帶電粒子在有界磁場中運動問題的歸類解答分析

摘 要：將一類問題根據其特征分類，可以讓解題有觸類旁通、循序漸進的效果。帶電粒子在有界磁場中運動的問題，既是高中物理的典型問題，也是高考的熱點。文章將問題按磁場邊界面的不同分類并作答，使此類問題的解答有章可循，并“化險為夷”。

關鍵詞：帶電粒子在有界磁場中運動;不同邊界面;分類解答

帶電粒子在勻強磁場中運動的問題歷來是高考的熱點。此類問題在高考試卷中多以計算題的形式呈現，有難度大、分值高和壓軸題等特點，因此是物理高考復習教學的重點之一。教學中，依據問題的特點，將問題進行歸納分類，可以使問題解答變得有章可循，并“化險為夷”。文章根據勻強磁場邊界面的不同，將帶電粒子在有界磁場中運動的問題進行分類并做了解答。

一、 平面邊界

界面為平面的問題最為多見，根據界面數的多少又可以分成單一邊界和多邊界兩類。解題要用到圓和直線相交、相切等幾何關系。圓是帶電粒子的運動軌跡，直線通常是平面邊界與紙面的交線或速度線（速度示意圖所在的直線）。

（一）單一邊界

單一邊界的問題相對簡單些。帶電粒子進入磁場的速度與邊界夾角不同，軌跡弧也有所不同。通常進入磁場的帶電粒子最終會從同一邊界離開磁場，且進出磁場時速度與邊界的夾角相等。如圖1所示，初速度與邊界夾角為直角時，粒子軌跡為半圓;夾角不為直角時，粒子軌跡為一段優弧或劣弧。

有一類問題是兩種不同磁感應強度的勻強磁場分布在一個平面界面的兩側，兩邊磁場相互平行且平行于界面。

【問題1】圖2中虛線AB右側是磁感應強度為B1的勻強磁場，左側是磁感應強度為B2的勻強磁場。已知B1B2=2。磁場的方向都直于圖中的紙面并指向紙面內?，F有一帶正電的粒子自圖中O處以初速度v向右運動，求從開始運動到第10次向右通過AB線運動的時間內，該粒子在AB方向的平均速度。

解析（略）

答案：v-=2V3π

問題1中，因為初速度線垂直于界面，所以軌跡是由兩種不同半徑的半圓交疊而成，描畫軌跡很容易，但解題的關鍵不僅在畫軌跡，清楚平均速度的概念也很關鍵，速度是矢量，要牢記其矢量性。粒子在AB兩側以不變的速率來回運動的同時也在AB方向上變速前進，所以只能求平均速度。粒子的運動有周期性，每次向右通過AB恰好是一個周期，所以粒子在周期整數倍的時間里，在AB方向的平均速度，跟第一個周期的是一樣的。

（二）多邊界

多邊界問題相對復雜些，根據邊界面的位置關系不同，又將這類問題分為平行界面和正棱柱界面。平行界面的問題，通常要求帶電粒子能否穿過某一界面的某個物理量的臨界值。棱柱界面的問題，帶電粒子可能在柱內（或柱外）做周期性運動，有較強的規律性，多解的可能性大，容易出現漏解的情況。

下面的問題是三個平行界面構建了兩種磁場空間，要求帶電粒子穿過磁場的速度值。在其他條件一定時，帶電粒子的軌跡半徑與其速率成正比，半徑越大通過的可能越大，所以通常是求速度的最小值。

【問題2】如圖3所示，3條足夠長的平行虛線（界面與紙面的交線）a、b、c，ab間和bc間相距分別為2L和L，ab間和bc間都有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度分別為B和2B。質量為m，帶電量為q的粒子沿垂直于界面a的方向射入磁場區域，不計重力，為使粒子能從界面c射出磁場，粒子的初速度大小應滿足什么條件？

解析（略）

答案：速度大于4BqLm。

通常解決這類問題要利用好四點：其一，若帶電粒子的初速度與邊界垂直，則其軌跡圓心就在該邊界上;其二，帶電粒子在通過中間界面時軌跡半徑要變化，但在軌跡與界面交點處的軌跡半徑是共線的;其三，能否穿越界面的臨界值是軌跡與界面相切時對應的值，切點對應的半徑與界面垂直;其四，畫出軌跡示意圖，找出圖中的直角三角形，利用直角三角形邊與角的關系列方程求解。

二、 圓柱面邊界

圓柱界面的問題也不少，可分為單一界面和同軸多面兩種情況。這類問題的幾何關系其實是圓和圓相交的關系，帶電粒子的軌跡是圓，圓柱面與紙面的交線也是圓（稱為磁場區域圓）。

（一）單一界面

這類問題大致可分為三種情況。第一種，帶電粒子自磁場區域外射入磁場，射入時速度線過區域圓心;第二種，帶電粒子自磁場區域外射入磁場，射入時速度線不過區域圓心;第三種，帶電粒子自區域圓心沿某半徑方向開始運動。不論哪種情況都要根據題設條件尋找幾何關系，最終找到初、末兩條速度線與軌跡半徑構成的四邊形。第一種情況的兩條速度線與區域半徑重合，這一四邊形的特征、性質及其運用較為簡單，不再贅述。第二種情況和第三種情況的問題解法有較多的相似之處，下面就第二種情況舉一例。

【問題3】在直徑為d的圓柱區域內存在勻強磁場，磁場方向垂直于圓面指向紙外。一電荷量為q，質量為m的粒子，從磁場區域的一條直徑AC上的A點射入磁場，其速度大小為v0，方向與AC成α。若此粒子從磁場區域圓周上D點離開，AD與AC的夾角為β，如圖4所示。求該勻強磁場的磁感強度B的大小。

解析（略）

答案：B=2mv0sin（α+β）qdcosβ

這類問題的共同點是兩圓交點與圓心構成四邊形的兩條對角線互相垂直，且一條對角線被另一條平分，因而可找到許多相似直角三角形，可利用的幾何關系和三角函數關系非常多，能列出的方程式也很多。

（二）同軸多面

同軸多面的問題，多是帶電粒子進出磁場時速度線過軸線，若帶電粒子由內向外運動在磁場區域的軌跡為優弧，相反則為劣弧，解答時把握好這一特點，就能描出正確的軌跡，找到解題思路，順利解決問題。下面是一個帶電粒子由內向外運動的問題。

【問題4】在受控熱核聚變反應的裝置中溫度極高，因而帶電粒子沒有通常意義上的容器可裝，而是由磁場將帶電粒子的運動束縛在某個區域內?，F有一個環形區域，如圖5所示，其截面內圓半徑R1=33m，外圓半徑R2=1.0m，區域內有垂直紙面向外的勻強磁場。已知磁感應強度B=1.0T，被束縛帶正電粒子的荷質比為qm=4.0×107C/kg，不計帶電粒子的重力和它們之間的相互作用。

（1）若中空區域中的帶電粒子由O點沿環的半徑方向射入磁場，求帶電粒子不能穿越磁場外邊界的最大速度v0。

（2）若中空區域中的帶電粒子以（1）中的最大速度v0沿圓環半徑方向射入磁場，求帶電粒子從剛進入磁場某點開始到第一次回到該點所需要的時間。

解析（略）

答案：（1）v0=1.33×107m/s;（2）t=t1+t2=5.74×10-7s

本題是一與生產生活實際相聯系的問題，解答本題既能提升學生能力，又能增長學生的科普知識。關于核輻射學生早有耳聞，但對于防止核反應堆輻射的措施和核輻射的種類學生了解不多，本題中的防輻射原理適用于帶電粒子，不帶電的輻射成分，需要用其他措施來防止。另外，地磁場對宇宙射線的屏障作用的原理與本題相同，不同的是宇宙射線是由外向內運動，地磁屏障層近似于一個厚壁球殼，地球位于球殼內部。

總之，帶電粒子在有界勻強磁場中運動的問題，雖然題型變化多端，問題的表述篇幅較長，但通過分類解答，可以從中看出解答每類問題的一般步驟和關鍵所在，觸類旁通，以后遇到其他問題就容易找到解題的切入點，使解題變得簡單快捷。

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作者簡介：

王勇杰，甘肅省酒泉市，甘肅省金塔縣中學。