衛星在任意時刻的位置，這就需要有很好的插值或者擬合方法[1]。目前，利用IGS精密星歷求任意時刻衛星位置的插值方法主要有Lagerange插值、Neville插值等;常用的擬合方法包括chebyshv擬合、Legendre擬合等[2-3]。

本文對比分析了lagrange插值和chebyshv擬合在不同階次時的精度高低。在以往的擬合中，往往出現法方程病態，為抑制這種情況，可選擇定義域在[-1，1]的chebyshv擬合，但這種擬合方法會出現法方程很大的情況，導致在方程求逆時不方便[4]。在此基礎上，本文提出基于正交多項式的三項遞推算法，該算法的優點在于未知數定義域可任意值，沒有局限。

1各類算法模型

Lagrange插值算法和Chebyshv擬合算法以及離散正交多項式的具體的數學模型如下：

2插值與擬合與遞推算法實例分析

本文選取了IGS發布的的精密星歷，2006年2月1日在時間段0時0分0秒至2時15分0秒內，PRN01的衛星坐標（表1）作為擬合點，然后對比分析3種方法的精度，結果分別置于下列表中。

為了能夠分析反映上面4種方法的精度，通過MATLAB作圖分別比較插值方法和擬合方法，以及他們與原始真值的比較，得到如下結果。

通過圖1可以看出，勒讓德多項式擬合與切比雪夫多項式擬合，在9階時，完全一致（x方向）。在一段時間勒讓德多項式擬合的精度高于切比雪夫擬合方法，并且最大誤差不超過1cm。

通過圖2可以看出離散正交多項式與實際值的最大差值為1.224763691425324e-04（m）（x方向）。離散正交多項式對法方程系數沒有要求，適合于各種數據插值，但其精度稍低于切比雪夫多項式。

通過圖3可以看出離散正交多項式與切比雪夫多項式擬合最大相差1.445800065994263e-03（m）（x方向），對比兩種方法發現，切比雪夫多項式插值精度與它的階數以及節點數的選取有很大關系。

通過圖4可以看出切比雪夫多項式與實際值在擬合點數值一致。但是不同的階數和不同的節點切比雪夫多項式插值精度明顯有差異，當選取某一階數時，只有把節點選取合理，切比雪夫多項式得到的結果才能精度較高。而且分析可知，當階數達到一定高度時，切比雪夫擬合精度保持平緩趨勢，精度沒有較大波動。

3總結

本文對比了切比雪夫多項式、拉格朗日插值和離散正交多項式對精密星歷的擬合精度，結果得出，切比雪夫內插雖然能夠避免在計算過程中法方程病態的情況，但是由于其系數都是在[-1，1]的范圍內，所以導致計算過程會比較復雜，比較耗時;離散正交多項式對法方程系數沒有要求，適合于各種數據插值，但其精度稍低于切比雪夫多項式。拉格朗日屬于內插方法，所以其在已知值上的精度最高，但是內插值的精度也較切比雪夫稍差。綜上，三種精密星歷內插方法都可以達到要求水平，但它們的精度也存在差異，而這三種方法的擬合精度排序為：切比雪夫>拉格朗日>離散正交。

參考文獻

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