游樂設施壓桿穩定性計算原理解析

趙九峰

游樂設施壓桿穩定性計算原理解析

趙九峰

（河南省特種設備安全檢測研究院，河南 鄭州 450000）

構件穩定性是指構件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，即不會產生失穩現象。游樂設施鋼結構作為主要承重結構，存在失穩破壞的可能性。本文對壓桿穩定性計算公式進行詳細推導，得出歐拉臨界力公式，利用公式對游樂設施軌道立柱進行穩定性分析，并得出立柱失穩的臨界載荷和穩定系數，并用有限元方法對軌道立柱進行屈曲穩定分析，結果表明穩定性分析理論可以合理解釋有限元分析結果，其計算方法為游樂設施穩定性計算分析提供了參考。

穩定性分析；慣性矩；彎矩；曲率半徑；臨界載荷

游樂設施結構件的破壞，有材料破壞和失穩破壞兩個類型。對于軸心受壓的桿件，如果桿件很短，壓力過大會使桿件斷裂，此時的破壞稱之為材料破壞，桿件應力基本等于材料的強度極限。如果桿件比較長，壓力過大會使桿件在材料破壞前突然彎曲，導致結構件坍塌而出現材料破壞。在坍塌前，桿件承受的應力還比材料強度小很多，這時候，細長桿件就是發生了失穩破壞[1]。

對游樂設施鋼結構件，這兩種破壞形式都是存在的。為防止結構失穩，對細長、薄壁結構件需要進行整體和局部穩定性計算[2]。穩定性分析主要用于研究結構在特定載荷下的穩定性以及確定結構失穩的臨界載荷及安全系數。游樂設施鋼結構作為主要承重結構，由許多構件連接而成，常見構件有軸心受力構件、受彎構件及偏心受壓構件。承載能力計算包括強度、剛度和穩定性計算，連續反復載荷作用下，還需要計算疲勞強度[3]。

對于游樂設施中的細長桿件，需要進行穩定屈曲分析，驗算其結構的穩定性。本文對給出了細長壓桿穩定性計算的詳細推導公式，并對游樂設施軌道立柱進行穩定性分析和有限元計算，得出立柱失穩的臨界載荷和穩定系數，為游樂設施穩定性計算分析提供了參考。

1 壓桿失穩原理解析

桿件端部受到軸向壓力載荷時，若在任意微小外界擾動下，將偏離其平衡位置；當外界擾動去除后，如果仍能恢復到原來位置，則原來的平衡是穩定的；如果外界擾動去除后不能恢復到原來位置，則原來的狀態是不穩定的。從穩定平衡狀態過渡到不穩定的平衡狀態為臨界狀態[4]。細長桿穩定性屈曲分析的本質是對理想細長壓桿在兩端較支約束下，受軸向壓力作用時，其由穩定的直線狀態變為不穩定的微彎狀態的過程，這個狀態稱為壓桿失穩[5]。

1.1 慣性矩和彎矩

截面慣性矩，是衡量截面抗彎能力的一個幾何參數，是指截面各微元面積與各微元至截面上某一指定軸線距離二次方乘積的積分。梁截面慣性矩是梁本身對彎曲方向中性面的慣性矩。

如圖1所示，梁截面上的微元面積為d，微元對軸的距離為，應用積分方法得：

式中：為梁截面慣性矩，mm4；為梁截面面積，mm2。

梁向下彎曲時，下半部分受拉，上半部分受壓，在受拉區和受壓區的交界處，既不伸長，也不縮短的那一層，稱為中性面，中性面與梁截面的交線稱為中性軸[6]。截面存在拉壓的正應力，應用積分方法得梁截面彎矩為：

式中：M為梁截面彎矩，N·mm；σ為拉壓的正應力，MPa。

1.2 曲率半徑

純彎曲梁發生彎曲變形后，梁截面仍然保持平面，用相鄰的兩個橫截面從梁上截取長度為d的一微段，變形后繞各自的中性軸相對轉動的角度為d。如圖2所示。

圖2 彎曲時微段梁變形

在圖2所示的坐標系中，長度為d的微段上到中性面距離為處的長度改變量為：

式中：負號表示坐標為正的線段產生壓縮變形；坐標為負的線段產生伸長變形，mm。

將線段的長度該變量除以原長d，即為線段的正應變：

根據彈性范圍內的應力－應變關系即胡克定律，得：

式中：為材料的彈性模量，MPa。

聯立式（1）、式（2）、式（5），可得：

式中：為梁的彎曲剛度，N·mm2。

由式（6）得梁的軸線彎曲后的曲率數學表達式為：

這一結果表明，梁的軸線彎曲后的曲率與彎矩成正比，與彎曲剛度成反比。

1.3 最小臨界載荷

對于承受壓力載荷的細長桿，其失效主要形式是不穩定失效，失穩的臨界載荷為F，即小于F時壓桿穩定，大于F時壓桿不穩定[7]。在直線平衡狀態附近無窮小的鄰域內，存在微彎的屈曲平衡狀態，根據這一平衡狀態，由平衡條件和小撓度微分方程，可確定臨界載荷[8]。軸向壓力載荷作用在兩端較支的直桿上端，桿長度為，產生側向微撓度，受壓桿微彎屈曲狀態如圖3所示。

根據平衡條件，微彎屈曲狀態的彎矩為：

曲率表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，曲率的倒數就是曲率半徑[9]。曲率為數學上表明曲線在某一點的彎曲程度的數值，通過微分來定義：

聯立式（8）、式（9），可得：

變為：

式（11）即為純彎曲梁的撓度和轉角的微分方程，稱為小撓度微分方程。由式（8）、式（11）可得：

式（12）為壓桿在微彎屈曲狀態下的平衡微分方程，它是確定壓桿臨界載荷的主要依據，令2＝/，則：

微分方程的通解為：

式中：、為待定常數，由約束條件確定。

式（15）中，、不全為零的條件是系數行列式等于零，即：

由此解得：

由式（17）可得：＝π（＝1,2,...）。

將＝π/代入2＝/，即可得到所求臨界載荷的一般表達式為：

當＝1時，所得的就是最小的臨界載荷：

不同剛性支承條件下的壓桿，由靜力學平衡方法得到的平衡微分方程和端部的約束條件都可能各不相同，確定臨界載荷的表達式亦不同，但基本分析的方法和分析過程是相同的。對于長細桿，可以使用通用的歐拉公式[10]：

式中：為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效長度；為反映不同支承影響的系數，稱為長度系數。具體數值可參考文獻[10]。

綜上，壓桿的穩定條件即許用安全系數為：

根據參考文獻[8]可知，對于鋼材，許用工作安全系數[]為1.8～3.0，游樂設施領域保守計算，取最大值[]＝3.0。

2 軌道立柱穩定性計算

2.1 理論計算

在軌道類游樂設施的設計中[9]，軌道立柱的穩定性問題非常重要。軌道類設備簡圖如圖4所示。

圖4 軌道類設備簡圖

以38座單軌列車為計算對象，列車的總質量＝1.2×104kg（含乘客），共有4根立柱，中間兩根立柱承軸向載荷最大，為總重的三分之一，忽略振動系數和沖擊系數的影響，即單根立柱的軸向壓力載荷＝＝39.2 kN（4根等間隔立柱，中間兩根立柱承受總載荷的三分之一）。立柱為細長桿，無縫鋼管219×5，圓環截面慣性矩＝1.92×107mm4[8]，材料為20鋼，鋼材彈性模量＝2×105MPa，為4 m。列車立柱由于底部固定，頂部側向可近似為自由，由參考文獻[10]可知＝2[10]。

2.2 有限元計算

穩定性屈曲分析是一種用于確定結構開始變得不穩定時的臨界載荷和屈曲模態形狀的技術，一般是先進行靜力分析，然后進行耦合屈曲分析。用ANSYS進行特征值（線性）屈曲分析的步驟為：

（1）建立模型：與其他分析類似，但要注意必須定義材料的彈性模量和某種形式的剛度；

（2）獲得靜力學解：需要為結構施加一個單位載荷，該過程與一般的靜力學分析一致；

（3）耦合特征值屈曲分析：必須打開預應力效果選項，因為該分析需要計算應力剛度矩陣，屈曲分析計算出的特征值即為屈曲載荷（臨界載荷）。

采用2節點的梁單元（BEAM188）構建立柱有限元模型，并進行網格劃分，底部施加固定全約束（Fixed），頂部施加39.2 kN的壓力。載荷與約束如圖5所示。

由圖6仿真結果可知，立柱軌道的穩定性安全系數為15.0，略低于理論公式得到的計算結果15.1。說明有限元分析方法和結果是可靠和正確的[11]。

由計算結果可知，軌道立柱的屈曲載荷因子為15.0。如圖6所示。

圖5 軌道立柱載荷與約束

圖6 軌道立柱穩定性分析結果

3 結論

游樂設施鋼結構作為主要承重結構，存在失穩破壞的可能性，對于游樂設施中屬于細長桿的壓桿構件，其失穩而造成設備損壞的可能性大于其壓縮變形造成的部件損壞。本文通過對壓桿穩定性原理進行分析，并對壓桿穩定性臨界載荷和安全系數的計算公式進行詳細推導，給出了壓桿穩定性計算的確定方法，并結合實例進行計算，最終得出游樂設施軌道立柱的穩定性安全系數，并對立柱穩定性安全系數進行仿真分析，得到仿真結果與理論計算結果比較，表明計算結果的可靠性和正確性。其計算方法和結果可為游樂設施穩定性計算分析提供了參考，對于提高設計能力具有現實意義。

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Theoretical Analysis of Stability Calculation of Pressure Bar in Amusement Facilities

ZHAO Jiufeng

( Special Equipment Safety Inspection and Research Institute of Henan Province, Zhengzhou 450000, China )

Stability is defined as the ability of a component to maintain its original equilibrium under external force so as to avoid instability. There exists the possibility of instability regarding the steel structure of amusement facilities as the main bearing structure.. In this paper, the Euler's critical force formula is obtained by deducing the stability formula of the pressure bar in detail. The formula is used to analyze the stability of the column of the circular train track, and the critical load and stability coefficient of the column's instability are obtained. The buckling stability of the column is analyzed by finite element method. The results show that the stability analysis theory can reasonably explain the results of the finite element analysis. The method provides a reference for calculation and analysis of the stability of amusement facilities.

stability analysis；moment of inertia；bending moment；curvature radius；critical load

TH311.4

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.06.005

1006－0316 (2020) 06－0032－05

2019－12－24

趙九峰（1981－），男，河南平頂山人，碩士研究生，工程師、檢驗師，主要從事游樂設備設計計算、結構仿真與載荷響應研究工作，E-mail：zjf_2002@163.com。