領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動下頻率權(quán)重耦合復(fù)雜系統(tǒng)的同步

金彥亮,朱懷清,齊 崎,周潤滋

(上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,上海200444)

數(shù)量龐大的相互聯(lián)系、影響、作用的單元所組成的系統(tǒng)廣泛存在于現(xiàn)實世界中[1].因為組成單元的相互作用和動力學(xué)行為都非常復(fù)雜,所以這類系統(tǒng)被稱為復(fù)雜系統(tǒng).復(fù)雜系統(tǒng)涉及統(tǒng)計物理學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、社會學(xué)、非線性動力學(xué)等,已成為國內(nèi)外各學(xué)科研究人員的研究熱點[2].隨著對復(fù)雜系統(tǒng)跨學(xué)科研究的大力發(fā)展和漸趨深入,復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)行為正成為非常活躍的研究領(lǐng)域之一.大量實際的復(fù)雜系統(tǒng)表明,經(jīng)過簡單耦合作用形成自發(fā)的同步是普遍存在的重要集體動力學(xué)行為.對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上大量振子經(jīng)相互耦合作用形成的復(fù)雜系統(tǒng),同步產(chǎn)生的原因和控制手段受到了特別的關(guān)注.國外學(xué)者提出了幾種振子模型來分析同步的產(chǎn)生,較有影響力的振子模型有Lorenz振子[3]、Kuramoto振子[4]等.

在真實世界的許多復(fù)雜系統(tǒng)中,振子受到相互作用的程度與振子自身特征有關(guān).如在社交網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜系統(tǒng)中,有相同社交圈的一個性格外向的人與一個性格內(nèi)向的人,前者比后者受他人的影響更大;Do¨ofler等[5]在對智能電網(wǎng)的研究中也發(fā)現(xiàn)類似的現(xiàn)象,提出了將由Kuramoto振子組成的非均勻耦合網(wǎng)絡(luò)用于電力網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析,這個成果促使研究人員提出了相互作用程度與振子本征頻率相關(guān)的非均勻耦合Kuramoto模型[6];Liu等[7]研究了權(quán)重指數(shù)對頻率權(quán)重耦合網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為的影響;Zhang等[8]研究了頻率權(quán)重耦合的一般復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步;Xu等[9]對頻率權(quán)重耦合的全聯(lián)網(wǎng)的同步臨界閾值進(jìn)行了討論;Bi等[10]研究了具有均勻頻率分布的頻率權(quán)重耦合網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)行為.

通常,復(fù)雜系統(tǒng)受環(huán)境的影響是不容忽略的.如傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點上的時鐘在參考鄰節(jié)點修正以達(dá)到同步時還會參考統(tǒng)一的GPS時鐘,因為人體細(xì)胞的晝夜節(jié)律受到光照的影響.復(fù)雜系統(tǒng)有時還會對外界刺激失去反應(yīng),例如大腦病變引起的癲癇等[11].外界刺激相當(dāng)于對復(fù)雜系統(tǒng)施加了外場驅(qū)動作用,這個刺激源可以被抽象為獨立的振子,稱為領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點.目前,對于施加領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動的復(fù)雜系統(tǒng)的研究有一定進(jìn)展,如Wang等[12]研究了施加領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動的Kuramoto模型的指數(shù)同步率;Zou等[13]研究了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)部分振子施加領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動的情況;Yuniati等[14]討論了噪聲驅(qū)動的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步;Seshadri等[15]討論了脈沖驅(qū)動的復(fù)雜系統(tǒng).

由于復(fù)雜系統(tǒng)在滿足一定條件的耦合強(qiáng)度時因振子間的耦合作用會自發(fā)同步,因此上述許多研究都關(guān)注的是這種自發(fā)的相互同步.領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點對復(fù)雜系統(tǒng)的振子施加驅(qū)動作用時,復(fù)雜系統(tǒng)的同步應(yīng)區(qū)分不同的2種類型,即振子間的耦合作用形成的相互同步和領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動作用形成的驅(qū)動同步,二者的集體動力學(xué)行為細(xì)節(jié)不盡相同.本工作提出了一種結(jié)合系統(tǒng)內(nèi)頻率權(quán)重耦合作用和系統(tǒng)外領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點驅(qū)動的、用Kuramoto振子組成的復(fù)雜系統(tǒng)模型,研究了當(dāng)振子受到外界領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點的驅(qū)動時,頻率權(quán)重耦合復(fù)雜系統(tǒng)的同步,指出了上述2種同步的區(qū)別,并給出了相互同步轉(zhuǎn)變?yōu)轵?qū)動同步的條件.數(shù)值模擬結(jié)果證明了本模型所獲結(jié)果的正確性.

1 Kuramoto振子和同步判據(jù)

Kuramoto振子是一種沒有振幅只有相位的自維持振子,θi和ωi分別為振子i的相位和本征頻率[1].以一對Kuramoto振子為例,振子間的耦合作用表示為

通常,耦合強(qiáng)度λ取大于0的正值.通過這種耦合作用2個振子的相位會隨著耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)趨向于相同.

對于N個Kuramoto振子組成的復(fù)雜系統(tǒng),序參量r是衡量整個系統(tǒng)集體動力學(xué)行為特別是振子同步程度的參量,定義為

式中:ψ代表系統(tǒng)中振子的平均相位.系統(tǒng)中所有Kuramoto振子的相位可以被看作分布在一個單位圓上,當(dāng)r=0時所有振子的相位平均分布在單位圓上.隨著系統(tǒng)同步程度的增大,振子的相位將聚集在單位圓的某一點附近,r隨之增大.當(dāng)r=1時所有振子相位相同,系統(tǒng)完全同步.

2 帶有領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動的頻率權(quán)重耦合模型

2.1 系統(tǒng)模型

由N個Kuramoto振子為節(jié)點組成的頻率權(quán)重耦合復(fù)雜系統(tǒng)中,每個振子都可視為一個節(jié)點,則如果系統(tǒng)中的各振子間存在相互作用,則系統(tǒng)可被視為存在一條連接節(jié)點的邊.復(fù)雜系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為節(jié)點和邊組成的集合,通常用鄰接矩陣來描述.如果節(jié)點i和j間存在相互作用,則鄰接矩陣的元素Aij=1;否則Aij=0.受到外界領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動的由N個Kuramoto振子組成的頻率權(quán)重耦合復(fù)雜系統(tǒng)可以描述為

式中:Aij表示為復(fù)雜系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的鄰接矩陣的元素;λ為耦合強(qiáng)度;ki為節(jié)點的度,定義為節(jié)點連接的邊數(shù),

電網(wǎng)等復(fù)雜系統(tǒng)表明,節(jié)點受到相互作用的程度與節(jié)點自身特征有關(guān).Kuramoto振子的本征頻率絕對值反映了其活躍程度,因此式(3)的耦合項與本征頻率絕對值成正比.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的Kuramoto模型還要求對相互作用作拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的歸一化,故式(3)中耦合項除以節(jié)點度反映了振子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的特征.將動力學(xué)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特征聯(lián)系起來并作為節(jié)點的自身特征統(tǒng)一表征,稱振子本征頻率絕對值與節(jié)點度的比值為節(jié)點的頻率權(quán)重.式(3)的后半部分表示領(lǐng)導(dǎo)者對第i個節(jié)點上振子的驅(qū)動作用,ω0為領(lǐng)導(dǎo)者本征頻率.領(lǐng)導(dǎo)者對受影響的振子驅(qū)動強(qiáng)度為h,對不受影響的振子驅(qū)動強(qiáng)度為0,定義領(lǐng)導(dǎo)者影響的振子集合為C,則

2.2 系統(tǒng)的相互同步

當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者對頻率權(quán)重耦合復(fù)雜系統(tǒng)的所有Kuramoto振子都不施加驅(qū)動時,系統(tǒng)會在耦合強(qiáng)度滿足條件的情況下因頻率權(quán)重耦合作用產(chǎn)生自發(fā)的相互同步.以全連網(wǎng)為例,使用平均場方法,序參量方程(2)的虛部為

定義振子相位與網(wǎng)絡(luò)平均相位的相位差為?i=θi?ψ,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者不施加驅(qū)動時h=0,由于全連網(wǎng)中ki≈N,代入式(6)重寫式(3):

系統(tǒng)同步時振子鎖相,故有

相位差正負(fù)與振子本征頻率的正負(fù)相同,隨著耦合強(qiáng)度的增大,這2種相位差的值同時接近于0.復(fù)雜系統(tǒng)中振子的本征頻率設(shè)定為符合對稱分布,故當(dāng)系統(tǒng)同步時,集體動力學(xué)行為的有效頻率相當(dāng)于所有振子本征頻率的平均值,該平均值為0,平均相位也為0,根據(jù)振子相位與網(wǎng)絡(luò)平均相位的相位差公式和式(2)有

因此,當(dāng)耦合強(qiáng)度大于2時,系統(tǒng)的大量振子會通過頻率權(quán)重耦合作用形成大規(guī)模的相互同步簇團(tuán),序參量急劇增大;當(dāng)耦合強(qiáng)度遠(yuǎn)大于2時,全連網(wǎng)和非全連網(wǎng)的系統(tǒng)都會達(dá)到相互同步.

2.3 系統(tǒng)的驅(qū)動同步

為了便于分析領(lǐng)導(dǎo)者對復(fù)雜系統(tǒng)的振子施加驅(qū)動后系統(tǒng)達(dá)到驅(qū)動同步的條件,根據(jù)上述結(jié)果設(shè)定復(fù)雜系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度遠(yuǎn)大于2,使系統(tǒng)首先達(dá)到相互同步.同樣地,分析相互同步所需條件的過程,定義振子與領(lǐng)導(dǎo)者的相位差為?i=θi?ω0t,則根據(jù)式(1)得到

系統(tǒng)中有N個振子,對應(yīng)N個以上形式的等式.定義振子本征頻率絕對值的平均值為?|ω|?,網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點平均度為 ?k?,對 N 個等式等號兩邊同乘以 (?|ω|?/?k?)·(ki/|ωi|),N 個等式左右兩邊分別相加后除以N,并為方便起見定義

則有

式中:i∈C表示節(jié)點i屬于領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動的節(jié)點的集合.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)受領(lǐng)導(dǎo)者影響達(dá)到全網(wǎng)驅(qū)動同步時,式(11)中?j=?i,故有

由于振子與領(lǐng)導(dǎo)者的相位差為常數(shù),因此進(jìn)一步有

設(shè)定驅(qū)動強(qiáng)度為正值,故可以得到使這一等式成立的領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度的最小值為

由以上結(jié)果可知,在受到外界領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動的由N個Kuramoto振子組成的頻率權(quán)重耦合復(fù)雜系統(tǒng)中,即使系統(tǒng)本身的耦合強(qiáng)度遠(yuǎn)高于使整個網(wǎng)絡(luò)相互同步的臨界耦合強(qiáng)度,只要領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度滿足條件,就可以使整個網(wǎng)絡(luò)從相互同步轉(zhuǎn)變?yōu)轵?qū)動同步.根據(jù)式(14)可以看出,對于一個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和振子本征頻率確定的復(fù)雜系統(tǒng),這個領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度的最小值與領(lǐng)導(dǎo)者本征頻率和被驅(qū)動的振子數(shù)量和振子頻率權(quán)重有關(guān).

領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動所有振子時,式(14)可以簡化為

化簡后的結(jié)果是領(lǐng)導(dǎo)者本征頻率減去的實際上是網(wǎng)絡(luò)達(dá)到相互同步時網(wǎng)絡(luò)中振子的平均有效頻率.對于振子本征頻率符合對稱分布的情況,當(dāng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到相互同步時網(wǎng)絡(luò)中振子的平均有效頻率約等于0,使系統(tǒng)達(dá)到驅(qū)動同步的驅(qū)動強(qiáng)度的最小值約等于領(lǐng)導(dǎo)者本征頻率.

根據(jù)式(14)可知,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動系統(tǒng)部分振子時,驅(qū)動的振子越多使系統(tǒng)達(dá)到驅(qū)動同步的驅(qū)動強(qiáng)度的最小值越小.在驅(qū)動的節(jié)點數(shù)量相同的情況下,驅(qū)動頻率權(quán)重較大的振子比驅(qū)動頻率權(quán)重較小的振子更難以使系統(tǒng)達(dá)到驅(qū)動同步,因為相比后者領(lǐng)導(dǎo)者需要的驅(qū)動強(qiáng)度變大.

3 數(shù)值模擬結(jié)果

為驗證理論結(jié)果的正確性,本工作對有200個Kuramoto振子的頻率權(quán)重耦合復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬.系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為節(jié)點平均度?k?=12的E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和B-A無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò).振子的初始相位的大小為隨機(jī).振子的本征頻率符合均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的高斯分布,本征頻率的大小與節(jié)點度沒有關(guān)系.這里,領(lǐng)導(dǎo)者本征頻率ω0=0.5.為了確保網(wǎng)絡(luò)在沒有領(lǐng)導(dǎo)者作用的情況下能達(dá)到全網(wǎng)相互同步,數(shù)值模擬中耦合強(qiáng)度為100.使用龍格庫塔算法進(jìn)行動力學(xué)方程的計算.在數(shù)值模擬中系統(tǒng)運(yùn)行了足夠長的時間后,拋去暫態(tài),對穩(wěn)態(tài)的一段時間內(nèi)的結(jié)果取平均值.數(shù)值模擬步驟如下:

步驟1 設(shè)定復(fù)雜系統(tǒng)的振子本征頻率和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);

步驟2 設(shè)定領(lǐng)導(dǎo)者本征頻率,選擇節(jié)點施加驅(qū)動,根據(jù)系統(tǒng)耦合強(qiáng)度區(qū)間和單位增量,或領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度區(qū)間和單位增量確定數(shù)值模擬輪數(shù);

步驟3 根據(jù)數(shù)值模擬輪數(shù)確定領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度,進(jìn)行這一系統(tǒng)耦合強(qiáng)度或領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度下的系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值模擬,在系統(tǒng)運(yùn)行足夠長的時間后,拋去暫態(tài),記錄穩(wěn)態(tài);

步驟4 重新設(shè)定復(fù)雜系統(tǒng)的振子本征頻率和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與步驟1中的數(shù)值相同;

步驟5 重復(fù)步驟3和4,直到系統(tǒng)耦合強(qiáng)度或領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度達(dá)到設(shè)定的最大值.

首先,領(lǐng)導(dǎo)者對所有節(jié)點上的振子施加驅(qū)動.序參量在系統(tǒng)達(dá)到相互同步和驅(qū)動同步時都會接近于1,故為了刻畫這2種同步的區(qū)別和轉(zhuǎn)變,除了系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的序參量r,還計算了當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)的一段時間內(nèi)的集體運(yùn)動的有效頻率?dψ/dt?.系統(tǒng)的有效序參量和集體運(yùn)動的有效頻率與領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度的關(guān)系如圖1所示.圖1中:星形標(biāo)志線為系統(tǒng)的有效序參量隨驅(qū)動強(qiáng)度的變化;圓形標(biāo)志線為系統(tǒng)的集體運(yùn)動的有效頻率隨驅(qū)動強(qiáng)度的變化;E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和B-A無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果用紅色和綠色表示.隨著驅(qū)動強(qiáng)度的增大,系統(tǒng)的序參量基本維持1.0附近;集體運(yùn)動的有效頻率從0逐漸變化到接近于0.5,這說明系統(tǒng)從相互同步轉(zhuǎn)變?yōu)轵?qū)動同步,使系統(tǒng)達(dá)到驅(qū)動同步的領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度存在最小值.數(shù)值模擬設(shè)定的振子本征頻率符合高斯分布,根據(jù)式(15)和理論結(jié)果驅(qū)動強(qiáng)度最小值約等于領(lǐng)導(dǎo)者本征頻率.圖1中使2種系統(tǒng)達(dá)到驅(qū)動同步的驅(qū)動強(qiáng)度最小值均約等于0.5,證明這一理論結(jié)果是正確的.

圖1 領(lǐng)導(dǎo)者對所有振子施加驅(qū)動時數(shù)值模擬的結(jié)果Fig.1 Numerical simulation results when leader drives all nodes

接著,領(lǐng)導(dǎo)者選擇節(jié)點上頻率權(quán)重較大的50%的振子和頻率權(quán)重較小的50%的振子來施加驅(qū)動.系統(tǒng)的有效序參量和集體運(yùn)動的有效頻率與領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度的關(guān)系如圖2和3所示,圖中E-R隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和B-A無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果用紅色和綠色表示.隨著驅(qū)動強(qiáng)度的增大,與圖1中驅(qū)動所有振子的結(jié)果類似,序參量均基本維持在1.0左右,系統(tǒng)的集體運(yùn)動的有效頻率從0逐漸變化到接近于領(lǐng)導(dǎo)者本征頻率0.5.根據(jù)式(14),驅(qū)動頻率權(quán)重較大的振子比驅(qū)動頻率權(quán)重較小的振子更難以使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到全網(wǎng)的驅(qū)動同步,因為相比后者領(lǐng)導(dǎo)者需要的驅(qū)動強(qiáng)度更大.圖2中,隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動強(qiáng)度最小值均遠(yuǎn)大于圖3,證明了這一理論結(jié)果的正確性.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的平均度相同時,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)相比于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)度分布差異性更大,大部分節(jié)點的度小于平均度,而中心節(jié)點的度遠(yuǎn)大于平均度.因此,同樣選擇頻率權(quán)重較大的50%振子,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)振子的頻率權(quán)重更小,系統(tǒng)達(dá)到驅(qū)動同步需要的驅(qū)動強(qiáng)度更大.選擇頻率權(quán)重較小的50%振子,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)振子的頻率權(quán)重更大,系統(tǒng)達(dá)到驅(qū)動同步需要的驅(qū)動強(qiáng)度更小.圖2中,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的驅(qū)動強(qiáng)度最小值比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的大,而圖3中的則小,證明了這一理論結(jié)果.

圖2 領(lǐng)導(dǎo)者對頻率權(quán)重較大的50%振子施加驅(qū)動時數(shù)值模擬的結(jié)果Fig.2 Numerical simulation results when leader drives 50%nodes that have larger frequency-weights

圖3 領(lǐng)導(dǎo)者對頻率權(quán)重較小的50%振子施加驅(qū)動時數(shù)值模擬的結(jié)果Fig.3 Numerical simulation results when leader drives 50%nodes that have smaller frequencyweights

4 總結(jié)與展望

本工作研究了由Kuramoto振子組成的頻率權(quán)重耦合復(fù)雜系統(tǒng)受外界領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點的驅(qū)動時,系統(tǒng)的同步這一重要的集體動力學(xué)行為.領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度超過一定值就能使系統(tǒng)從相互同步轉(zhuǎn)變?yōu)轵?qū)動同步,這個領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度的最小值與領(lǐng)導(dǎo)者本征頻率以及被驅(qū)動的振子的數(shù)量和頻率權(quán)重有關(guān).驅(qū)動的振子數(shù)量越多,振子的頻率權(quán)重越小,這個領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動強(qiáng)度的最小值越小,更易使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到全網(wǎng)的驅(qū)動同步.仿真結(jié)果證明了本工作結(jié)果的正確性,這對于研究現(xiàn)實世界中的復(fù)雜系統(tǒng)的同步控制有著重要的意義.今后的研究將關(guān)注更多的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的系統(tǒng)在領(lǐng)導(dǎo)者驅(qū)動下的同步.