氣墊導軌黏性阻尼系數和重力加速度的測量與分析

李玉珍 ,呂寶華

(1.運城學院工科實驗實訓中心,山西運城 044000;2.運城學院應用化學系,山西運城 044000)

氣墊導軌實驗在大學物理實驗中是比較常見的，它可以做許多力學中的常見實驗，如牛頓第二定律的驗證，速度和重力加速度的測量，碰撞實驗等。對于實驗精度要求不高，只作驗證性實驗的定性研究，可以近似為理想運動情況，但在嚴格情況下，通過實驗測量值發現，需要對理想值進行修正，修正項來自于空氣阻力，好多學者對其修正公式和相關實驗進行了研究[1-6]。本文考慮了修正項對實驗結果的影響，通過實驗測量了空氣阻力的粘黏阻尼系數，以及在考慮空氣阻力情況下測量了當地的重力加速度。

1 實驗原理

滑塊在氣軌上運動受有與速度成正比的空氣阻力，在兩光電門之間的平均阻力[7]

其中，b為黏性阻尼系數，vA、vB分別為滑塊在兩個光電門處的速度。

在調平的導軌上，滑塊運動過程中所受合力即為阻力，由功能原理得

其中，s為兩光電門之間的距離，則

考慮到調平的導軌上滑塊從兩個方向上運動的速度損失ΔνAB,將（3）式改寫為

調平氣軌后，將氣軌一端墊高h，氣軌下兩支腳間距離為L，當滑塊從傾斜氣軌上下滑時，視為勻加速直線運動，兩光電門之間的距離為s，滑塊在兩個光電門的速度分別為vA、vB，滑塊由光電門A到光電門B所用時間為t，滑塊的加速度為a。上滑時視為勻減速直線運動，兩光電門之間的距離為s′，由光電門B到光電門A所用時間為t′，滑塊的加速度為a′。

設氣軌傾斜角為θ，則根據牛頓第二定律，下滑時：

上滑時：

當s=s′時，聯立(5)式和(6)式有

當s≠s′時，聯立(5)式和(6)式有

2 實驗介紹及數據處理

本實驗使用氣墊導軌簡圖如圖1所示，主要測量數據t,v,a由J0201-CHJ存儲式數字毫秒計測量，m用電子天平測量。安裝好實驗儀器，正確接好毫秒計和光電門之間的連線，并使它們處于正常工作狀態。導軌水平時測速度由功能鍵選擇S2鍵測出滑塊經過兩光電門時的速度，數據見表1。將導軌墊高3 cm，滑塊在傾斜氣軌上下滑、上滑時，我們選擇功能鍵a，可以依次記錄滑塊經過光電門A的時間(光電門第一前沿和第二前沿間距1 cm），由光電門A到光電門B所用的時間，經過光電門B的時間，經過光電門A、B的速度，以及滑動過程的加速度。傾斜氣墊導軌如圖2。

圖1 氣墊導軌水平時簡圖

圖2 氣墊導軌傾斜時簡圖

下滑過程，主要測量固定點自由下滑，這時導軌受到人為震動是最小的，導軌是最穩定的，測量數據也是最準確的。本實驗在兩個不同的s值下，測量了數組滑塊自由下滑的實驗數據。具體測量數據見表2，3，4。表2是在s相同，滑塊上滑和下滑平均速度近似相等情況下的測量數據以及b和g的計算值。在這里，我們通過t觀察是否近似相等。表3是在s相同，上滑和下滑平均速度不等情況下的測量數據以及b的計算值。表4是在s不同，上滑和下滑平均速度vˉ不等情況下的測量數據以及b的計算值。

同時，將測量所得的實驗數據利用Origin作了滑塊滑動過程的加速度隨經過兩光電門間距所用時間的關系圖（以下簡稱a-t關系圖），見圖3和4。圖3是滑塊在傾斜氣墊導軌上下滑，上滑及理想運動（只考慮重力作用）時的a-t曲線，此時t值取得相對集中。圖4是滑塊在傾斜氣墊導軌上下滑時的a-t曲線，t的取值范圍較廣，從600～1120 ms。

圖3 s 相同時a-t 關系圖

圖4 s不同時下滑a-t 關系圖

3 結果與討論

表1 滑塊在水平氣軌上滑行時的v 和b 值

表2 傾斜氣軌上，s相同近似相等上下滑各物理量值

表2 傾斜氣軌上，s相同近似相等上下滑各物理量值

表3 傾斜氣軌上，s相同不等上下滑各物理量值

表3 傾斜氣軌上，s相同不等上下滑各物理量值

表4 傾斜氣軌上，s不同不等上下滑各物理量值

表4 傾斜氣軌上，s不同不等上下滑各物理量值

根據表1～4的實驗數據可以看出，氣墊導軌水平時求得黏性阻尼系數b值較小，氣墊導軌傾斜時求得的b值較大，都在2.5～5這個范圍，由此可以看出本文的實驗測量方法是比較可行的，可以測出合理的黏性阻尼系數b。

由圖3可以看到滑塊在下滑時的加速度小于理想情況的加速度gsinθ，上滑時的加速度絕對值大于理想情況的加速度，這與理論很吻合。我們知道，下滑時滑塊所受重力向下，空氣阻力向上，所以加速度比理想值小，而在上滑時滑塊受重力與空氣阻力都是向下，所以比理想值大。

由圖4可以看到滑塊在下滑時的a-t變化趨勢，無論是s=35.41 cm還是s=39.43 cm，隨著時間t的增加，加速度值也在增加。加速度的增加意味著受到的作用力增大，而重力分量不變，變化的是與速度有關的空氣粘滯阻力，隨著時間增大，下滑平均速度減少，空氣粘滯阻力減少，下滑加速度增大，與理論相一致。

對稱操作補償法抵消阻力，在測量的實驗數據中選取與下滑時平均速度近似相等的，也就是在s相等的情況下，經過兩光電門間距所用時間t是基本相等的。根據表2中的實驗數據，利用(9)式計算得當地重力加速度平均值為=9.7963 m/s2。理論計算地球表面重力加速度公式為[8]：

g0為標準重力加速度，其值為9.80665；φ為測量點緯度，h為測量點海拔高度，R為地球平均半徑，其值為6370 km；由GPS檢測得到運城學院的緯度為35.12626°，海拔399.2 m，計算得當地重力加速度為g=9.7842 m/s2。實驗測量值與理論計算值的絕對誤差為0.0121，相對誤差為0.12%。與理論值非常接近。說明這種方法可以準確測量當地重力加速度。而且公式中用到的量都來自于直接測量量。只要測量時減少人為誤差，實驗結果可行性較高，可以在學生實驗中應用。