第二個重要極限公式的實質(zhì)及推廣應用

劉憲升

（濱州學院理學院 山東·濱州 256600）

眾所周知，第二重要極限公式是高等數(shù)學中極限內(nèi)容的重點和難點，也是各類考試的必考內(nèi)容。然而，由于抓不住其實質(zhì)，故學生縱使解了大量的練習題，考試遇到這類問題還不得不機械的重復解題過程，并不能快速給出答案。其實，若認識透公式的特點及其蘊含的規(guī)律，就是這類考研或競賽題也可一眼看出答案。下面，從公式的特征出發(fā)，先揭示其實質(zhì)并推廣之，然后舉例說明其應用。

1 重要極限基本形式的特征及其實質(zhì)和推廣

1.1 重要極限基本形式的特征及其實質(zhì)

為方便討論,我們給出重要極限公式。

無論是課本、參考書，還是教師教學，都指出并強調(diào)公式的以下特征。首先，公式中冪的底數(shù)中，括號內(nèi)必須是1加上一個無窮小量；其次，冪的指數(shù)是一個無窮大量，且與底數(shù)中的無窮小量互為倒數(shù)。總之，是屬于 型未定式的極限形式。可以說，正是對這些特征的過分強調(diào)，束縛了學生的思維，使其認識不到公式的實質(zhì)。其實，上述對公式特征的分析還不到位，拿公式（1）來說，還有以下特征。

1.2 公式的推廣

為方便應用，先給出兩個簡單形式。

由推廣和原公式可見，這種類型問題的極限只與冪底數(shù)中作為無窮小量分式中分子與分母中關(guān)于 的多項式的最高次項系數(shù)及指數(shù)中多項式的最高次項系數(shù)有關(guān)，而與常數(shù)項、無關(guān)，這是對公式實質(zhì)的進一步認識。據(jù)此并結(jié)合上述特征一、二，將公式（1）中，冪的底數(shù)括號內(nèi)的無窮小量推廣至更一般的分式形式，將指數(shù)的多項式推廣至一般的多項式。

證明：推廣式中分式的分母、分子及指數(shù)分別為：

1.3 公式的推廣

2 推廣的應用

結(jié)合重要極限的實質(zhì)及上述推廣公式，再結(jié)合等價無窮小和靈活應用，便可以快速的解決這類問題。

2.1 快速解決選擇題

2.2 快速解決填空題

2.3 驗證解答題的正確性

諸如上面求極限值的題目在課本或考試題中也經(jīng)常出現(xiàn).由于我們根據(jù)推廣能快速的看出答案，故計算的結(jié)果若與看出的答案不符就說明解題過程存在問題，進而進行檢查改正（不再贅述）。

綜上可見，在用第二個重要極限來計算極限時，其實經(jīng)常用的是其推廣形式。如能熟練掌握和靈活運用這些推廣形式，一眼就可看出題目的答案，秒殺考試中的填空和選擇題。這對于考場上分秒必爭的學生，既可贏得時間解決難度大的題，還可穩(wěn)定心態(tài)，促進發(fā)揮，獲得更好的成績。