非線性泛函積分微分方程的多步龍格-庫塔方法的耗散性

張 艷

(上海大學理學院,上海200444)

物理學和工程學中的很多動力系統都具有有界吸收集(即系統解的軌跡在有限的時間內進入且保持在該集合內)這一特征,因此耗散性在動力系統中占有重要的地位[1].在對這些系統數值方法的研究中,學者們希望所用的數值方法仍能保持系統解析解的耗散性,即數值方法也具有系統相應的耗散性.

在過去的幾十年里,許多學者已經廣泛地研究了Volterra泛函微分方程這類特殊動力系統的解析解和數值解的耗散性.Hill[2]和Humphries等[3]利用(強)A-穩定性理論或G-穩定性理論研究常微分方程(ordinary differential equation,ODE)的耗散性及相應的線性多步法、單支近似法及龍格-庫塔方法等數值方法的耗散性.Huang等[4]利用代數穩定等理論給出了時滯微分方程(delay differential equation,DDE)系統的多步龍格-庫塔方法、線性多步法、單支方法等數值方法的耗散性,尤其討論了分別在有限維和無限維系統下的(k,l)-代數穩定的不可約多步龍格-庫塔方法的耗散性的充分條件,并給出相應的證明.不僅如此,Wang等[5]研究了非線性中立型延遲積分微分方程系統的數值耗散性,并且給出了(k,l)-代數穩定的不可約多步龍格-庫塔方法的耗散性的充分條件及相應的證明;此外,還利用復合積分公式對積分部分進行離散化處理.另外,還有一些學者[6-11]給出了Volterra泛函微分方程的系統耗散性及相應數值方法的耗散性,如時滯積分微分方程(delay integral differential equation,DIDE)、中立型時滯微分方程(neutral delay differential equation,NDDE)、中立型時滯積分微分方程(neutral delay integral differential equation,NDIDE)等.

本工作對非線性泛函積分微分方程(nonlinear functional integral differential equation,FIDE)的數值耗散性進行了研究.Zhang等[12]和Qin等[13]不僅利用復合積分公式在非經典的Lipschitz條件下給出了這類問題的龍格-庫塔方法的全局穩定性結論,而且針對FIDEs問題給出了單個方法(弱)的全局穩定性結果及G-穩定的擴展向后差分(backward differentiation formula,BDF)法的全局且漸進穩定性結果.Wen等[14]和Liao等[15]關于這類問題研究了在適當條件下的代數穩定的龍格-庫塔方法的耗散性及G(c,p,0)-代數穩定的單支方法的耗散性.本工作的目的是研究針對非線性泛函積分微分方程系統的多步龍格-庫塔(multistep Runge-Kutta,MRK)方法的耗散性.這里,多步龍格-庫塔方法不僅是在單個方法、線性多步法和龍格-庫塔方法的基礎上的推廣,而且也是廣泛的混合法.

1 非線性泛函積分微分系統的描述及耗散性

1.1 FIDEs系統

令Cd表示帶有內積?·,·?的d-維復歐幾里得空間,其相應的范數為∥·∥,在Cd×d空間中的矩陣范數∥·∥服從于向量范數的定義.對于任意實對稱p×p階矩陣Q=[qij],Q>0(>0),即矩陣Q是非負的(正定的).

對任意Q>0,在(Cd)p=Cdp上定義一個偽內積:

相應的偽范數為

式中:Y=(Y1,Y2,···,Yp)∈ Cdp;Z=(Z1,Z2,···,Zp)∈ Cdp. 很顯然,當Q>0時,式(1)和(2)分別表示Cdp上的內積和范數.當矩陣Q為單位陣時,∥·∥Q可簡寫為∥·∥.

在本工作中,考慮如下非線性泛函積分微分方程系統:

式中:τ>0為給定常值時滯;函數f:[t0,+∞)×Cd×Cd→Cd是除第一個變量外關于其他變量的局部Lipschitz連續函數;g:D×Cd→Cd是一個連續函數;φ:[t0?τ,t0]→Cd是一個連續函數.假定系統(3)有唯一解y(t),且函數f和g滿足如下條件:

且

式中:γ,α,β,η,λ為給定實值常數,且γ,?α,β,η為非負的,λ >0,2λτ<1,

為了研究系統(3)的數值耗散性,這里假定函數f滿足如下條件:對任意常數M>0,存在L=L(M)>0,使得對于?成立.

1.2 FIDEs耗散性

定義1[14]如果存在一個有界集B?Cd,對任意給定的有界集Φ?Cd,存在一個時刻t?=t?(Φ),使得在任意給定的連續初始函數? :[t0? τ,t0]→ Cd(對于?t∈ [t0? τ,t0],?(t)包含在Φ內)下系統(3)所對應的相應的解y(t)對所有的包含在集合B內成立,那么FIDEs系統(3)被稱為在Cd上是耗散的.這里,B稱為Cd內的吸收集.

引理1[14]假定y(t)是系統(3)的一個解,且其中的f和g分別滿足條件(4)(α<0)和(5).若存在一個常數0<δ<1,使得

成立,那么有

(1)對于?t>t0,有

γ,α,β,η,λ均由條件(4)和(5)給出.

(2)對于?ε>0,存在t?=t?(?,ε),使得

成立,因此系統(3)是耗散的,且吸收集為

2 數值方法(MRK法)

2.1 ODEs系統的MRK法

常微分方程(ODEs)的s-級r-步龍格-庫塔方法可以寫成如下形式:

式中:h>0為固定步長;系數aij,bij,θj,γj和Cj均為實值常數;tn=nh(n=0,1,···),Y(n)i和yn分別是y(tn+cih)和y(tn)的近似,為了簡化起見,假定0 6 ci6 r,i=1,2,···,s.這里,多步龍格-庫塔方法是一般線性方法的一個子類.

為了簡化多步龍格-庫塔方法的形式,令

C11=[bij]∈ Rs×s, C12=[aij]∈ Rs×r,

對于任意給定的k×l實矩陣Q=[qij],接下來定義相應的線性算子Q:Cdl→Cdk,

其中,

從而,方法(7)可以寫成如下一般線性法的形式:

這里,

2.2 FIDEs系統的MRK法

利用多步龍格-庫塔方法(7)可以得到問題(3)的多步龍格-庫塔方法的形式:

和

這里,對于積分部分zn,,應用復合積分公式來進行求解,即

這里的求積公式(14)和(15)可以由一個統一的疊加規則得到[6,12-13].為了對數值耗散性進行分析,假定式(14)和(15)也滿足下面條件

式中:mh=τ且σ為正常數.這里方法(11)還可以寫成如下一般線性法的形式:

其中,

為了對數值耗散性進行分析,這里給出如下相關定義.

定義2[5]對于給定的實值常數k,l,如果存在一個實對稱的r×r矩陣G>0和對角矩陣D=diag(d1,d2,···,ds)>0,使得M=[Mij]>0成立,則稱數值方法(8)為(k,l)-代數穩定的.這里

特別地,當k=1,l=0時,(1,0)-代數穩定簡稱為代數穩定的,其中

本工作將利用(1,0)-代數穩定性來分析數值耗散性.

定義3[5](1)如果在形如式(7)的多步龍格-庫塔方法中對于某些非空指標集T?{1,2,···,s},有

成立,則稱該方法為階段可約的;否則,稱其為階段不可約的.

(2)如果在形如方法(7)的多步龍格-庫塔方法中的多項式有公因子,則稱該方法為步可約的,其中

否則,稱其為步不可約的.

(3)如果形如方法(7)的多步龍格-庫塔方法是階段可約的或者是步可約的,則稱該方法為可約的;否則,稱其為不可約的.

下面,給出多步龍格-庫塔方法的耗散性定義.

定義4 如果方法(11)以步長h適應于形如系統(3)的動力系統且滿足條件(4)和(5)且存在一個常數R, 使得對任意的初始函數φ(t)及任意初值Y(?m),Y(?m+1),···,Y(?1)和y0,y1,···,yr?1,存在一個n0=n使得

成立,則稱數值方法(11)為耗散的.

3 MRK方法的數值耗散性

在對多步龍格-庫塔方法的數值耗散性進行分析之前,先給出以下2個引理.

引理2[5,16]假設階多項式的一組基且在階嚴格小于q的多項式空間中,E為平移算子:Eyn=yn+1,則對于如下方程組系統

總存在一組唯一解yn,yn+1,···,yn+q?1,且存在一個與?i無關的常數v,使得

引理3[5,16]假定方法(7)是步不可約的,那么存在一組實值常數vi,i=1,2,···,s使得σ0(x)和沒有公因子.

下面,給出多步龍格-庫塔方法的數值耗散性定理.

定理1 假定①系統(3)滿足條件(4),(5)和(6);②系統方法(7)是步不可約的且是(1,0)-代數穩定的,D=diag(d1,d2···,ds)>0,那么當α+β+ηλ2σ2<0時,關于非線性泛函積分微分方程系統(3)的數值方法(11)(滿足方法(14),(15)和(16))是耗散的.

證明 類似于文獻[17],通過方法的代數穩定性,易得

且有

對式(15)做自身的內積,結合式(5),(16)及Cauchy-Schwarz不等式,可得

從而有

另一方面,可以推出

因此,有

這里,

取λ1為矩陣G的最大特征值,則有

從而,有

令

則有μ>0,

當γ =0時,由式(25)及h(α+β +ηλ2σ2)<0,可得

另一方面,由方程(11)可得

這里,

由引理3可知,存在常數vi,i=1,2,···,s,使得σ0(x)和沒有公因子,從而有

從而有

當γ>0時,利用與文獻[16]相似的技術,可知存在R4>0及正整數使得

這里,

這里,λ2表示矩陣G的最小特征值;R0,R1分別由式(24)和(27)給出.

結合方程(30),(31)可知,存在一個常數R′=max{R2,R4}使得對任意初始函數φ(t)及任意初值Y(?m),Y(?m+1)···,Y(?1)和y0,y1,···,yr?1,存在,使得

接下來,我們來對∥yn∥進行估計證明.

由于

又由于其證明過程與文獻[15]的定理3.1中該部分的證明過程相似.由此可知,對任意給出的ε>0,存在使得

定理得證.

通過對定理1的證明可以看出,對于任意給定的初始函數及初始值,s-級r-步龍格-庫塔方法可以保持FIDEs系統的耗散性.在證明過程中借助引理2和3對多步龍格-庫塔法進行了巧妙的處理,這里要求多項式部分是步不可約的,從而使得結論成立.

4 數值算例

下面考慮用多步龍格-庫塔方法來解決如下2維系統:

這里,

對于這個系統,選取

從而易知引理1的條件成立,則系統(33)是耗散的且對任意給定ε>0,有一個吸收集

為了解決系統(33),用如下形式的2-步1-級龍格-庫塔方法來進行求解.

2-步 1-級龍格-庫塔方法

易知方法(34)是代數穩定的.當應用方法(34)求解方程(33)時,只考慮在一個約束網下且利用式(14)和(15)來近似積分部分.

(1)y1(t)=sin(t)et,y2(t)=2t2;

(2)y1(t)=4sin(4t),y2(t)=3cos(3t).

由于方法(34)是2-步方法,因此除了需要y0外還需要一個y1.用如下2-級3-階龍格-庫塔方法來計算:相應的數值結果如圖1～6所示.

(1)當a=2,b=3,初始函數為式(1)時,問題(33)的數值解的情況(見圖1).數值解yn隨著時間t的收斂性情況如圖2所示.

(2)當a=3,b=4,初始函數為式(2)時,問題(33)的數值解的情況(見圖3).數值解yn隨著時間t的收斂性情況圖如圖4所示.

圖1 h=0.004π/12,a=2,b=3,初始函數為式(1)時,問題(33)在區間[,10π]的數值解Fig.1 h=0.004π/12,a=2,b=3,when the initial function is(1),the numerical solution of the problem(33)which is in the[,10π]

圖2 h=0.004π/12,a=2,b=3,初始函數為(1)時,問題(33)在區間[,10π]的數值解隨時間變化的情況Fig.2 h=0.004π/12,a=2,b=3,when the initial function is(1),the numerical solution’s changing curve of the problem(33)which is in the[,10π]

圖3 h=0.004π/12,a=3,b=4,初始函數為(2)時,問題(33)在區間[,10π]的數值解Fig.3 h=0.004π/12,a=3,b=4,when the initial function is(2),the numerical solution of the problem(33)which is in the,10π]

圖4 h=0.004π/12,a=3,b=4,初始函數為(2)時,問題(33)在區間[,10π]的數值解隨時間變化的情況Fig.4 h=0.004π/12,a=3,b=4,when the initial function is(2),the numerical solution’s changing curve of the problem(33)which is in the[,10π]

(3)為了觀察方法(35)的穩定性情況,對問題(34)給出不同的初始函數,分別得到相應的數值解yn=[y1n,y2n],zn=[z1n,z2n],再令En=∥yn?zn∥表示2個數值解的差,觀察隨著時間t的變化,相應的En的變化情況.

當a=3,b=4,初始函數分別為式(1)和(2)時,問題(33)的數值解的情況如圖5所示,En的變化情況如圖6所示.

圖5 h=0.004π/12,a=3,b=4,初始函數分別為式(1)和(2)時,問題(33)在區間[,10π]的數值解Fig.5 h=0.004π/12,a=3,b=4,when the initial functions are(1)and(2),the numerical solutions of the problem(33)which is in the[,10π]

圖6 h=0.004π/12,a=3,b=4,初始函數為(1)和(2)時,問題(33)在區間[,10π]的數值解隨時間變化的情況Fig.6 h=0.004π/12,a=3,b=4,when the initial functions are(1)and(2),the numerical solutions’changing curve of the problem(33)which is in the[,10π]

由以上數值算例可知,問題(34)是耗散的,且相應的多步龍格-庫塔方法(35)也具有耗散性,從而可驗證上面給出的定理結論成立.除此之外,由圖6可知數值方法(35)是收斂的.

5 結束語

對于非線性泛函積分微分方程系統數值解的耗散性,本工作基于龍格-庫塔方法耗散性給出了多步龍格-庫塔方法的耗散性結論.無論是從理論上還是數值試驗上,針對本工作給出的非線性泛函積分微分方程系統的多步龍格-庫塔方法的耗散性結論都是有效的.