高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選題的誤區(qū)及對策

邵思青

[摘? 要] 教學(xué)中的選題存在以下誤區(qū)：選題過于簡單，不注重變化;或者選題難度偏大，不注重效率;抑或者選題過于注重技巧，不注重通性通法，等等. 選題時應(yīng)該要注重以小搏大，見微知著;選題要注重題組引領(lǐng)，鞏固“四基”;選題要注重變式探究，發(fā)散思維.

[關(guān)鍵詞] 選題;誤區(qū);對策

選題是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中每一位數(shù)學(xué)教師都要做的一件事. 可以說高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的成功與否就在于教師的題選的好不好. 課堂例題選的好就能夠幫助學(xué)生掌握知識點(diǎn)形成數(shù)學(xué)思維，作業(yè)和考試的題選的好就能夠幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行思考和表述. 有一些高三教師在復(fù)習(xí)過程中選題不夠經(jīng)典或不具備代表性，學(xué)生做題時所獲得的感悟與體驗不夠深刻也就難以促進(jìn)自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展了.

當(dāng)前高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中選題的誤區(qū)

1. 選題過于簡單，不注重變化

有些教師高三復(fù)習(xí)備課選題時對學(xué)情不是太了解，有的可能考慮到高考試卷中也有基礎(chǔ)題，因此選的題目過于簡單，教師講的學(xué)生都會，學(xué)生不感興趣;還有的教師選的題過于單一，不能很好地變式拓展，教師淪落為就題講題，學(xué)生淪落為就題做題，選題的效果沒有做到最大化.

2. 選題難度偏大，不注重效率

有些教師在高三復(fù)習(xí)備課選題時過于注重綜合性，選題直接選壓軸題，學(xué)生往往只能做第一問，課堂上經(jīng)常淪為教師的獨(dú)角戲. 即使教師思路講解得很清晰，但學(xué)生仍然是上課聽得懂，課后自己不會做. 長此以往，教師一道題即使講了多遍，學(xué)生仍然不會做，課堂效率低下.

3. 選題過于注重技巧，不注重通性通法

有些教師在高三復(fù)習(xí)備課選題時認(rèn)識不清技巧與數(shù)學(xué)思想方法的區(qū)別，不注重大巧若拙的通性通法，受技巧之“巧”的誘惑，把學(xué)生的注意力引到“題型+技巧”上. 久而久之，使學(xué)生忘了解題的根本，沒有學(xué)會最基本的數(shù)學(xué)思考方法，因而在高考的“競技場”上敗下陣來. 可以說這就是教師選題失敗導(dǎo)致的.

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選題的對策

1. 選題要注重以小搏大，見微知著

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的時間緊，強(qiáng)度大，因此教師在備課選題時應(yīng)該要把握好度，要根據(jù)考情和學(xué)情，從數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的基本原理和背景這種“小處”作為切入點(diǎn)，通過歸類整合、精選例題，使知識運(yùn)用提檔升級，螺旋上升，達(dá)到突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、糾正疑點(diǎn)這種“大”的目的.

案例1：用導(dǎo)數(shù)研究切線問題.

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考的一個重要的考點(diǎn)，筆者在高三復(fù)習(xí)時從四個角度的小處入手，通過精心選題，剖析知識點(diǎn)，從而達(dá)到復(fù)習(xí)知識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

（1）求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程.

例1：曲線y=x3上在點(diǎn)（-1，-1）的切線方程為__________.

變式：已知函數(shù)y=f（x）的圖像在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程是x-2y+6=0，那么f（1）+f′（1）=__________.

點(diǎn)評：明確這點(diǎn)是切點(diǎn)之后，按照求切線方程的基本步驟完成即可.

（2）求過某一點(diǎn)與曲線相切的切線方程.

例2：若過點(diǎn)（0，0）的直線l與曲線y=x3-3x2+2x相切，則直線l的方程為______.

點(diǎn)評：求過點(diǎn)（a，b）且與曲線y=f（x）相切的切線方程的解題步驟：

①先設(shè)切點(diǎn)（x0，y0），導(dǎo)函數(shù)的值為切線的斜率，所以得到切線方程為y-b=f′（x0）（x-a）.

②再由切點(diǎn)既在曲線上又在切線上得到方程組y0=f（x0），y0-b=f′（x0）（x0-a），可得x0的值，再帶回方程組，即得所求的切線方程.

變式：若直線y=x+b是曲線y=lnx （x>0）的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為_______.

點(diǎn)評：本題雖然沒有給出過那個點(diǎn)，但做法和例2還是一樣，本質(zhì)上也是相同的.

（3）求曲線上任一點(diǎn)處的切線傾斜角（或斜率）的取值范圍.

例3：設(shè)點(diǎn)P是曲線y=x3-x+上任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P的切線的傾斜角α的取值范圍為_______.

點(diǎn)評：這類問題本質(zhì)還是求導(dǎo)函數(shù)的值域，本題求出切線斜率的范圍之后再結(jié)合斜率圖像求出傾斜角的范圍.

變式：已知點(diǎn)P在曲線y=上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是_______.

點(diǎn)評：本題是將導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本不等式的應(yīng)用結(jié)合起來考查比例3具有更大的綜合性.

（4）求過一點(diǎn)與曲線相切的直線的條數(shù).

點(diǎn)評：直線與曲線相切，不同的切點(diǎn)對應(yīng)著不同的切線，因此判斷切線的條數(shù)，也就是判斷切點(diǎn)的個數(shù)，即判斷關(guān)于x0的方程的根的個數(shù).

變式：求過點(diǎn)A（2，8），且與曲線f（x）=x3相切的切線條數(shù).

2. 選題要注重題組引領(lǐng)，鞏固“四基”

題組復(fù)習(xí)是高三復(fù)習(xí)常用的手段，教師在備課時應(yīng)認(rèn)真仔細(xì)地選題，精心設(shè)計題組，關(guān)注是否將數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本方法融入題組之中，是否能通過題組引領(lǐng)學(xué)生鞏固“四基”.

案例2：基本不等式的應(yīng)用.

思路2：利用函數(shù). 利用配湊或換元構(gòu)造出函數(shù)y=t+，再由對勾函數(shù)的單調(diào)性求出最小值.

思路3：利用導(dǎo)數(shù). 設(shè)f（x）=x+，f′（x）=1-=，易知f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=0時，f（x）取得最小值1.

點(diǎn)評：思路2和思路3抓住了問題的本質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用是有其局限性的，若將條件x>-1去掉，基本不等式就不能用了. 通過三種思路的比較，可以讓學(xué)生摸索出它們之間的聯(lián)系以及使用條件，滲透數(shù)學(xué)基本思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用基本不等式解決問題的工具意識和定位意識.

點(diǎn)評：例6、例7兩題都可以用函數(shù)法和導(dǎo)數(shù)法來解決，選取的目的就是強(qiáng)化例5中涉及的思路和方法.

3. 選題要注重變式探究，發(fā)散思維

變式教學(xué)是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要特征之一，教師在備課選題時一定要注重變式的研究，對學(xué)生而言，其大大提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解力，有助于發(fā)散學(xué)生的思維;對教師而言，其大大加快了教師自身專業(yè)化命題的素養(yǎng).

怎樣進(jìn)行變式教學(xué)呢？筆者認(rèn)為，要從一個熟悉的基本問題著手，不斷改變題設(shè)中某些關(guān)鍵條件或結(jié)論，將相近的問題串起來，給學(xué)生形成強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識，提升思維能力.

案例3：雙變量的最值問題.

例8：已知正數(shù)a，b滿足a+2b=1，求+的最小值.

思路1：導(dǎo)數(shù)法. 由題知a=1-2b，消元，所以+=+，求導(dǎo)易得最小值.

思路2：基本不等式法. 分別對條件和結(jié)論運(yùn)用基本不等式，即a+2b≥2，得到≤，再由+≥2≥4，這是一種常見的錯誤，主要是基本不等式運(yùn)用中等號成立的條件沒有關(guān)注. 正確的解法是利用“1”的代換法，構(gòu)造出基本不等式運(yùn)用的結(jié)構(gòu)，只用一次就能解決問題，即

點(diǎn)評：思路1雖然比較煩瑣，但卻是雙變量最值問題處理的基本方法. 思路2雖然簡潔，但它屬于技巧，是要通過訓(xùn)練才能掌握的，而且要是掌握不牢，有時條件發(fā)生變化后，學(xué)生又做不出來，不像思路1屬于通解通法.

為了使學(xué)生能對雙變量最值問題能有更深層次的認(rèn)知，筆者精心選題，進(jìn)行變式教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究總結(jié)，讓學(xué)生把握這一類問題的特征，發(fā)散思維，提升思維能力.

變式1：已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，求+的最小值.

變式2：已知正數(shù)a，b滿足a+b=2，求+的最小值.

變式3：已知正數(shù)a，b滿足a+b=2，求+的最小值.

變式4：已知正數(shù)a，b滿足+=1，求a+2b的最小值.

變式5：已知正數(shù)a，b滿足a+b=2，求+的最小值.

以上變式對例題的條件或結(jié)論進(jìn)行改變，目的就是讓學(xué)生去體會這一類問題的處理辦法，真正實(shí)現(xiàn)“解一題，通一類，會一片”的飛躍.

綜上所述，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選題時教師一定要從考情、學(xué)情出發(fā)，從知識的本質(zhì)出發(fā)，利用題組，利用變式，層層遞進(jìn)，在打牢學(xué)生的基礎(chǔ)上進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，同時也能提高自身的業(yè)務(wù)素質(zhì).