斜坡道路考慮平均流量差預期效應的格子流體力學模型

魏 麒,常銀銀,葛紅霞,程榮軍

(1.寧波財經學院國際經濟貿易學院,浙江寧波315175;2.寧波大學海運學院,浙江寧波315211)

隨著汽車的增多,道路上的交通堵塞情況日趨嚴重.為了有效緩解交通擁堵,深入了解交通擁堵的本質尤為關鍵.為此,學者們從不同的角度對交通流系統進行了分析,并提出了大量的交通流模型,其中包括跟馳模型[1-2]、元胞自動化模型[3-4]、流體力學模型[5-6]和氣體動力學模型[7-8]等.

為了研究交通密度波的演化特征,Nagatani[9]提出了第一個經典的格子流體力學模型,該模型的優點在于結合了宏觀流體力學模型和微觀跟馳模型的思想,更有利于分析交通系統的特性.隨后,通過對駕駛員記憶效應、交通中斷概率、預期效應、后視效應等因素的研究,大量真實的交通因素在模型中被提出.

在實際交通流中,不同的道路條件影響著司機的駕駛行為.因此,一些學者從平坦道路轉向有坡度的道路去研究交通流模型.基于在坡度公路上考慮重力對交通流的影響,Komada等[10]提出了最優速度模型,以探索在坡度公路上何時何地會出現交通堵塞;Ge等[11]提出了在斜坡上考慮雙向行人流的格子流體動力學模型,其研究結果表明隨著坡度的增大,上坡過程中交通流穩定性顯著提高,而下坡過程中交通流的穩定性降低;為了分析斜坡上的交通流的穩定性,Gupta等[12]提出了最優流量差的格子流體力學模型,其數值模擬結果表明考慮最優流量差可以有效地緩解交通擁堵;Cao等[13]提出了一種新的雙車道格子模型,該模型是在坡度公路上考慮相對流量對交通流的影響,研究結果顯示相對流量和車道的改變都可以有效緩解交通擁堵;隨后,Kaur等[14]考慮了司機在一個斜坡的彎道公路上的預期效應,建立了一個新的格子流體力學模型,在該論文中斜坡上的彎道公路的一些復雜的交通流問題被研究.

在駕駛過程中,司機可以根據平均流量差預測當前的交通狀況,進而快速調整駕駛行為.為了緩解交通壓力,許多學者研究了在單車道或雙車道上平均流量差對交通流穩定的影響.然而,很少有人在斜坡上考慮平均流量差的預期效應對交通流穩定性的影響.基于以上觀點,本工作提出了一種新的格子流體力學模型,利用控制方法和約化攝動法研究了不同坡度下平均流量差預期效應對交通流的影響.

1 改進的模型

1998年,Nagatani[9]結合微觀跟馳模型和宏觀流體動力學模型的觀點提出了格子流體動力學模型,其連續方程和運動方程為

式中:j表示為格子點的位置;ρj和vj分別為第j個格子處、t時刻的密度和速度;a為司機的敏感系數;ρ0為平均密度.

最近,Jiang等[15]在平坦道路上考慮了平均流量差對交通流穩定的影響,并證實該模型提高了交通流的穩定性.在實際交通中,斜坡公路上的交通行為不同于平坦公路.假設在一個單車道的坡度公路上有很多前行的車輛,作用于上坡和下坡時公路上的車輛所受的力如圖1所示.圖中,斜坡的坡度用θ表示,g為重力加速度,m為車輛的質量.在平行坡面方向上,當司機不剎車時,有一外力mg sinθ.根據以上觀點,在坡度公路上考慮平均流量差預期效應的格子流體動力學模型被提出:

式中:k為影響系數,反映了坡度道路平均流量差預期效應的強度;為在格子j到j+l處預期的平均流量,t0為預期時間;qj為格子j處的交通流量,反映的是ρj和vj的乘積;V(ρj+1,θ)為斜坡上的優化速度函數,其中上坡公路

下坡公路

式中:vf,max為無坡度時的最大速度;“?”對應于上坡情況,“+”對應于下坡情況;hc,θ為制動距離,在上坡時hc,u,θ=hc(1?εsinθ),下坡過程中hc,d,θ=hc(1+φsinθ),ε和φ分別為上、下坡時的系數;vg,u,max和vg,d,max為上坡最大減小速度和下坡最大增強速度,其表達式為

式中:μ為摩擦系數.為了便于計算,令ε=φ=1,mg/μ=1,?8?<θ<8?,結合式(5)和(6),最優速度函數可改寫為

式中:vg,max為坡度公路上的最大速度,vg,max=vg,u,max=vg,d,max,hc,θ =hc,u,θ =hc,d,θ. 這里可令

2 線性穩定分析

利用控制方法對坡度公路上考慮平均流量差預期效應的格子模型進行研究,從而得到滿足線性穩定的條件.假設在穩態均勻流下的期望密度和期望流量滿足由于在現實交通流中絕對的穩定狀態并不存在,因此在穩定狀態周圍加入一個小擾動,得到

對式(9)和(10)進行拉普拉斯變換,可以得到

式中:L(ρj+1)=Pj+1(s),L(qj+1)=Qj+1(s),L(qj)=Qj(s),L(qj?1)=Qj?1(s);L(·)為拉普拉斯變換;s為一個復雜變量.消去式(11)和(12)中的變量Pj+1(s),得到

假設不發生交通擁堵,模型應滿足:特征多項式p(s)穩定且傳遞函數.根據Hurwitz穩定性判據可知,不等式即滿足特征多項式p(s)穩定的條件.利用范數的性質,得出了滿足∥G(s)∥∞6 1的條件,即

傳遞函數可以展開為

對式(16)進行化簡,得到

通過上述分析,滿足傳遞函數||G(s)||∞6 1的充要條件為

3 非線性分析

為了描述交通密度波的演變特征,通過約化攝動法得到了臨界點(hc,ac)附近的mKdV方程.在臨界點(hc,ac)附近,引入時間變量t、空間變量j、慢變量X和T,有如下定義:

式中:b為待定常數;ε是一個小的正尺度參數,滿足0<ε?1.假設密度ρj滿足

把式(19)和(20)帶入式(4)中,對式(4)進行泰勒展開,展開到ε的5階項,得到如下偏微分方程:

式中,系數gi如表2所示.

表1 模型中的系數kiTable 1 Coefficients kiof the model

表2 模型中系數giTable 2 Coefficients giof the model

忽略校正項o(ε)的影響,標準的mKdV方程的扭結-反扭結孤立波解為

假設R′(X,T′)=R′0(X,T′)+εR′1(X,T′),為了獲得扭結-反扭結孤立波的傳播速度c,必須滿足的可解性條件為

根據以上分析,坡度道路上考慮平均流量差預期效應的交通流扭結-反扭結孤立波的一般解可表示為

4 數值模擬

為了驗證斜坡上預期效應的平均流量差對交通流的影響,本工作對模型進行了數值模擬.首先對模型進行離散,得到

式中:?t=0.05為時間步長.

模型的初始條件設置如下:

式中:總格子數N=100.模型的其他參數值可設為ρ0=ρc=0.25,a=1.8,t=3 000,

首先,通過數值模擬來探究坡度因素對交通流穩定性產生的影響.圖2為在控制參數k=0.01,t0=1等因素不變的情況下,只改變上坡坡度大小所得到的密度波的時空演化圖.圖2(a)中沒有設置坡度,可以用來與設置坡度后的交通流狀態進行對比.圖2的(a),(b),(c)均為不穩定狀態,也就是穩定性條件都沒有得到滿足;但隨著上坡坡度的不斷增大,密度波波動的幅度逐漸減小,最后當上坡坡度增大到θ=6?時,交通流達到穩定.圖2整體的密度波演化趨勢可以說明在上坡時,坡度的增大可以改善交通流的穩定性,有助于緩解交通擁堵.當時間t=3 000 s時,對應于圖2的密度剖面圖如圖3所示,流量剖面圖如圖4所示.從圖3和4可以更加直觀地看出,當上坡坡度增大到一定值時,加入系統的擾動經過足夠長時間后消失,系統處于穩定狀態,密度和流量恢復為初始的均勻流.這2個圖也可以表明,在一定范圍內設置坡度相較于沒有坡度是可以增強交通流穩定性的,且在上坡時坡度的增大有利于交通流的穩定.

圖2 在k=0.01,t0=1時不同上坡坡度θ下的密度波的時空演化Fig.2 Temporal and spatial evolution of density wave under different uphill slopes θ when k=0.01,t0=1

圖3 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同上坡坡度θ下的密度剖面Fig.3 Density profile of different uphill slopes when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

圖4 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同上坡坡度θ下的流量剖面Fig.4 Flux profile of different uphill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

圖5為調整不同上坡坡度θ所模擬出的遲滯環.很明顯地,隨著上坡坡度θ從0?增大到3?,6?,9?,遲滯環的尺寸在不斷縮小;當θ=9?時,遲滯環縮小為一個點,此時的交通流達到穩定狀態,從遲滯環的角度依然可以得出結論,即當上坡時,一定范圍內坡度的增大可以使交通流趨于穩定.

圖5 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同上坡坡度θ下的遲滯環Fig.5 Hysteresis loop of different uphill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

接下來,本工作將通過數值模擬展示下坡時坡度大小對交通流穩定性的影響.圖6為k=0.01,t0=1時不同下坡坡度θ下的密度波的時空演化圖.圖6中的4種交通流模式均為不穩定交通流.當設置θ=0?時,也就是沒有設置坡度的情況,密度波的振幅范圍為0.21～0.29;當設置θ=?3?時,密度波的振幅范圍加大到0.21～0.31,意味著擾動的波動幅度在增大,不利于緩解交通阻塞.整體比較分析圖6中的4張圖后可知,設置下坡坡度相比較于無坡度情況是不利于交通流穩定的,且在下坡時坡度的增大會降低交通流穩定性,從而加劇交通擁堵.圖7為對應圖6的密度剖面圖,圖8為對應的流量剖面圖.從圖7和8可知,隨著參數θ從0?逐漸變化為?3?,其密度的波動情況和流量的波動情況都是在加劇的,也就是說能得出和圖6一致的結論,即在一定范圍內,交通流的穩定性會隨著下坡坡度的增大而不斷下降.

圖9為當k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同下坡坡度θ情況下的遲滯環.從圖中可以發現,當設置θ=0?,?2?,?4?,?6?時,4種交通流均為不穩定狀態,遲滯環的尺寸均較大.但是通過比較分析圖9中4個遲滯環的變化趨勢可以發現,隨著下坡坡度的逐步增大遲滯環尺寸也在不斷增大,因此可以得出下坡坡度的加大會加劇交通擁堵的結論.

圖6 在k=0.01,t0=1時不同下坡坡度θ下的密度波的時空演化Fig.6 Temporal and spatial evolution of density wave under different downhill slope θ when k=0.01,t0=1

圖7 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同下坡坡度θ下的密度剖面Fig.7 Density profile of different downhill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

圖8 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同下坡坡度θ下的流量剖面Fig.8 Flux profile of different downhill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

圖9 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同下坡坡度θ下的遲滯環Fig.9 Hysteresis loop of different downhill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

為了研究平均流量差預期效應對交通流穩定性的影響,當固定θ=2?,t0=1時,圖10給出了不同平均流量差預期效應強度k=0,0.03,0.06,0.15下的交通密度時空演變圖.當t=3 000s時相應的密度剖面圖如圖11所示,流量剖面圖如圖12所示.從圖中可知,隨著參數k的增大,曲線波動的幅度減小,說明考慮平均流量差預期效應可以有效緩解交通擁堵,減小交通密度振蕩壓力.

圖10 在θ=2?,t0=1時不同k下的密度波的時空演化Fig.10 Temporal and spatial evolution of density wave under different k when θ =2?,t0=1

圖11 在θ=2?,t0=1,t=3 000 s時不同k下的密度剖面Fig.11 Density profile of different k when θ=2?,t0=1,t=3 000 s

圖13 為系數k=0,0.04,0.08,0.12時遲滯環的流量和密度關系圖.由圖13可以看出:遲滯環的尺寸很大,隨著坡度平均流量差預期效應強度的增大,遲滯環的尺寸明顯減小,最后只有一個點.這說明格子流體力學模型中平均流量差預期效應對緩解交通擁堵起到了積極的作用.

5 結束語

圖12 在θ=2?,t0=1,t=3 000 s時不同k下的流量剖面Fig.12 Flux profile of different k when θ =2?,t0=1,t=3 000 s

圖13 在θ=2?,t0=1,t=3 000 s時不同k下的遲滯環Fig.13 Tysteresis loop of different k when θ=2?,t0=1,t=3 000 s

考慮坡度公路上平均流量差預期效應對交通系統的影響,本工作提出了改進的格子流體動力學模型.在線性分析時,利用控制方法得到了模型滿足穩定性所需的條件;在非線性分析中,通過約化攝動法得到了臨界點附近的mKdV方程,以研究交通密度波的傳播特性.數值模擬結果表明,隨著坡度的增大,上坡過程中交通流穩定性顯著提高,而下坡過程中交通流的穩定性降低.此外,斜坡上考慮平均流量差的預期效應對交通流的穩定也起到了積極的作用.