偏心磁極永磁電機(jī)氣隙磁密解析計(jì)算方法研究

趙國新　張宇　葛紅巖　劉勇　白保東

摘 要：對于表貼式永磁電機(jī)，為了獲得良好的電動(dòng)勢波形，降低齒槽轉(zhuǎn)矩，電機(jī)往往會(huì)采用偏心型磁極來優(yōu)化氣隙磁密波形，使氣隙磁密波形盡量正弦分布。雖然有限元法可以對氣隙磁密進(jìn)行計(jì)算、求解，但電機(jī)建模、有限元求解消耗時(shí)間較長，在工程應(yīng)用和電機(jī)的初步設(shè)計(jì)中有一定的局限性。為了研究計(jì)算偏心型磁極電機(jī)氣隙磁密波形，本文首先根據(jù)二維電磁場理論，建立永磁電機(jī)數(shù)學(xué)模型，采用解析計(jì)算方法分別計(jì)算了常規(guī)等厚度瓦片型磁極和偏心型磁極電機(jī)氣隙磁密的分布;然后將計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行了對比，誤差不超過4%，驗(yàn)證了計(jì)算方法的正確性。最后通過對已制成的3臺(tái)樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，誤差在5%以內(nèi)，驗(yàn)證了該方法的廣泛適用性。

關(guān)鍵詞：偏心磁極;氣隙磁密;解析法;等效面電流法;有限元;永磁電機(jī)

DOI：10.15938/j.emc.2020.06.004

中圖分類號(hào)：TM 351文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1007-449X（2020）06-0024-09

Prediction of flux density distribution inpermanent magnet motor with eccentric magnetic pole

ZHAO Guo-xin1， ZHANG Yu1，2， GE Hong-yan2， LIU Yong2， BAI Bao-dong1

（1. School of Electrical Engineering， Shenyang University of Technology， Shenyang 110870，China;

2.Guizhou Aerospace Linquan Motor Co.， Ltd， Guizhou 550003， China）

Abstract：Eccentric magnetic pole is often used in the surface-mount permanent magnet synchronous motor （PMSM）to optimize the air gap flux density distribution and make the electromotive force（EMF） waveform sinusoidal as much as possible in order to obtain an ideal EMF waveform and reduce the cogging torque. Although the finite element analysis（FEA） can be used to solve and calculate the air gap magnetic density， the motor modeling and finite element solution takes a long time， causing limitations in engineering and preliminary design process of the motor. In order to study the air gap magnetic-density waveform， the two-dimensional and mathematical model were used to calculate air gap magnetic field of tile magnetic pole and eccentric magnetic pole. Then the calculation results were compared with the FEA results， and the error does not exceed 4%，which verifies the correctness of the calculation method. Finally three prototypes were tested and compared with the calculated results， and the error is within 5%， which verifies the wide applicability of the method.

Keywords：eccentric magnet pole;air gap flux density;analytical method; surface current method; finite element method; permanent magnet motor

0 引 言

永磁電機(jī)的空載氣隙磁密對電機(jī)的運(yùn)行特性具有重要的影響，氣隙磁密的諧波分量將會(huì)引起電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)增加，振動(dòng)增大，同時(shí)也會(huì)增加高次諧波損耗增加而引起電機(jī)溫升過高等問題，所以在電機(jī)設(shè)計(jì)之初就應(yīng)該對電機(jī)的氣隙磁密進(jìn)行優(yōu)化分析，從而得到較好的氣隙磁密波形。對于表貼式永磁電機(jī)來說，最常用的方法是采用偏心型磁極使電機(jī)中各處的氣隙長度不均，從而使電機(jī)的空載氣隙磁密波形更加趨于正弦。

氣隙磁密波形的計(jì)算一般分為解析法和數(shù)值法兩種。解析法是基于麥克斯韋方程組，通過解算二維磁場中的拉普拉斯方程或者泊松方程來得到電機(jī)氣隙處的磁密分布;數(shù)值解法則是基于有限元算法，將連續(xù)的模型進(jìn)行離散化再進(jìn)行計(jì)算，具有很高的計(jì)算精確度，對復(fù)雜模型的適用性更強(qiáng)，但其計(jì)算時(shí)間長，不適合用于工程實(shí)踐以及電機(jī)初步設(shè)計(jì)中。國內(nèi)外學(xué)者為了計(jì)算永磁電機(jī)中氣隙磁密的分布做了許多研究，文獻(xiàn)[1]中，對3種不同充磁方式永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密波形進(jìn)行了仿真分析，并得到了不同充磁方式下氣隙磁密的分布規(guī)律;文獻(xiàn)[2]基于保角變換提出了一種時(shí)效計(jì)算方法在頻域下對永磁電機(jī)空載情況下對電機(jī)的氣隙磁密進(jìn)行了解算，并通過有限元法證明了計(jì)算方法的正確性;文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]基于子域模型計(jì)算方法對不同極槽配合、不同充磁方式下的表貼式永磁電機(jī)氣隙磁密進(jìn)行了計(jì)算，并通過有限元分析以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明了計(jì)算方法的正確性;文獻(xiàn)[5]通過子域模型法對徑向以及切向氣隙磁密進(jìn)行了分析計(jì)算，同時(shí)計(jì)算了表貼式永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，并將計(jì)算結(jié)果與有限元分析進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了結(jié)果的正確性;文獻(xiàn)[6]通過拉普拉斯方程以及泊松方程計(jì)算了在平行充磁下，分塊永磁體的氣隙磁密分布，并與有限元仿真進(jìn)行對比;文獻(xiàn)[7]提出了一種新型表貼式永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)，并通過仿真對氣隙磁密波形進(jìn)行了優(yōu)化;文獻(xiàn)[8]分析了表貼式永磁電機(jī)空載時(shí)的磁密分布及諧波分布，并通過有限元法對電機(jī)的空載損耗進(jìn)行了分析計(jì)算;文獻(xiàn)[9-11]根據(jù)二維電磁場理論建立了偏心狀態(tài)下永磁無刷直流電機(jī)氣隙磁密的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算了偏心狀態(tài)電機(jī)的磁場分布和性能變化，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證;文獻(xiàn)[12]通過解算拉普拉斯方程和泊松方程對偏心狀態(tài)下的磁場分布進(jìn)行了計(jì)算，并分析了不同偏心距下電機(jī)的不平衡磁拉力分布。上述文獻(xiàn)中的解析法雖然可以得到精確的計(jì)算結(jié)果，但由于計(jì)算公式繁多復(fù)雜，且所研究模型均為等厚瓦片型磁極永磁電機(jī)，并沒有對具有偏心型磁鐵的永磁電機(jī)模型進(jìn)行分析計(jì)算。而使用有限元法對偏心型磁極永磁電機(jī)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，為了得到較好的氣隙磁密波形，需要多次建模進(jìn)行分析計(jì)算，耗費(fèi)時(shí)間長。

為解決上述問題，根據(jù)二維電磁場計(jì)算理論建立表貼式永磁電機(jī)的等效數(shù)學(xué)模型，分別對等厚度瓦片型磁極和偏心型磁極永磁電機(jī)的氣隙磁密進(jìn)行分析計(jì)算，然后通過有限元算法與驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比，證明了計(jì)算方法的正確性和廣泛適用性。本文所采用的方法具有計(jì)算精度高，與電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)聯(lián)系強(qiáng)等特點(diǎn)，適用于工程實(shí)際分析以及電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

1 瓦片型磁極氣隙磁密計(jì)算

對于內(nèi)轉(zhuǎn)子表貼式永磁電機(jī)，其磁極形狀如圖1所示。在進(jìn)行分析之前，為了進(jìn)行簡化計(jì)算，首先做出如下假設(shè)[13]：

1）忽略電機(jī)繞組的端部效應(yīng)，氣隙磁密沿軸向分布相同;

2）鐵磁材料磁導(dǎo)率無窮大且各向同性;

3）永磁體材料充磁均勻并且具有線性退磁曲線，如衫鈷，釹鐵硼等。

1.1 等厚度瓦片型永磁體的等效數(shù)學(xué)模型

磁介質(zhì)經(jīng)過外磁場磁化后有了磁化強(qiáng)度，在介質(zhì)體內(nèi)和表面形成束縛電流，對于均勻磁化的介質(zhì)，束縛體電流為零，僅產(chǎn)生束縛面電流[14-15]。對于外界而言，永磁體可以用環(huán)繞永磁體表面的一組帶電流的線圈來等效，如圖2所示。

對于具有線性退磁曲線的永磁體來說，其面電流密度為

式中Hc為永磁體的矯頑力。

首先對永磁體等效模型中的單根線圈產(chǎn)生的磁密進(jìn)行分析，如圖3所示。假定氣隙中存在一個(gè)電流為i的理想線圈，線圈兩條邊的跨度角為β，等效線圈所在圓半徑為R3，A點(diǎn)（觀測點(diǎn)）距離線圈中心的角度為θ。對于內(nèi)轉(zhuǎn)子表貼式永磁電機(jī)來說，R1和R2分別為永磁體的內(nèi)徑和氣隙內(nèi)徑，R1的內(nèi)部和R2外部分別為電機(jī)的轉(zhuǎn)子和定子鐵心部分，A點(diǎn)相當(dāng)于氣隙處的某個(gè)點(diǎn)。

根據(jù)圖3，在極坐標(biāo)下求解二維磁場的拉普拉斯方程，即可得到單個(gè)線圈在半徑為R2的氣隙圓周上的產(chǎn)生的磁密分布

對于p對極的電機(jī)來說，氣隙圓周方向存在2p個(gè)單根線圈，產(chǎn)生的磁密分布為

根據(jù)式（4）求出了2p個(gè)單根線圈的空間磁密分布。對于等效永磁體模型，只需將構(gòu)成永磁體的每個(gè)線圈單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算，再求和即可得到永磁體的空間磁密分布。但由于永磁體充磁方向的不同，其等效數(shù)學(xué)模型不同，空間磁密分布也不相同。

1.2 不同充磁方式下電機(jī)的氣隙磁密

永磁體的充磁方式一般分為徑向充磁和平行充磁兩種，不同的充磁方式將會(huì)造成空間氣隙磁密分布不同，其數(shù)學(xué)模型也有區(qū)別。

徑向充磁方式的永磁體其磁力線平行于半徑方向，數(shù)學(xué)模型如圖4所示。根據(jù)圖4（a），對式（4）進(jìn)行積分，即可得到徑向充磁永磁體在半徑為R2的圓上所產(chǎn)生的氣隙磁密Brad[16]為

式中：a，b，c分別為電機(jī)定子鐵心內(nèi)徑，永磁體內(nèi)徑和永磁體外徑;α為永磁體所占空間機(jī)械角度。

永磁體采用平行充磁時(shí)，其磁力線的方向總是平行于永磁體的中心線，數(shù)學(xué)模型如圖4（b）所示，可分為兩部分進(jìn)行計(jì)算。其中第一部分與徑向充磁相同，但是其幅值比徑向充磁要小，其表達(dá)式為

第二部分是由圓弧上表面和下表面的等效面電流共同作用而形成的，計(jì)算公式如式（8）～式（10）所示

平行充磁時(shí)氣隙磁密為上面兩部分產(chǎn)生的氣隙磁密之和，即

2 偏心磁極電機(jī)氣隙磁密計(jì)算

根據(jù)上述式（5）～式（11）可求得等厚瓦片型磁極在平行充磁和徑向充磁兩種充磁方式下的氣隙磁密分布規(guī)律。然而對于不等厚度的偏心型磁極，永磁體的徑向厚度以及氣隙的徑向長度是關(guān)于空間角度θ（如圖3）的函數(shù)，因此需要進(jìn)行進(jìn)一步分析。

偏心型磁鐵如圖5所示，永磁體的內(nèi)圓是以O(shè)點(diǎn)為圓心，永磁體外圓是以O(shè)1為圓心，兩個(gè)圓心之間的線性距離為h。永磁體的厚度隨著空間角度γ的變化而變化，其所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢在空間上各點(diǎn)也各不相同。永磁體的外徑尺寸與圓心O的距離隨角度γ的變化規(guī)律

永磁體外徑隨空間角度的變化而造成了磁路中永磁體的磁勢、氣隙的長度隨空間角度的不斷變化，永磁體內(nèi)部各處的工作點(diǎn)也不相同。通過有限元仿真計(jì)算得到的一塊偏心型永磁體內(nèi)部磁通密度Bm隨空間角度γ的變化規(guī)律如圖6所示。因此對于偏心型永磁體來說不能像瓦片型永磁體一樣假設(shè)整塊永磁體的工作點(diǎn)相同，需要對每一處的工作點(diǎn)單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算。

永磁體的工作點(diǎn)是由永磁體自身的退磁曲線和外磁路特性共同決定的，如圖7所示。

永磁電機(jī)外磁路特性由氣隙磁阻和鐵磁材料磁阻共同決定。在電機(jī)中，鐵磁材料的磁阻要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于氣隙磁阻，為簡化計(jì)算，假設(shè)鐵磁材料的磁導(dǎo)率無窮大，鐵心磁阻可以忽略，整個(gè)磁路的磁阻僅由電機(jī)氣隙所決定。根據(jù)圖7，經(jīng)過計(jì)算負(fù)載線和退磁曲線的交點(diǎn)為永磁體的工作點(diǎn)，即

式中：Bw，Hw分別為工作點(diǎn)處的磁密和矯頑力;a為電機(jī)定子內(nèi)徑;c（γ）為永磁體外徑，可以通過式（12）計(jì)算得到。根據(jù)式（13），對永磁體工作點(diǎn)進(jìn)計(jì)算，即可得到永磁體的虛擬矯頑力為

將式（12）、式（14）帶入到式（5）～式（11）的c和Hc中，即可分別求得徑向充磁和平行充磁下的偏心型磁極永磁電機(jī)氣隙磁密的分布。

3 定子開槽對氣隙磁密的影響

在上文的分析中計(jì)算了等厚瓦片型磁極和偏心型磁極永磁電機(jī)的氣隙磁密分布，但沒考慮到定子開槽對永磁電機(jī)氣隙磁密的影響。定子開槽會(huì)在原有的氣隙磁密上疊加一系列的齒諧波，引起氣隙磁密波形部分畸變，從而產(chǎn)生一系列的凹點(diǎn)。

電機(jī)氣隙中磁力線在齒和槽下的路徑如圖8（a）所示。在忽略漏磁通的情況下，當(dāng)磁力線在齒下時(shí)，磁力線將會(huì)垂直進(jìn)入定子鐵心;當(dāng)磁力線處于槽口下面時(shí)，磁力線會(huì)有發(fā)生彎折，經(jīng)過齒側(cè)部進(jìn)入齒中，也就是說，槽口下的磁力線其所經(jīng)歷的氣隙長度要大于處于齒下的磁力線經(jīng)過的氣隙長度。如果假設(shè)磁力線總是沿定子內(nèi)徑的法向進(jìn)入定子鐵心中，那么定子鐵心的數(shù)學(xué)模型如圖8（b）所示，槽口等效成一個(gè)向上的尖峰，磁力線經(jīng)過的氣隙長度與槽下磁力線經(jīng)過的氣隙長度相同。

在進(jìn)行等效時(shí)，假設(shè)A點(diǎn)（如圖3）為觀測點(diǎn)，則定子內(nèi)徑的近似變化規(guī)律為

其中θ0，θm，θ1分別為槽口起始位置的角度、槽中心線的角度和槽口末端位置的角度。

將a（θ）帶入到式（5）中即可求得在考慮定子開槽的情況下，電機(jī)的氣隙磁密分布規(guī)律。

4 有限元驗(yàn)證

采用有限元算法對一臺(tái)表貼式永磁同步電機(jī)的徑向氣隙磁密進(jìn)行分析，電機(jī)參數(shù)如表1所示，經(jīng)過有限元仿真得到的磁力線圖和磁密云圖如圖9所示。

由圖10（a）可知，氣隙磁密Bg的計(jì)算值與仿真值得波形很接近，其波形誤差不大。圖10（b）分別對計(jì)算氣隙磁密波形和仿真氣隙磁密波形進(jìn)行了諧波分析，基波的誤差為1.3%，各次諧波的誤差不超過4%，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的正確性。

5 對比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用電機(jī)對拖的實(shí)驗(yàn)方法對表1中所示的永磁同步電機(jī)樣機(jī)的氣隙磁密以及線反電勢進(jìn)行測量，并與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，實(shí)驗(yàn)如圖11所示。

將一根細(xì)導(dǎo)線從電機(jī)氣隙中穿過并且緊貼在定子鐵心內(nèi)側(cè)，電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)，導(dǎo)線將會(huì)切割磁感線而產(chǎn)生感應(yīng)電壓，感應(yīng)電壓除以鐵心長度和磁場旋轉(zhuǎn)的線速度即為氣隙磁密。樣機(jī)經(jīng)實(shí)驗(yàn)所測的氣隙磁密結(jié)果與解析法理論計(jì)算結(jié)果的對比如圖12（a）所示，可見實(shí)測值與誤差值相差不大。對氣隙磁密進(jìn)行傅利葉分解，得到各次諧波分量幅值Bv，并進(jìn)行對比如圖12（b）所示。若忽略電機(jī)漏磁，氣隙磁通全部由定子齒部進(jìn)入到定子鐵心中，當(dāng)電機(jī)以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，根據(jù)氣隙磁密各次諧波的幅值Bv可以計(jì)算出電機(jī)空載時(shí)各次諧波反電勢的波形，將諧波反電勢進(jìn)行求和得到電機(jī)空載反電勢，即

式中：fv、kwv、Φv分別為v次諧波的頻率、諧波繞組系數(shù)和磁通;N為電樞繞組每相串聯(lián)匝數(shù);lef為電樞計(jì)算長度;τ為電機(jī)極距。

根據(jù)氣隙磁密分析結(jié)果算出電機(jī)的線反電勢，并和實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比，如圖12（c）所示。由圖12（c）可知，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果波形誤差不大。圖12（d）分別對計(jì)算反電勢和實(shí)測反電勢進(jìn)行傅利葉分解對比，基波分量誤差為4.2%，其他各次諧波分量誤差不超過9.2%，驗(yàn)證了計(jì)算方法的正確性。

為驗(yàn)證計(jì)算方法的廣泛適用性，除表1中所示結(jié)構(gòu)參數(shù)電機(jī)之外，還對另外兩臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)不相同的永磁同步電機(jī)樣機(jī)進(jìn)行的相同的實(shí)驗(yàn)測試，電機(jī)的參數(shù)如表2所示。

將樣機(jī)A與樣機(jī)B的實(shí)測結(jié)果與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，其結(jié)果如圖13所示。兩臺(tái)樣機(jī)所測得的氣隙磁密和反電勢大小與計(jì)算值相比誤差不大于5%，精度可以達(dá)到工程實(shí)際要求，證明了計(jì)算方法的廣泛適用性。

6 結(jié) 論

本文首先通過求解二維場中的拉普拉斯方程，建立永磁電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，通過解析計(jì)算的方法分別計(jì)算了具有瓦片型/偏心型磁極的表貼式永磁電機(jī)中氣隙磁密，研究了電機(jī)定子開槽時(shí)氣隙磁密的計(jì)算方法。然后將計(jì)算結(jié)果與有限元法仿真結(jié)果和三臺(tái)不同極槽配合樣機(jī)的實(shí)際測試結(jié)果分別進(jìn)行對比，其基波分量誤差不超過4.2%，各次諧波分量誤差不超過9.2%，證明了計(jì)算方法具有很高的精度和很強(qiáng)的適用性，便于設(shè)計(jì)人員在電機(jī)初步設(shè)計(jì)中對氣隙磁密進(jìn)行優(yōu)化分析以得到更好的氣隙磁密波形。對于其他形狀永磁體，諸如磁極削角，面包型磁極等，也可以采用此數(shù)學(xué)模型根據(jù)上述計(jì)算過程進(jìn)行分析計(jì)算。

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（編輯：劉素菊）

收稿日期： 2018-12-27

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（51407119）

作者簡介：趙國新（1979—），男，博士，研究方向?yàn)橛来烹姍C(jī)理論與設(shè)計(jì);

張 宇（1992—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)橛来烹姍C(jī)振動(dòng)與噪聲;

葛紅巖（1989—），男，碩士，研究方向?yàn)橛来烹姍C(jī)設(shè)計(jì);

劉 勇（1985—），男，碩士，研究方向?yàn)橛来烹姍C(jī)設(shè)計(jì);

白保東（1955—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡姎庠O(shè)備電磁場分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)。

通信作者：趙國新