有障礙物通道內雙向行人流的自組織現象

吳 成, 藍冬愷, 董力耘,2

(1.上海大學力學與工程科學學院上海市應用數學和力學研究所,上海200072;2.上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室,上海200072)

目前,不同場景下的行人流自組織現象引起了人們的廣泛關注[1-2].通道中的行人運動便是一個常見的場景,由于其足夠簡單,故常被用來研究行人之間的相互作用和集體行為.眾所周知,通道內的典型自組織現象是雙向人流中自發成行現象.同向運動的行人自動形成隊列,因而與反向行人間的沖突顯著減少.在許多觀測和實驗中都能發現成行現象,成行現象可以作為驗證行人流模型的定性基準之一.一般來說,微觀模型允許描述個體之間的細致的相互作用,因此微觀模型更適用于模擬行人的自組織現象.微觀模型主要分為2類:①基于力的模型(如社會力模型[3]);②基于規則的模型(如元胞自動機模型[4]和格子氣體模型[5]).這2類微觀模型都能定性地再現雙向行人流中的成行現象.社會力模型是連續的,能夠更真實地描述行人運動.在社會力模型中,為了能更細致地描述行人運動,引入了物理接觸力這類社會力,如排斥作用、摩擦力和波動等.成行現象的出現是由于行人想減少不必要的減速以及回避的頻率[6].在基于規則的模型中,還有幾種其他機制,如靠右行走偏好[5]、跟隨行為和回避行為[7]等.

為了使模擬結果與經驗觀測和實驗數據一致,人們對社會力模型和元胞自動機(cellular automation,CA)模型進行了大量的改進.Lakoba等[8]提出,在社會力模型中應運用更加真實的參數,并在排斥社會力中引入新的機制,例如記憶效應和密度效應等;Parisi等[9]引入了一種自停止機制,用來防止模擬中行人不斷地擠壓其他行人的行為;Moussa¨?d等[10]提出了一種基于啟發式的方法,該方法可以利用一些智能規則來評估可行方向和速度;Wang等[11]提出了一種優化的避免碰撞模型,使行人可以在他們的視野中找到一條到達目的地最快的路徑;Xiao等[12]提出了一種改進的基于啟發式的模型,該模型考慮了行人步行的舒適度,是通過局部密度來表示舒適度;最近,Jiang等[13]把動態導航加入到了社會力模型中行人的決策過程中.從基于規則的模型而言,一些學者對靠右行走偏好[14-15]和換位行為[16-17]對成行現象的影響又進行了深入研究.Nowak等[18]已經對自由流、無序流、成行現象和堵塞的發生進行了定量分析.

元胞自動機模型中的一個重要進展是Burstedde等[19]引進了背景場(floor field,FF)概念.背景場可以分為2種:靜態場和動態場.靜態場用來指定空間中更具吸引力的區域,例如出口或其他目標[20].靜態場的梯度表示每個行人的合理移動方向.此外,Varas等[21]和Huang等[22]還提出了在有障礙物情況下背景場的有效算法.動態場可以用來模擬行人的跟隨行為[20].基于背景場的元胞自動機模型的主要優勢是提供了一個統一的方法來確定區域內每個行人各自的期望方向.因此,基于背景場的元胞自動機模型得到了許多學者的廣泛應用和推廣.例如,Suma等[23]建議使用背景場來模擬行人的回避行為;Ma等[24]提出了一個k近鄰對流模型,該模型使行人與近鄰的固定數目的反向行人產生相互作用;Guo等[25]綜合考慮了路程、行人擁堵狀況、路線和出口的通行能力,研究了行人對路線選擇行為;Tian等[26]將行人自身當作一種可移動的障礙物,因此靜態場在每個時間步長都會發生變化;Lu等[27]將行人群體行為的特征也納入基于背景場的元胞自動機模型.另一方面,Zhang等[28]提出了一個考慮費用勢場(potential field,PF)的元胞自動機模型,該模型將從這個元胞到目的地的最小費用定義為元胞的成本勢能;Jian等[29]在模型中加入了感知費用勢能場和集中力場;Zhang[30]通過考慮導流、壓力及其包含的影響提出了一個綜合勢場,結果表明在模型考慮場內跟隨行人的數量后可以促進成行現象的形成;Guo等[31]提出了一種考慮人群速度、密度分布及行人主觀意識的PFCA(potential field cellular automation)模型.總之,綜合考慮各種因素可以有效地反映行人對路徑選擇行為以及行人之間的局部相互作用,從而使背景場和勢能場都得到不斷完善;另外,社會力模型與元胞自動機模型之間其實并非截然不同,一些基于規則的想法同樣可以應用于社會力模型.

相比之下,對有障礙物通道內的行人流的研究卻比較少.通道中的瓶頸也可以看作是一種障礙.與單向流不同,研究通過瓶頸的雙向行人流更加有趣且具有挑戰性,其中典型的自組織現象是振蕩流,這種現象在社會力模型中可以得到定性的再現[3].然而,對雙向流中瓶頸處的定量研究還較少[32-33].除了瓶頸外,可能還存在其他形式的障礙物,如隔欄或圓柱.顯然,障礙物的存在會對成行現象的出現產生影響,還可能會出現一些新的自組織現象.此外,在一些特定位置放置行人設施一定情況下會提高通行效率[1].

本工作通過所提出的改進社會力模型[34]研究了加入障礙物的通道內雙向行人流.本工作選擇了3種典型案例進行了研究:①圓柱等間距分布在中心線上;②具有中心對稱分布的雙垂直隔欄;③一對安裝在水平壁上的對稱垂直隔欄.對于前2種情況,本工作在周期邊界條件下進行模擬,對于最后一種情況,考慮到現實交通情況,采用了開放邊界條件.在每一種情景中,本工作都側重于研究行人流中的各種自組織現象.由于障礙物的存在,故預測將會出現更為復雜的人群運動特性.另一個有意義的問題是檢驗障礙物的放置會提高行人的通行效率.

1 改進社會力模型

社會力模型可以較好地再現簡單場景下的行人流自組織現象.然而,僅通過最終目的地來指引行人運動是不夠的,尤其是在復雜場景下[35].而基于背景場的元胞自動機模型[21-22]可以有效地解決這個問題.因此,把這2種微觀模型的優勢結合起來,提出了改進社會力模型[34].本模型與社會力模型的區別在于弛豫項中如何確定每個行人的期望運動方向.此外,用視野場代替了動態場,因為視野場在處理行人周圍的局部信息時的效率更高.可見,加入視野場的背景場能使確定行人的期望方向能變得更加合理,之前工作中也使用過類似的做法,結果證明這是有效可行的.

社會力模型的運動方程為

式中:xi(t)為行人i的位置;vi(t)為行人i的實際速度,即vi(t)=dxi(t)/dt;mi為行人i的質量.

方程(1)右邊由3項組成,其中第1項為行人經過一段弛豫時間τi后將其實際速度調整到理想速度的自驅力,

式中:ei(t)為期望運動方向;τi為弛豫時間.

計算自驅力的關鍵在于如何決定一個行人的期望方向,尤其是當周圍環境比較復雜的時候.本模型中,背景場被定義在細化的網格上(見圖1(a)),網格大小為0.1 m×0.1 m.行人是用一個半徑為r的圓表示的,用一個十字標記表示行人的中心.每個行人都有8個運動方向可以選擇,分別用數字1～8表示.選擇周圍8個元胞的概率是通過靜態場S計算得到的[24]:

式中:Si為行人i的靜態場強度;Sn為周圍元胞的靜態場強度;KS為靜態場系數.

同時,本模型又考慮了行人的視野場.視野場是一個半徑為rV的圓形區域,被分割成8個部分,每個部分對應一個可能移動的方向(見圖1(b)).視野場的作用與動態場類似,但是比動態場更加高效.視野場的基本思路是行人更傾向于跟隨同向的行人,而排斥反向的行人,即“同向相隨,異向相斥”.行人選擇方向的概率為

式中:KV為視野場系數;?ρn為密度差,由該行走方向的扇形區域內同向行人人數減去不同向行人人數的差再除以該圓面積的1得到.

圖1 行人運動方向及其視野示意圖Fig.1 Schematic diagram of both movement directions and visual field of a pedestrian

行人的移動概率為

式中:ρV為視野場中行人的密度.當ρV趨向于0時,KS達到最大值,此時行人i會更傾向直接走向目的地.當ρV增加,KS會減小,行人的運動會受到視野場內其他行人的影響.

方程(1)右邊第2項為行人i與其他行人j之間的作用力,包括社會力和物理接觸力

式中:A和B為常數.

物理接觸力僅在行人間有身體接觸時(dij

行人與墻和其他障礙物之間的作用和行人之間的相互作用相似,參數值也和行人之間相互作用的參數值一樣.模型的更多細節詳見文獻[34].

2 數值模擬和討論

本工作對有障礙物的通道內行人對流中的自組織現象進行了模擬研究.模型中的參數設定如下:對于每個行人,半徑rp=0.2 m,質量m=80 kg,期望速度v0=1.34 m/s,弛豫時間τ=0.5 s.對于視野場,視野場半徑rV=1.5 m,視野場系數KV=1.13.靜態場常數K0=0.5,H=5.0.社會力和物理接觸力的參數分別為A/m=1.8,B=0.1,k/m=150,κ/m=5.本模型中的這4個參數與Kretz等[36]的接近并且值更小,這能使所得到的物理接觸力會更加合理,可以在模擬中采用更大的時間步長(如0.1 s).通過和Seyfried等[37]的疏散實驗做比較,對模型中的參數進行校準.模擬結果與他們的實驗數據非常吻合[34].此外,本工作還計算了單向和雙向行人流的基本圖,發現在單向流情況下基本圖與實測數據[38]吻合較好,特別是在中等密度范圍內,但是雙向流的基本圖會略大于實測數據[39].此外,在一定的密度范圍內雙向流的流量要大于單向流的流量,這在一定程度上支持Kretz等的結論[40],表明改進的社會力模型可以較好地反映行人流的基本特征,故將其進一步應用于更復雜情況的研究.

2.1 圓柱等距分布在中心線上

本次模擬中,通道寬4.8 m,長14.0 m,在通道的中軸線上等距放置多個半徑的圓柱,采用的是周期性邊界條件,即行人從一側離開通道,又立即從另外一側進入通道.初始時刻,行人隨機分布在通道中.圖2為不同個數圓柱形障礙物下行人平均速度與密度之間的關系圖,圖中還加入了沒有放置圓柱的情況作為對比.從圖中可以發現,速度會隨著行人密度的增大而減小.當密度小于2.1 ped/m2時,4條曲線無明顯差異.在低密度區域會出現自有流和成行現象.當放置圓柱體以后,運動方向相反的行人會彼此分開,沿著水平壁移動.隨著行人密度的進一步增大,在有圓柱情況下行人的平均速度要比沒有圓柱時行人的平均速度下降得更快.結果表明,此時放置圓柱會導致擁堵變得更加嚴重.在高密度區域,行人流趨于飽和.沒有放置圓柱時,成行現象仍會發生.但如果放置了圓柱,會更容易導致堵塞現象的發生,此時行人速度會下降得更快.當行人密度超過4.2 ped/m2時,即使沒有放置圓柱人流也是非常擁擠,從而使得4條曲線之間的差異可忽略不計.

圖2 不同個數圓柱形障礙物下行人平均速度與密度關系Fig.2 Average velocity as a function of density with different numbers of cylinders

圖3 不同時刻的行人分布斑圖(ρ=3.0 ped/m2)Fig.3 Snapshots at different times(ρ=3.0 ped/m2)

圖4 ρ=3.0 ped/m2時行人分布斑圖Fig.4 Snapshots for ρ=3.0 ped/m2

圖3 為不同時刻的行人分布斑圖,其中藍(紅)色實心圓代表向左(右)運動的行人,而黑色實心圓則代表圓柱.初始時刻,密度為3.0 ped/m2的行人隨機分布在通道內(見圖3(a)).從圖3(b)中可以看出,運動方向相同的行人會迅速聚集在一起.在高密度區域(ρ>2.4 ped/m2),這些圓柱會變成障礙物,使得局部堵塞發生的概率變大.由于圓柱的存在,即使只有一個圓柱,也會使成行現象的形成變得困難(見圖4(a)).因此,圓柱數量對平均速度并沒有明顯影響.圓柱的存在會使以其為中心的周圍區域內行人變得擁擠,且會阻礙兩邊行人的運動.在高密度區域,很少能觀察到成行現象的出現(見圖4(b)).成行現象發生的概率會隨著行人密度的增大而減小.Helbing等[1]曾指出,當不耐煩的行人試圖超過其他人時,這樣設置圓柱可以有效地穩定住2個方向的成行.然而,模擬中所有行人都是一樣的,因此在這種情況下串列圓柱這樣的措施并不能起到明顯的穩定作用.另一方面,初始條件和邊界條件也會對成行現象的形成有明顯的影響,特別是在高密度區域.當行人數量足夠大的時候,隨機分布的行人很難快速成行.而圓柱的存在容易導致局部擁塞的發生,并且堵塞區域會越來越大.此外,行人進入通道的方式也是影響因素之一.如果不同方向的行人都各自從一側進入通道,就容易觀察到圖4(b)中的成行現象.

2.2 具有中心對稱分布的雙垂直隔欄

本次模擬中通道的大小與2.1節中的相同,采用的仍然是周期性邊界條件.本工作在通道中放置了2個長度都為1 m且對稱分布的垂直隔欄.2個隔欄的水平距離為7 m.隔欄中心與中心線的垂直距離y分別為0,0.5,1.0和1.9 m.在行人密度為2.0 ped/m2時,距離y不同的行人分布的差別如圖5所示.當y=0 m時,可以很容易觀察到成行現象(見圖5(a));當然,有時也會出現全部堵塞的情況(見圖5(b)).另外,在y=0 m時,2個隔欄之間的區域很少會有行人經過.隨著y的增大,2個隔欄之間的區域通過的行人也逐漸變多,會慢慢出現成行現象.當y=0.5 m時,由于左側有行人堵在隔欄處,因此會觀察到局部堵塞;右側的行人沿著墻壁走,則沒有發生擁堵(見圖5(c)和(d)).當y=1.0 m時,隔欄之間的距離幾乎等于隔欄和最近的墻之間的距離,此時,可以觀察到成行現象且為3行(見圖5(e)和(f)).當y=1.9 m時,每個隔欄的一側都是和水平壁相連的,因此行人必須穿過這2個隔欄的中間區域.此時,成2行和成3行現象都可以被觀察到(見圖5(g)和5(h)).

圖5 ρ=2.0 ped/m2,t=400 s時不同偏移距離的人群空間分布斑圖Fig.5 Snapshots at t=400 s with different settings of two fences(ρ=2.0 ped/m2,t=400 s)

在不同的間距y時,平均速度與行人密度之間的關系如圖6所示.平均速度會隨著密度的增大而減小.通道縮減比γ為2個隔欄在垂直方向上的投影除以通道的寬度.當y=0 m時,γ≈0.21.當行人密度小于1.5 ped/m2時,有隔欄的曲線與沒有隔欄的曲線基本一致.此時,行人會自發地避開隔欄并沿著水平壁前進,這與放置了圓柱的情況很相似.在其他3種情況下,2個隔欄并不在一條直線上,此時y>0 m,γ≈0.42.可見,3種情況的通道縮減比相同,此時隔欄會對行人的通行產生較大阻礙作用,甚至在低密度情況下都會導致速度減小.不同位置的2個隔欄在一定程度上會影響通行效率.當行人密度超過1.8 ped/m2,y=0 m時的曲線下降速度會大于y>0 m的情況,這是因為此時很容易形成全局擁堵(見圖5(b));當行人密度超過4 ped/m2時,此時通道內擁塞嚴重,這些曲線沒有表現出明顯的差異.

圖6 相同大小、不同位置雙垂直隔欄下行人速度與密度關系Fig.6 Average velocity as a function of density with different setting of two fences

2.3 一對安裝在水平壁上的對稱垂直隔欄

在本次模擬中,設置通道長20.0 m,寬4.8 m,分別在上、下水平壁上安裝了一對長度相同的垂直隔欄,其水平距離是8.0 m.初始時刻,行人隨機分布在通道兩側的長方形區域且密度相同,2個隔欄間區域沒有行人分布.模擬中采用的是開放性邊界條件,即行人一旦超過出口邊界,就從系統中移除.圖7為行人密度(定義為在通道一側的人數除以該側矩形分布區域的面積)為3.5 ped/m2時不同時刻的人群分布斑圖.在t=5 s時,兩側的行人在中間位置開始有了接觸,但是此時他們沒有完全混合.同向的行人會成群結隊一起移動.在t=35 s以后,運動方向相反的行人完全分開,不再阻礙彼此的移動.當所有行人離開通道時,得到行人的運動總時間.由于隔欄安裝在水平壁上,故會阻礙行人沿著墻壁移動.

本工作分別模擬了在行人密度為3.5 ped/m2時,3種不同的隔欄距離(l=0.4,0.7,1.0 m)時的行人運動.對每一種情況都進行了50次模擬,然后取平均值得到平均行程時間和發生擁堵的概率,結果如表1所示.模擬數據表明,隨著隔欄長度的增加,平均行程時間會先減少后增多.當隔欄較短的時候,平均行程時間會有所減少;然而,隨著隔欄的加長(如l=1.0 m),平均行程時間會大大增加,表明當隔欄較長時隔欄會對行人產生較大的阻礙作用.然而,雖然進一步增加隔欄長度會降低通行效率,延長行程時間,但在一定程度上能夠減小堵塞發生的概率,這可以從行人的分布斑圖中看出.由于隔欄的存在,使得人群很難發生正面沖突.事實上,隔欄有助于不同方向人群的分離,可以明顯減少擁堵發生的概率.但是與此同時,長隔欄會阻礙雙向行人流,從而導致中心區行人密度變高,但不同方向人群的分離較難形成完全堵塞.

圖7 不同時刻的行人分布斑圖(l=0.7 m)Fig.7 Snapshots at different times(l=0.7 m)

表1 初始密度為3.5 ped/m2時不同長度垂直隔離欄的平均行程時間及擁堵概率Table 1 Average travel time and probability of congestion for different lengths of fence when the initial density is 3.5 ped/m2

3 結束語

本工作利用改進的社會力模型,對有障礙物的通道內的行人流自組織現象進行了研究.一些行人設施(如柱子或安全隔欄)都可視為某類障礙物.在周期性或開放性邊界條件下,本工作分別對放置在不同位置上的圓柱、隔欄等障礙物進行了模擬,發現成行現象仍是通道內雙向行人流的主要現象.然而,由于障礙物的出現,行人的自組織現象變得更加豐富.在周期性邊界條件下,障礙物往往會引起堵塞,導致平均速度降低.如果通過在特定地方放置障礙物可以使得行人在高密度下快速且穩定成行,能較好地提高步行效率.在開放性邊界條件下,在水平壁上設置較短的垂直隔欄可以減少通行時間.此外,這樣設置2個隔欄還可以使出現堵塞的概率變小.但值得注意的是,當隔欄長度超過某一臨界值時,則會增加行人的通行時間.對于有障礙物的通道內的雙向行人流,還需要做更多工作來全面揭示其整體特性.