考慮螺栓連接剛度不確定性的帶法蘭-圓柱殼結構頻響函數分析

李坤 曾勁 于明月 馬輝 柴清東

摘要：提出了一種利用Chebyshev多項式代理模型來分析螺栓連接帶法蘭-圓柱殼結構頻響函數不確定性的區間分析法。首先，利用8節點退化殼單元，通過有限元方法建立了帶法蘭-圓柱殼結構的動力學模型，從而求解系統的頻響函數，并與實驗測試的頻響函數進行對比，驗證了所建模型的有效性。然后，基于區間分析法建立了含區間參數的頻響函數Chebyshev多項式代理模型。最后，考慮法蘭處螺栓連接剛度不確定性，得到了單方向和多方向的連接剛度存在不確定性時的頻響函數區間范圍，并通過Monte-Carlo抽樣法進行了驗證。研究結果表明：Cheby-shev多項式代理模型具有較高的求解精度和計算效率，軸向連接剛度不確定性對系統的頻響函數影響最大;螺栓連接剛度不確定性主要導致頻響函數在系統第1階和第3階固有頻率處形成較寬的共振帶。

關鍵詞：圓柱殼;連接剛度;不確定性;區間分析法;頻響函數

中圖分類號：O326;THll3.1文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-0517-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.010

引言

圓柱殼由于具有結構強度高、剛度大和質量輕等優點，因而在航空航天、海洋工程、管道、大型水壩和冷卻塔等領域得到了廣泛應用。在實際工程中，圓柱殼一般通過螺栓進行連接，但螺栓連接結構存在多種不確定性源，導致其動力學特性變得更加復雜，因此，對螺栓連接不確定性研究具有重要意義。其中，螺栓的預緊力、接觸面的制造誤差和螺栓松動等都是不確定性源，最終導致其連接剛度具有不確定性。

目前，對于圓柱殼的動力學確定性研究較多，在建模方法上多采用有限元法、解析法與傳遞矩陣法。此外，也有學者對采用螺栓連接的圓柱殼結構進行了相關動力學特性研究。Yao等基于有限元法，采用薄層單元進行螺栓連接結構參數化建模，從而降低了多螺栓連接的航空發動機機匣有限元模型的復雜度。Marc-Antoine等提出了一種新的塊狀模型，用于航空發動機機匣中螺栓法蘭非線性動力學分析，所提出的模型較基于接觸單元建立的模型，其計算效率更高。Tang等采用半解析法，建立了螺栓連接圓柱殼結構非線性動力學模型，并分析了邊界連接參數對其動力學特性的影響。

然而，在實際工作中，隨著運行環境的變化，圓柱殼動力學模型中很多參數具有不確定性，使得其動力學特性也存在相應的不確定性。Silva等基于概率法，分析了物理和幾何參數不確定性對簡支圓柱殼非線性振動和穩定性的影響。Hakula等利用隨機方法求解不確定性參數下復雜殼體的頻響函數，并用Monte Carlo仿真對其進行了驗證。需要說明的是，當采用概率法進行不確定性分析時，不確定性參數的精確概率分布是很難獲取的。因此，一種非概率方法-區間分析法被很多學者提出，并將其用于對轉子、車輛、齒輪等的動力學不確定性分析。區間分析法對其具體的概率分布情況不做任何假設，只需知道不確定性參數上下界，即參數具有“不確定但有界”特點。

基于文獻[2-19]可知，對圓柱殼的確定性動力學研究較多，只有少量文獻[11-19]基于概率法對其進行了不確定性研究，較少有文獻采用區間分析法對圓柱殼的振動特性進行不確定性研究。本文采用8節點退化殼單元，通過有限元方法建立了螺栓連接帶法蘭一圓柱殼的動力學模型，利用彈簧單元離散化建模模擬螺栓連接，并通過模態試驗來驗證所建模型的有效性。然后，考慮螺栓連接剛度的不確定性，基于Chcbyshev多項式代理模型和區間分析法，分別求解了柱坐標系下5個方向的連接剛度為不確定性參數時的頻響函數區間范圍，在確定性固有頻率下，采用M0ntC-Carlo抽樣法求解其頻響函數區間范圍，并對比了兩種方法的求解精度和效率。最后，求解了多參數不確定性的系統頻響函數區間范圍。

1 模型建立與實驗驗證

1.1 有限元模型

圖1為8節點退化殼單元，殼體內任一點的整體坐標可通過各節點的整體坐標（x_i，y_i，Z_i）和自然坐標（ξ，η，ξ）的插值形式表示為

1.2 動力學建模與頻響函數分析

如圖2所示為螺栓連接法蘭-圓柱殼邊界條件模擬示意圖。其中圖2（b）為用殼單元模擬法蘭-圓柱殼結構時，將結構離散為有限個單元體示意圖。此外，本文通過在法蘭上的每個節點施加空間彈簧單元來模擬螺栓連接。法蘭殼體上所施加的空間彈簧在柱坐標系下有3個平動剛度和2個轉動剛度，分別為徑向u'軸、切向v'軸和軸向w'軸的平動剛度，以及繞u軸和v'軸的轉動剛度。由于本文的殼體理論在柱坐標系下是5個自由度，而空間彈簧單元對應的每個節點是6個自由度，所以另外一個轉動方向在彈簧單元剛度矩陣中對應的行和列用0來填充。

振型矩陣的每一列是一個振型向量，且作歸一化處理，則模態質量矩陣為單位矩陣，即

1.3 實驗驗證

為驗證所建模型的有效性，本文對頻響函數進行了試驗驗證，采用錘擊法進行模態測試，實驗主要使用東華振動測試系統進行數據的采集和分析。圖3為模態測試的試驗件和測試系統，法蘭與底座通過12個螺栓連接，并對每個螺栓施加同等大小的預緊力。

帶法蘭-圓柱殼結構的示意圖如圖4所示，這里忽略了法蘭上螺栓孔的影響，圓柱殼的中面半徑為R=（r₁+r₂）/2，結構的材料參數為：彈性模量E=200GPa，泊松比u=0.26，密度P=7850kg/m³。

實驗中使用單向加速度傳感器采集信號，采用單點輸入單點輸出對其進行模態測試，從而得到帶法蘭-圓柱殼結構的頻響函數。此外，本文也采用ANSYS中的shell281單元驗證了所建模型的有效性（如表1所示），ANSYS軟件中也是在單元的柱坐標系下施加Matrix27單元模擬邊界條件。需要說明的是，柱坐標系下（如圖2（c）所示）每個彈簧各方向剛度為k_u'=9.5×10⁷N/m，k_v'=7.36×10⁶N/m，k_u'=9.8×10⁶N/m，k_v'=1.8×10⁴N·m/rad，k_θv'=1.1×10⁴N·m/rad。表1為前7階固有頻率對比，圖5為本文與實驗測試的頻響函數對比，實驗中加速度傳感器的坐標位置為（R，0，L），激振點的位置也為（R，0，L）。

由表1可知，本文與實驗的固有頻率最大誤差為第3階，誤差僅為1.4%，與ANSYS的最大誤差為0.51%，從而驗證了本文彈簧單元離散化建模模擬螺栓連接的有效性。

由圖5可知，本文仿真與實驗測試所得頻響函數趨勢吻合較好，僅在峰值上存在一定誤差，這主要是因為本文使用的是比例阻尼，較難真實反映系統各階模態阻尼，從而導致頻響函數峰值存在誤差。

2 基于Chebyshev多項式的不確定性參數區間分析

2.1 多維Chebyshev多項式

將式（23）的多重積分轉化為數值積分，采用Gauss-Chebyshev數值積分，將復雜的多重積分轉化為數值積分，而數值積分適合MATLAB數值計算軟件進行運算，在保證求解精度的條件下，求解速度也得到明顯提高，可得：

2.2 頻響函數區間分析

考慮參數向量a具有不確定性，可用區間來表示不確定性參數的波動范圍，對其具體的概率分布情況不做任何的假設，只需給定不確定性參數上下界，即參數具有“不確定但有界”特點。利用區間表示系統不確定性向量，g維不確定性參數可表示為

因此，可以通過式（25）來取得對應的配置點數，然后通過Chebyshev多項式求得頻響函數代理模型。考慮到Chebyshev多項式逼近函數是在標準區間[-1，1]進行分析的，而旋轉圓柱殼中的不確定性參數是任意區間的，所以可通過區間變換把不確定性參數區間[a_m，a_m]轉變為區間[-1，1]，為

直接求解頻響函數的區間范圍比較困難，而利用Chebyshev多項式代理模型只需要少量的樣本，從而把求解式（29）和（30）轉化為求解式（22）的極值。

2.3 模型分析

螺栓連接帶法蘭-圓柱殼結構的連接剛度存在不確定性時，將引起頻響函數的不確定性，將柱坐標系下某一方向的連接剛度k₁用區間數學表示為式中βk_j為不確定性連接剛度k_j的波動系數。

Chebyshev多項式采用14階展開，高斯積分點數為15，連接剛度的波動系數為10%，分析頻響函數的區間范圍。

分別求解柱坐標系下5個方向剛度單參數存在不確定性時的頻響函數區間范圍（圖6-10），對比分析各方向連接剛度不確定性對頻響函數區間范圍的影響。

由圖6-10可知，當不確定性參數的波動系數為10%時，w方向的軸向連接剛度的不確定性對系統的頻響函數影響最大（如圖8所示），并且第3階固有頻率附近的頻響函數波動較大，由原來的單個共振峰變成了一個共振帶，從而發生移頻現象，固有頻率大約在1291-1349Hz之間。其次是v方向的轉動剛度的不確定性對頻響函數也有一定的影響（如圖10所示），第3階固有頻率大約在1316-1327Hz之間，另外3個方向的連接剛度的不確定性對頻響函數基本不影響（如圖6，7和9所示）。值得說明的是，頻響函數的區間不是關于確定性的頻響函數對稱，在共振帶處的最大峰值與確定性的共振峰值相比基本不變，而最小峰值卻變得很小;在反共振帶處的最小峰值相對于確定性的反共振峰變化不大，最大峰值卻變大許多。

同時采用Monte-Carlo抽樣法求解w方向的軸向剛度為不確定性參數時在確定性固有頻率處的頻響函數區間范圍，Monte-Carlo抽樣法的樣本數為500，最后得到頻響函數的區間范圍，然后比較本文方法與Monte-Carlo抽樣法所得到的頻響函數區間范圍以及比較兩種方法的耗時。表2為系統確定性固有頻率處對應的頻響函數上下界，可知Chebyshev多項式代理模型與抽樣法所得的上下界結果對比較好，誤差非常小。在同一臺計算機上，Monte-Carlo抽樣法所耗時間為2286.2s，Chebyshev多項式所耗時間為85.2s，大約是抽樣法計算時間的3.7%，從而說明了本文方法具有較高的精度和求解效率。

由于w方向的軸向連接剛度的不確定性和v方向的轉動剛度的不確定性對系統的頻響函數影響較大，而另外3個方向的連接剛度的不確定性影響較小，所以這里同時考慮w方向的軸向連接剛度和v方向的轉動剛度為不確定性參數，波動系數均為10%，求解系統的頻響函數區間范圍，分析多參數不確定性對頻響函數的影響，同時采用Chebyshev多項式代理模型求解固有頻率的區間范圍。由圖11可知，螺栓連接剛度不確定性主要導致系統第1階和第3階固有頻率附近的頻響函數波動較大，可知多參數不確定性會擴大頻響函數的區間范圍。由表3可知，隨著周向波數n的增大，固有頻率區間范圍波動越來越小。

3 結論

本文基于有限元法建立了螺栓連接帶法蘭-圓柱殼結構的動力學模型，并通過實驗和ANSYS仿真驗證了所建模型的有效性，其次，基于Chebyshev多項式代理模型分析了連接剛度不確定性對系統頻響函數的影響，并通過與Monte-Carlo抽樣法進行驗證，得出以下結論：

（1）在保證求解精度的條件下，Chebyshev多項式代理模型求解系統頻響函數區間范圍的效率較高，軸向連接剛度的不確定性對系統的頻響函數影響較大，特別是在第3階固有頻率處形成了較寬的共振帶，發生了移頻現象，隨著周向波數的增大，固有頻率的區間范圍波動越來越小。

（2）連接剛度的不確定性主要導致系統第1階和第3階固有頻率處形成較大的共振帶，從而說明螺栓連接剛度對帶法蘭-圓柱殼結構的動力學特性影響較大，在設計和制造中應充分考慮連接剛度的不確定性。