慢刀伺服加工環曲面的刀具路徑規劃方法

邱昕洋，張彥欽，王宏斌

(西北農林科技大學 機械與電子工程學院， 陜西 楊凌 712100)

環曲面在兩個相互垂直的方向上具有不同的曲率，進而形成兩個深淺不同的屈光度，環曲面眼鏡片被廣泛地應用于散光視力矯正技術中[1]。慢刀伺服技術[2-8]是一種超精密切削加工方法，可以重復加工各種復雜面形的光學元件，加工面形精度高、效率高、成本低，為高效率、高精度地加工環曲面提供了一條新途徑。如何生成刀具軌跡、進而獲得高質量的數控加工代碼，是應用慢刀伺服技術加工環曲面的關鍵技術之一。

環曲面屬于非軸對稱非球面，可用解析表達式描述其面形方程。有兩種可行的刀具路徑規劃方法[9-12]。方法一：給定待加工曲面，按導動規則約束生成切觸點曲線，按某種刀具偏置計算方法生成刀具軌跡曲線。環曲面上各點處的曲率隨位置變化，該方法不易保證刀具沿機床橫向坐標軸的“勻速”進給條件，獲得的數控代碼質量不高，直接影響加工質量。方法二：采用球形刀，根據待加工曲面計算得到其等距面，按導動規則生成刀位點曲線，進而離散為刀位點坐標，刀具軌跡曲線完全由等距面和導動規則確定。采用第二種刀具路徑規劃方法，能保證刀具沿工件徑向“勻速”進給，對機床橫向進給軸動態性能指標的要求不高，有助于獲得高質量的數控代碼及保證加工質量。

本文以應用慢刀伺服技術加工外凸環曲面為例，提出了基于等距面規劃刀具路徑的方法和面形方程和等距面方程，對比分析導動規則和數據點離散方法兩項關鍵技術，編程以實現數控代碼的生成，并對生成的數控代碼進行仿真加工驗證，以期論證基于等距面規劃刀具路徑的方法對于慢刀伺服加工環曲面的可行性。

1 環曲面的面形方程

環曲面屬于非軸對稱非球面，應用慢刀伺服技術切削加工時，可采用端面加工方式，加工示意圖如圖1所示，待加工工件與回轉伺服軸C軸固連，C軸實現了位置控制；切削刀具可相對于工件作X軸向、Z軸向平移運動，X軸和Z軸是實現了位置控制的直線進給伺服軸，X軸和Z軸正交；C軸軸線與Z軸平行，C軸、X軸、Z軸可實現三軸聯動；機床布局可與普通臥式車床或普通金剛石車床的布局形式類同；若刀具選擇多刃回轉刀具，如銑刀，還需包含刀具主軸。應用慢刀伺服技術加工環曲面，依靠C軸、X軸、Z軸三軸聯動，因此最終要在圓柱坐標系下表達環曲面。

圖1 應用慢刀伺服技術切削環曲面示意圖Fig.1 Schematic diagram of cutting toric surface using slow tool servo technology

1.1 坐標系的建立

為了便于描述外凸環曲面、推導其面形方程，建立坐標系如圖2所示。圖中固定坐標系用σg=[og;ig,jg,kg]表示，底矢為(ig,jg,kg)，任意點在坐標系σg里的坐標分量為(xg,yg,zg)；為了便于描述外凸環曲面，在環曲面上坐標xg最大點處建立工件坐標系σ1=[o1;i1,j1,k1]，底矢為(i1,j1,k1)，任意點在坐標系σ1里的坐標分量為(x1,y1,z1)；形成環曲面的基圓半徑為a，旋轉半徑為R，本例中的R大于a；則由σg到σ1的坐標變換可表示為：

(1)

圖2 外凸環曲面及其坐標系統Fig.2 Convex toric surface and its coordinate system

1.2 環曲面面形方程的推導

完整的環曲面[13-14]是由半徑為a的基圓，繞回轉軸kg旋轉一周得到的，旋轉半徑為R，其中回轉軸與基圓共面但不通過基圓圓心，圖2中R大于a。環曲面光學元件表面應用了完整環曲面的一部分，可分為內凹、外凸和凹凸等多種細分類型，本文以外凸環曲面為例，推導其面形方程。

本文借鑒Ludwick的方法推導外凸環曲面的面形方程[14-15]。如圖2所示，設P為完整環曲面上任意一點，過點P基圓的圓心為oP，在固定坐標系σg中，點P可由兩個角度參變量α、β完全確定。其中，α為ogoP由ig軸正向開始逆時針旋轉所成的角度，β為oPP與ogoP的夾角。環曲面上的點P在σg中的坐標為：

(2)

設點P在σ1中的矢量為p，將式(2)通過式(1)轉化到坐標系σ1中，可得環曲面在σ1中的表達式為：

(3)

由前述分析可知，應用慢刀伺服技術加工環曲面，依靠C軸、X軸、Z軸三軸聯動，因此最終要在圓柱坐標系下表達環曲面。設(r,z,θ)為圓柱坐標系下的坐標分量，如圖2所示，二維極坐標平面為i1o1j1，r為二維極坐標的半徑，θ為二維極坐標的角度變量。經過坐標轉化，可得外凸環曲面的柱坐標方程為：

(4)

2 環曲面的等距面方程

設環曲面上任意點P處的單位法向量為n，刀尖圓角半徑為rd，與點P對應的等距面上的點在σ1中的矢量為pe，則有：

pe=p+rd·n

(5)

式(3)中環曲面的方程可表示為p=p(α,β)，則單位法向矢量n可用下式求解[16]：

(6)

式中，pα、pβ分別為p對α、β的偏導數。

根據式(3)，求解式(6)可得：

n=sinα·cosβ·i1+sinβ·j1+cosα·cosβ·k1

(7)

將式(3)、式(7)代入式(5)，可得環曲面的等距面在σ1中的表達式為：

(8)

同理，將外凸環曲面的等距面方程式(8)轉化為柱坐標方程，則：

(9)

式(9)可用z=z(r,θ)表示，式(9)中r、θ是等距面的參數，R、a、rd是與設計和制造工藝相關的常數項。若一次常數項發生變化，則工件坐標系中的等距面將沿k1軸整體平移，對“面形”沒有影響；若非一次常數項發生變化，等距面的微觀參數將隨之改變，進而帶來“面形”的改變。

對比分析環曲面方程式(4)和等距面方程式(9)，若將式(4)中的非一次常數項a變為非一次常數項a+rd，即實現了由外凸環曲面到其等距面的轉化，rd恰為工藝參數刀尖圓角半徑。

結合等距面的求解過程不難發現：環曲面上任意點P處的單位法向量n恰好位于經過點P基圓所在的平面內，且單位法向量的延長線通過基圓圓心。

3 導動規則的關鍵技術

導動規則是刀具路徑規劃的重要內容，刀具路徑的優劣直接影響數控代碼的質量。本文的導動規則[10,12]是指等距面上刀位點曲線的生成方法及一些有關加工精度的參數，如步長、行距、兩切削行間的殘留高度、曲面的盈余和過切容差等。本文選取導動曲線類型及其離散方法作為討論的重點。

慢刀伺服技術及其機床布局，決定了環曲面的加工是在圓柱坐標系下進行的，利用了X軸、C軸、Z軸三軸聯動技術，因此選取垂直于k1軸的平面為工作平面，在工作平面內規劃導動曲線，投影方向選取k1軸方向。

由環曲面的幾何特性可知，零件回轉一周，刀具相對零件沿Z軸做周期性往復運動，Z軸往復運動的行程隨面形方程和刀位點位置而變化；零件回轉一周，Z軸往復運動兩個周期，Z軸往復運動的頻率是零件回轉運動頻率的兩倍；提高零件轉速，有益于提高加工效率，但對機床Z軸加速度及其動態性能的要求相應提高。因此，要綜合考慮機床Z軸的動態性能，以便確定加工效率。同時，在規劃導動規則時，若能使C軸保持勻速運動、X軸實現連續漸進進給，則可降低對機床X軸和C軸動態性能的要求，有益于確保加工質量。因此，本文確定導動曲線類型及其離散方法的重要準則為“使C軸保持勻速運動、X軸連續漸進進給”。

3.1 確定導動曲線類型

在垂直于k1軸的工作平面內，規劃導動曲線，然后沿k1軸線向等距面投影，獲得刀位點軌跡。較適于柱面坐標系端面切削的導動曲線有回轉截面法中的一組同心圓和阿基米德螺線，如圖3所示。

(a) 一組同心圓作導動曲線(a) A set of concentric circles as the guiding curve

(b) 阿基米德螺線作導動曲線(b) Archimedes spiral as the guiding curve圖3 兩類常用導動曲線Fig.3 Two types of common guide curves

若選一組同心圓作為導動曲線，如圖3(a)所示，則同心圓的圓心位于Z軸上，該方法加工可以從中心向外擴展，也可以由邊緣向中心靠攏[10,12]。初始刀位點在同一個圓上加工時，X軸無進給；初始刀位點由一個加工圓轉到下一個圓時，X軸“寸動”。在整個曲面的加工中，X軸斷續進給，易于留下接刀痕，在要求高效高精的光學鏡面加工中，該導動方法缺點突出。

若選阿基米德螺線作為導動曲線，如圖3(b)所示，則機床X軸向進給量是C軸進給量的一次函數，易于保證X軸連續進給；C軸每轉一周，X軸進給量保持不變；若C軸勻速運動，則X軸連續勻速進給。該方法對機床X軸、C軸伺服軸的動態性能要求低，有益于確保加工質量，是加工光學鏡面的優選方案。

3.2 導動曲線的離散方法

本文選定的導動曲線為阿基米德螺線，其極坐標表達形式為r=r(θ)，即θ是導動曲線的參數。如圖4所示，導動曲線的離散方法主要有等角度和等弧長兩種。

圖4 導動曲線的離散方法Fig.4 Discrete method of guiding curve

對于等弧長離散法，如圖4(a)所示，相鄰數據點間的弧長Δl相等，待加工曲面上，不論是曲面邊緣部分，還是曲面中心部分，數據點分布均勻，有利于保證整個加工面加工質量的一致性。其缺點是，相鄰數據點所對應的圓心角不相等，若保證相鄰數據點間的加工時間相等，則C軸變速進給，對C軸加速度及動態性能有較高要求。對于等角度離散法，如圖4(b)所示，相鄰數據點所對應的圓心角Δθ相等，曲面邊緣部分的數據點較稀疏，曲面中心部分的數據點較密集，數據點分布不均勻。然而，環曲面對中心部位的加工精度要求高于邊緣部位，若要保證相鄰數據點間的加工時間相等，則C軸勻速進給。綜上所述，本文推薦的離散方法為等角度離散法。

4 環曲面的仿真加工

本文討論的慢刀伺服加工法適用于環曲面鏡片的粗加工工序。后序還有鏡磨和拋光等重要工序與之配合。經分析可知，粗加工工序的重要內容是保證環曲面的形狀位置精度。在生產實際中，粗加工工序檢查的重點是測量基弧和正交弧的弦高誤差。具體做法：將檢測弦長固定為40 mm，測量基弧和正交弧的弦高誤差，若測量誤差在0.02 mm以內，該工序件即為合格。

虛擬加工方法在機械制造、零件加工領域是一種常用的仿真驗證方法，通過虛擬加工來驗證粗加工工序的加工效果，有利于排除實際工藝系統諸多因素的不利影響。因此，為了進一步驗證前文所述的刀具路徑規劃方法，本文選擇了虛擬仿真加工方法，仿真加工的環曲面基本參數如表1所示。首先基于VB.net語言，編寫了環曲面數控加工用自動編程軟件，獲得了數控加工代碼。接下來在Vericut軟件平臺下，對數控代碼進行了仿真驗證。為了比較三維設計模型和加工仿真模型，在CATIA軟件中構建了待加工面的三維模型，下文稱之為“理論”曲面。最后，對仿真結果進行了比較分析。

表1 仿真加工用基本參數表

選取X軸向進給量Δr=2.0 mm/r，相鄰數據點間圓心角增量Δθ=3°時，得到的外凸環曲面的仿真加工面如圖5所示。

(a) 軸測圖(a) Axonometric view (b) 正視圖(b) Front view 圖5 當Δr=2.0 mm/r時的仿真加工面Fig.5 Simulated processing surface when Δr=2.0 mm/r

由于X軸向進給量Δr=2.0 mm/r取值較大，在加工面上留下了許多目視可見的刀具殘留，殘留痕跡反映了刀觸點軌跡的形狀。刀具路徑規劃時選取阿基米德螺線為導動曲線，當Δr=2.0 mm/r時，在工作平面內每轉導動曲線近似“正圓”；如圖5(b)所示，刀觸點軌跡每轉近似“橢圓”。顯然，本文所述的先求解環曲面的等距面，再根據等距面直接規劃刀位點軌跡的方法是較優的方法。

根據生產中用戶的實際需求，即粗加工工序保證基弧和正交弧的弦高誤差在0.02 mm以內的技術要求，在CATIA中構建待加工面的三維模型，3D精度設置為固定值0.01 mm，加工面的過切和殘留分析將在這一數量級下進行。圖5中的仿真加工面與“理論”曲面進行比較，得出殘留分布如圖6所示。在曲率半徑較大的子午線附近，加工殘留較少，加工面更接近“理論”曲面；離該子午線越遠，加工殘留越多。整個加工面上的殘留都在0.01 mm數量級上。

圖6 當Δr=2.0 mm/r時，加工面的殘余分布Fig.6 When Δr=2.0 mm/r, residual distribution map of the machined surface

選取X軸向進給量Δr=0.5 mm/r，相鄰數據點間圓心角增量Δθ=3°時，得到的外凸環曲面的仿真加工面如圖7所示。

圖7 當Δr=0.5 mm/r時的仿真加工面Fig.7 Simulated processing surface when Δr=0.5 mm/r

X軸向進給量Δr=0.5 mm/r，刀具殘留高度已小于0.01 mm，圖7中的仿真加工面是一光滑曲面。

對圖7中的仿真加工面進行過切分析，未發現過切現象。對圖7中的仿真加工面進行殘留分析，結果如圖8所示。

圖8 當Δr=0.5 mm/r時，加工面的殘余分布Fig.8 When Δr=0.5 mm/r, residual distribution map of the machined surface

由圖8可知，若設定殘留公差為0.01 mm，在仿真加工面上有許多數據點處于殘留超差狀態，如圖8(a)的深色點所示。若設定殘留公差為0.02 mm，仿真加工面上的超差數據點將大大減少，如圖8(b)所示。由仿真結果可知：當X軸向進給量Δr=0.5 mm/r時，加工面的精度已經達到CAD設計軟件和CAM仿真軟件顯示精度的極限。在允差為0.02 mm時，圖7所示的加工面與“理論”曲面吻合，該工序能夠滿足環曲面形位精度要求。仿真分析也論證了基于等距面規劃刀具路徑的方法對于慢刀伺服加工環曲面是可行的。

5 結論

本文針對“應用慢刀伺服技術加工環曲面”，提出了基于等距面規劃刀位點軌跡的刀具路徑規劃方法，推導了外凸環曲面的面形方程及其等距面方程，對比分析了導動規則的兩條關鍵技術，通過編程獲得了符合通過等距面規劃刀具路徑的刀位點坐標及數控代碼，最后對獲得的數控代碼進行了仿真驗證。結果表明：

1)將環曲面方程中的非一次常數項a變為非一次常數項a+rd，即得到外凸環曲面的等距面方程；

2)基于等距面方程，選用阿基米德螺線作為導動曲線、并進行等角度離散，直接離散為刀位點坐標，易于使C軸保持勻速運動、X軸連續漸進進給，并獲得高質量的數控加工代碼；

3)基于等距面規劃刀位點軌跡的刀具路徑規劃方法，適于慢刀伺服加工環曲面工況；對應用慢刀伺服技術加工其他面型的光學鏡面具有借鑒價值。