局部點蝕故障滾動體的滾動軸承動力學模型研究

李志農 李云龍 任帥 徐可君 秦海勤

摘要：現有的滾動體故障模型是理想化的，即把滾動體局部點蝕故障當作矩形缺口處理，滾動體缺陷與內、外圈滾道接觸產生碰撞時，變形量瞬間全部釋放，離開的瞬間變形量重新恢復。針對以上存在的問題，分析了具有滾動體局部點蝕故障的滾動軸承的實際運轉狀態，提出了滾動體故障漸變模型，探索了滾動體故障經過內、外圈時變形量的釋放變化規律，給出了漸變釋放的變形量的計算方法，建立了含滾動體點蝕故障的滾動軸承動力學漸變模型。通過仿真和實驗分析，得到了滾動體局部單點故障的特征頻譜，證實了當滾動體存在局部故障時所建的模型的正確性，為有效地診斷滾動軸承故障提供了理論支撐。

關鍵詞：故障診斷;滾動軸承;滾動體;漸變釋放;動力學模型

中圖分類號：TH165+。3;TH133.33+1文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-0597-07

DOI：10.16385/i.cnki.issn.1004-4523.2020.03.019

引言

在旋轉機械中主要起支撐回轉作用的滾動軸承，使用壽命的長短對國民經濟能否高速發展有著極其顯著的影響。從長遠看，滾動軸承總是不可避免的出現各種故障，這是導致滾動軸承振動和產生噪聲的重要原因之一。因此，有必要對滾動軸承的非線性力學性能展開進一步研究。目前，針對滾動軸承動力學特性的問題，研究者們建立了一些行之有效的動力學模型，例如，Walters考慮了滾動體的四自由度，首次建立了包括滾動體的位移、速度和各元件之間的相對滑動情況等滾動軸承全部特性的運動方程，然后利用4階Runge-Kutta法積分，可以計算出任意時刻滾動體的位移和轉速。Harris等在Walters的研究基礎上，把由于滾動體受力與力矩不平衡所帶來的慣性力及其力矩加入到建立的模型中，使得滾動軸承的動力學模型更加成熟。Gupta改進了正常工作狀態下滾動軸承的動力學分析方法，考慮了從開始啟動階段的整個運動過程，建立了較為完善的滾動軸承動力學研究模型。Meeks等把滾動體與保持架之間的碰撞按照非完全彈性接觸處理，在Gupta的理論基礎上發展了滾動軸承的動力學分析方法。Sopanen等提出了一種具有六自由度的動力學模型，該模型考慮了赫茲接觸變形和彈性流體動力學，給出了可以根據軸承的形狀、材料特性和徑向間隙計算的動力學模型。Cong等基于動態載荷分析提出了滾動軸承故障研究方法，并考慮了沖擊次數的影響，通過動力學分析，得出了故障計算方程。Kogan等在經典動力學和動力學方程的基礎之上，提出了三維軸承動力學模型，該模型使用雙曲正切函數模擬摩擦力，使用Hertz接觸彈簧阻尼模型來表示軸承各元件之間的相互作用。孫紅原等建立了軸承支承的單轉子動力學方程，采用龍格-庫塔算法對動力學方程進行積分，模擬分析了軸承質心旋轉狀態下的穩定性。Niu等建立了具有六自由度的滾動軸承動力學模型，在此基礎上研究了三維立體空間里滾動體的動力學非線性響應，對滾動體與滾道之間的離心力和潤滑對于軸承運轉性能的影響進行了深入研究。徐可君等在考慮了滾動體故障與內、外圈滾道碰撞時變形量變化的基礎上，建立了中介軸承存在局部故障的動力學模型，并研究了內、外圈旋轉方向的相同與否對中介軸承振動的影響，得出了內、外圈旋轉方向不同時調制效果較方向相同時更加強烈明顯。

雖然滾動軸承動力學建模取得一些進展，但是仍存在一些問題。大部分模型僅研究滾動軸承的內、外圈故障，很少有人研究滾動體的局部損傷故障。據此，本文以SKF6205型軸承為例，以含局部損傷的滾動體為研究對象，針對目前軸承動力學研究中存在的主要問題，考慮滾動體缺陷與內、外圈滾道發生碰撞時接觸變形量的變化，建立含局部故障的滾動體動力學新模型。通過仿真和實驗分析，進一步證實建立的模型的正確性。

1 滾動體故障動力學模型的建立

滾動軸承處于正常狀態時，滾動體與內、外圈滾道的彈性接觸可以用彈簧阻尼模型近似代替。根據Hertz接觸理論可知，滾動體與雙側滾道總的負荷-變形系數可以用下式計算得到。

由得到的主曲率差函數F（p）通過查閱文獻表6-1可以得到n_δ。

滾動體在正常工作過程中，不僅有自轉，還有繞軸承幾何中心的公轉，它每自轉一圈，就會與內、外圈產生接觸。要對具有局部損傷的滾動體分析研究，就須進行一些假設：假設外圈固定不動，即外圈的旋轉速度恒定為零;假設軸承工作過程中滾動體與兩側滾道之間的運動形式為純滾動，不存在打滑現象，并且忽略軸承潤滑影響。因此滾動體某一點存在局部損傷故障時的具體情況如圖1所示。

圖1中，ω_i為內圈的旋轉角速度;φ_spall為含局部損傷的第j個滾動體中心對應的初始位置角;r_i為內圈的半徑;△φ_s為故障的跨度角;θ_i為第j個滾動體的中心位置角，△φ_s與θ_j的計算方法分別為：

式中 Z代表了滾動體數目;θ₁為圖1（a）中標記為第1號的滾動體的初始位置對應的角度;b為局部故障寬度的一半;ω_c為保持架的實際旋轉角速度，其計算方法為

式中 ω_i為內圈的旋轉角速度。在實際運轉中，滾動體與內圈滾道瞬時接觸點在滾道上的瞬時線速度可表示為

由于滾動體在自轉同時也在公轉，則瞬時接觸點在滾動體上的瞬時線速度為

式中 ωb為滾動體的旋轉角速度。

根據純滾動條件，瞬時接觸點在滾動體和內圈滾道上的線速度相等，即v_ib=v_rb，得到

圖1（b）為滾動體局部損傷與內、外圈滾道接觸的示意圖。實際的滾動體并不是完全意義上的剛性體，其本身也會發生變形。當滾道到達缺陷底部時，接觸變形量將全部釋放，最大為λ_max;若滾道并沒有完全到達缺陷底部時，接觸形變量并不會完全釋放，釋放的最大變形量λ_max是滾動體自身的變形量C_dr與內圈滾道變形量的和或與外圈滾道變形量C_do的差，即：

式中 d為故障深度;ψ_s為滾動體故障中心的位置角，定義ψ_s的值為外圈滾道接觸點沿徑向順時針旋轉到滾動體缺陷中心的夾角，它的計算公式為

若第j個滾動體存在局部缺陷，則缺陷與內、外圈發生碰撞時會引起變形量的變化，所以在計算接觸變形量時應考慮這個因素。同時由于滾動體與內、外圈滾道間存在一定的間隙，會對變形量有一定的影響，因此也應該把這一因素考慮在內。所以總的接觸變形量為

式中 e為軸承徑向間隙;λ為滾動體故障與內、外圈滾道產生接觸時變形量的變化量;β_j代表開關量，它的取值與缺陷中心位置角及缺陷跨度角有關，具體計算方法為

目前的滾動體故障模型是一種理想化模型，即如圖2（a）所示。該模型是把滾動體局部點蝕故障當作矩形缺口處理。滾動體缺陷與內、外圈滾道接觸產生碰撞時，變形量瞬間全部釋放，離開的瞬間變形量重新恢復。

而更符合工程實際的滾動體局部故障模型是如圖2（b）改進模型所示的圓弧形缺口，變形量的變化是漸變的過程。所以，實際變形量的變化應該是在式（16）的基礎上，考慮變形量漸變之后的結果如下式所示

2 數值仿真

數值仿真使用SKF6205型軸承，它的一些主要參數為：質量0.13kg，外圈直徑52mm;內圈直徑25mm;共有9個滾動體;滾動體與兩側滾道的接觸角相等且均是零;初始速度和加速度x=y=0，x=y=0，系統的等效阻尼c=200N·s/m，轉子轉速為1772r/min;缺陷為0.2mm×0.5mm。基于以上參數計算可得，理論的滾動軸承滾動體故障的特征頻率值為139.2Hz。

圖3是滾動體局部單點故障的仿真得到的結果。從圖3中可以看出，振動的速度和加速度脈沖信號呈周期性的出現，其信號主要是故障產生的沖擊振動，其x和y方向的速度和加速度脈沖信號在0.2s內約有28次沖擊，說明了頻率為140Hz左右，這恰好對應于滾動體缺陷特征頻率的理論值139.2Hz，證明了本文建立的模型的正確性。此外，雖然圖示脈沖沖擊的時間大致相同，但振動的幅值差異卻異常明顯，這是由變載荷的變化所引起的。

圖4是滾動體局部故障低頻段的頻譜。由圖4可知，包含了139.2和278.4Hz的頻率，這兩個頻率成分正好對應著滾動體故障的特征頻率及相應的二次諧波成分，同時，保持架的轉動頻率11.72Hz也反映明顯。由于11.72Hz的調制作用，出現了特征頻率的變頻帶，如278.4-11.72≈266.7Hz和278.4+11.72≈290.1Hz等。與內、外圈滾道局部故障不同之處在于，滾動體局部故障的調制頻率主要是保持架頻率。

3 實驗分析

本文使用美國西儲大學的實驗數據，實驗裝置如圖5所示，實驗平臺主要由一個2馬力（1.47kW）的電機（圖左），一個檢測轉矩的傳感器（圖中），一個功率計（圖右）和電子控制設備（沒有顯示）組成，用加速度傳感器分別采集支承電機軸的軸承高速端與電機端的振動信號。采樣頻率為12kHz，電機的轉動頻率為1772r/min，使用電火花加工技術在SKF6205型軸承上布置了單點故障，故障直徑分別為0.007in（0.1778mm）。通過理論計算得到的滾動軸承滾動體故障的特征頻率值為139.2Hz。圖6是滾動體故障實驗結果的時域和頻域波形圖。

從圖6（a）的時域波形圖中很難發現任何信息。在圖6（b）的低頻段頻域圖中包含有159.7和359.7Hz等主要特征頻率，并沒有發現滾動體故障特征頻率的峰值，初步判斷對滾動體故障的實驗信號無法直接利用傅里葉變換得出故障特征頻率。圖6（c）是對滾動體故障的實驗信號求時域包絡后再進行傅里葉變換，從圖6（c）中可以看到，出現了明顯的滾動體故障特征頻率，即140.1Hz，與理論計算的滾動體故障特征頻率139.2Hz非常接近，相對誤差為0.64%，非常小。此外，由于保持架頻率和保持架通過內圈頻率及其倍頻的調制，出現了一些邊頻帶，如104.6，122.3，163.7Hz。

對比理論計算、仿真和實驗結果，建立的模型是正確的，有必要考慮滾道變形量以及基于變形量漸變釋放的客觀事實。

4 結論

針對獨立研究滾動軸承動力學模型的不足以及現有模型并不能很準確地反映滾動軸承實際運行狀態的問題，本文將滾動軸承視為獨立的運動單元，深入研究了滾動軸承的滾動體故障，并基于滾動體故障經過內、外圈滾道時接觸變形量漸變的事實，得出了接觸變形量的變化規律，建立了含局部點蝕故障的滾動體動力學模型，并采用龍格一庫塔法對模型求解。通過對具有故障滾動體的動力學仿真進行分析，滾動體的故障特征頻率及其二次諧波與計算的特征頻率結果相吻合。通過實驗臺得到的故障數據無法直接利用傅里葉變換得出特征頻率，因此改用先求時域包絡再進行傅里葉變換的方法求解，實驗結果與計算得到的特征頻率相接近，誤差在0.64%以內，充分證明了本文所建立的含局部點蝕故障的滾動體動力學模型是正確的，為有效地診斷滾動軸承故障提供了理論支持。