基于學生發現凸顯數學本質

朱麗芳

教學內容：蘇教版五年級上冊第94頁例1，練一練第1題，練習十七第2、第3題。

教學目標：

1.使學生經歷有條理地分析數量關系并有序地列舉問題的所有可能結果、尋求符合問題要求答案的過程，認識解決問題一一列舉的策略;能根據問題條件依照一定的順序列舉符合要求的所有答案，用一一列舉策略解決一些簡單的實際問題。

2.使學生在解決簡單實際問題的過程及反思、交流中，感受“一一列舉”的特點和價值，體驗有序思考的思想方法，發展思維的條理性和嚴密性。

3.使學生主動參與探究問題解決途徑的活動，進一步積累解決問題的經驗，增強解決問題的策略意識。

教學重點：讓學生經歷用列舉的策略解決簡單實際問題的過程，感受列舉策略的特點和價值，增強分析問題的條理性和嚴密性。

教學難點：根據不同實際問題的特點，通過合乎邏輯的有序思考，不重復、不遺漏地列舉符合要求的各種情況。

教學準備：課件、學習單、方格紙。

教學過程：

一、情境導入。認識策略

1.提出問題，引發動機

師：這位是在花圃工作的王大叔，他碰到了一個難題，需要我們的幫助，一起來讀一讀。從題目中你知道了哪些數學信息？

生1：長方形的周長是22米。

生2：長加寬的和：22÷2=11（米）

生3：整米數。

師：分析完題意，你能一下子獲得答案嗎？那你打算怎樣解決這個問題？

生：可以把和是11的兩個數都列出來。

師：為什么非要把所有情況都列出來呢，列兩三種不能解決問題嗎？

生：要找到面積最大，就必須把所有情況都列出來才能比較。

2.合作探究，優化策略

出示要求：請同桌合作選擇喜歡的方法列舉出長方形的長和寬，可以在方格紙上畫圖、也可以直接記錄在作業紙上，再把思考的過程和同桌說一說。

師：看他用畫圖找到了這三種長方形，對不對，你還有其他想說的嗎？

生：還少畫了兩種。

師：再來看這位同學都列全了嗎？你有沒有什么意見給他提一提？

生：列全了，但他寫得有點亂，沒有按照順序寫。

師：再看看這張，請這位同學說說你是怎樣想的。

生：這一列表示的是長，這一列表示的是寬，先確定長，從最大的10開始想起，因為長最大是10。

師：他是先確定長，再想寬。還可以怎么樣？

生：還可以先確定寬，再想長，寬是從最小的1開始想。

師：如果先確定長，就從最大的10開始想;如果先確定寬，就從最小的1開始想。列舉的時候思路可以是多樣的，但一定要找準起點按順序列舉。

師：為什么到寬5米，長6米就好了，后面還有嗎？為什么？

生：沒有了，后面就重復了。

師：這樣有序的列舉有什么好處？

生：不重復、不遺漏。

師：老師這兒還收集了幾張，有文字描述的、有畫圖的、有列表的，他們都找全了嗎？還有什么共同特點？

生：都是有序列舉的。

師：雖然呈現的方式可以不同，但只要有起點按順序地把各種符合要求的情況一個一個列舉出來，就是一種非常好的解決問題的策略，叫作一一列舉。

【思考】本環節以大問題的形式展開探究，引領學生拾級而上。通過漏一亂一序的列舉呈現以及適時的追問，學生能發現，因為無序，所以容易遺漏，因為有序，所以不會重復，也不會遺漏，而且還有便于發現規律，體悟策略的意義，體驗發現的愉悅。在介紹學生的有序列舉時，首先把長從大到小列舉和寬從小到大列舉兩種思考方式進行比較，也體現了列舉思路的多樣性。其次三張有序列舉的學習單（列算式、文字描述、列算式）非常有特點地排除了無關特征，凸顯出有序的本質屬性，歸納出一一列舉的根本要素：有序就能做到不重復、不遺漏。

3.列表列舉，發現規律

師：如果將這位同學的寫法橫過來并列成表格，就可以這樣進行一一列舉。我們就先確定寬，從幾開始，一起說，寬是1，長是10……檢查一下有沒有重復和遺漏。

師：長是6，寬是5，面積最大。這下王大叔可以在花圃里種上更多的花草了！

師：觀察下表，比較它們的長、寬和面積，你有什么發現？

生：周長一定時，長和寬越接近，面積越大。

4.回顧反思

師：同學們，請你回想一下，我們是怎樣解決這個實際問題的？誰能完整地說一說。

生：先分析題意再算出長加寬的和，用一一列舉的策略在表格中找出各種情況，檢查有沒有重復遺漏，最后比較寫答。

師：回顧解決問題的過程，你有什么體會？和同桌說一說。

生1：用一一列舉的策略可以解決實際問題。

生2：一一列舉之后還要進行比較。

生3：有序地一一列舉就可以做到不重復、不遺漏。

【思考】本節課的例題，解決問題的過程很長、很復雜，這時教師要注意停一停，快思慢想，讓學生回過頭去看一看，這個問題我們是怎么解決的，回想整個解題步驟，列舉在解決問題的過程中有什么作用，這樣就不是為了列舉而列舉，而是在提煉出一般性方法步驟的基礎上從大問題背景中凸顯列舉的價值，將解決問題和策略相互融合、相互成就，對學生感悟數學思想、發展思維能力都有著長遠意義。

二、鞏固練習，豐富應用

1.出示練一練第1題

師：為了更好地管理花圃，王大叔設置了鬧鐘，每隔一段時間就發出鈴聲，誰來讀一讀？從題目中你知道了什么？你想怎樣解決這個問題？就是應用了什么策略？完成學習單。

生：從11時開始，用依次加40分鐘的方法有序地找到了這些時刻。

師：還要繼續嗎？為什么？

生：不用了，問題只問到1 6時就沒有了。

師：有時只需要在有限的范圍內進行一一列舉。做完了嗎？還要進行比較。王大叔的鬧鐘在哪些時刻會發出鈴聲，一起答一下。

2.練習十七第2題

師：新建的花圃需要購買一些種子，王大叔準備去這三個網站比較一下價格，他還發現每個網站會定期更新價格，誰來讀一讀。從題目中你知道了什么？你想怎樣解決這個問題？

生：亞馬孫每兩天更新一次，京東每三天更新一次，淘寶每四天更新一次。可以列表進行一一列舉，更新的網站做上記號。

師：現在你知道哪些天沒有網站更新嗎？哪一天同時更新呢？一起答一下。

師：我們用了怎樣的策略解決這個問題？這樣解題有什么好處？

生：我們用一一列舉的策略并用表格的方式解決了問題，簡潔、清楚、準確。

3.練習十七第3題

師：王大叔為了感謝我們的幫忙，還特意寫了封感謝信，正貼郵票呢，你貼過郵票嗎？看老師這里就有幾封信（實物展示），信封上可以只貼一張郵票，也可以貼幾張郵票。

師：你知道什么是郵資嗎？一張郵票，那只有一種郵資，就是1 00分。那兩張郵票，有幾種不同的郵資？4人小組討論一下。你想怎樣解決這個問題？你是怎么想的？

生1：從小到大一一列舉，80分、1 00分、180分。

生2：先想1張的有兩種80分和100分，再想兩張的有一種80+100：180（分）。

師：看現在這里有4張郵票，再讓你選擇，你會選擇什么樣的方法？

生：第二種方法。

師：我們在解決更為復雜的問題時可以先分類再一一列舉。請在草稿本上把不同的郵資一一列舉出來。

學生匯報交流。

【思考】本環節在出示問題并讓學生分析完題意之后，讓學生主動思考和表達：你打算怎樣解決這個問題？突出對一一列舉策略的需求，有時學生的答案也許并不像教師所期待的那樣完整、準確，但肯定也會是一一列舉的策略。為了讓學生更易理解郵資的問題，教師不僅當時展示并說明了郵資的含義，還通過分層練習，讓學生逐步感受先分類再一一列舉這個策略對解決這一類問題的價值。在整個題目解決完之后還進行追問：我們用了怎樣的策略解決這個問題？都是為了讓學生提升一一列舉策略的應用性。

三、全課總結，拓展延伸

師：同學們，通過今天的學習你有哪些收獲？

生1：我學會了用一一列舉的策略解決實際問題。

生2：不同的問題要找到合適的方法有序列舉，確定好從哪里開始一一列舉。

師：今天學的這個策略在很早以前是個小朋友發現的，我們一起來聽一聽。

師：這個小朋友是誰啊？為什么要這樣圍呢？

生：他是歐拉，當周長一定時，長和寬越接近，接近到相等時，面積最大。

師：希望同學們也能學習他愛思考、愛探索的精神。出示課后思考題：王大叔要用12塊邊長1米的正方形草皮來鋪成大塊的草坪，怎樣鋪能讓圍籬笆的木條最少呢？

【思考】

1.素材，合乎情理的發現動機

五年級學生已經有了從條件出發分析和解決實際問題、從問題出發分析和解決實際問題、從條件和問題出發靈活確定解題思路、用畫圖的策略整理條件和問題的基礎，對于有序列舉也有了一些零散的經驗，這節課就是要讓學生對這部分內容有完整、深刻的認識。本課創設了花圃王大叔的一系列生活情境，營造自由、輕松、熟悉、利于學生發現的環境氛圍。教師結合學生實際水平，巧妙利用學生的生成資源，把教材劃分為一個個的發現過程并制定出具體要求，把復雜問題簡單化，引導學生經歷發現的過程。五年級學生的抽象思維已得到一定發展，很少學生會選擇用擺小棒的方式進行列舉，不僅費時而且無法將各種情況都擺在桌面上進行觀察比較，列舉的時候容易出現重復和遺漏。但還是考慮到一部分學生的抽象性水平較低，所以安排了利用在方格紙上畫圖的方式進行列舉，引導學生思維與操作相結合，利于這部分學生把抽象問題形象化。在課堂上，我們拋出的問題常常是那幾個發言比較積極的學生回答，我們就認為這部分內容學生理解了，而忽視了基礎較薄弱、理解能力較慢的那些學生，要想滲透到這部分學生，引導學生自主與合作相結合是一種較有效的學習方式，在交流中學生能相互感受不同的思維方式，獲得激勵和啟迪，這樣學生的理解會更有深度，才能真正建設以學為中心的浸潤式的課堂。

2.立序，合乎邏輯的有序思考

要想學生有序，教師首先得做到有序，課堂節奏一定要清晰，要讓學生在解決每一個實際問題的過程中都經歷分析題目、策略解題、檢驗寫答的完整過程，發展思維的條理性和嚴密性。分析題意是準確解決實際問題的前提，也是提高教學質量的有效措施。整節課不管是在新授還是在練習時，都非常注重強化學生分析題意的意識，包括分析題目中所表達的信息及問題。注重解決問題的完整性，在一一列舉出各種情況以后都會有意識地引導學生接下來不要忘了比較和寫答，幫助學生養成良好的解題習慣。策略解題部分由于用一一列舉的策略解決實際問題的題型有很多種，沒有統一的模型，那么就要讓學生在解題前先考慮清楚這兩點：第一，起點是什么，也就是從哪里開始一一列舉，這是有序列舉的前提。第二，在探究解決問題的途徑時，能引導學生找到問題的突破口，理清一一列舉的依據，如果是解決比較復雜的問題，那可以先分類再一一列舉。學生掌握這兩點才能真正理解什么是有序，真正做到有序列舉。