函數圖象在高中數學解題中的巧妙應用

◇ 山東 邱桂艷

函數圖象在高中數學解題中有著十分廣泛的應用.在高中數學中對函數圖象有兩方面的要求，一方面是能根據函數的圖象知道函數的基本性質，另一方面是能應用函數圖象來解決實際的數學問題.在高中數學解題中，應用函數圖象可以簡化數學題，將數量關系和圖象巧妙結合，不僅能幫助學生快速高效地完成各種復雜的題型，也能更好地幫助學生們理順各個條件之間的關系，提高做題效率.

1 應用于數學填空題和選擇題

在數學題中，填空題和選擇題是兩種常見的題型，這類題已知條件較少，主要考查學生對某一個知識點的掌握情況，通過函數圖象能幫助學生快速找到解題的關鍵.

例1現給出方程式sinx=sin2x，如果x 的定義域為（0，2π），則上述方程一共有（ ）個解.

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

解析

如果不利用函數圖象進行解題，則解題步驟如下：sin2x=2sinxcosx=sinx，如果sinx=0，那么x=π.如果sinx≠0，則2cosx=1，即一共有3個解.這種解題思路不僅復雜，計算較多，而且在解題的過程中也很可能忽略了（0，2π）這一條件，從而導致結果錯誤.利用函數圖象進行解題時，將sinx 和sin2x 的圖象畫出來，可以得出當x 在（0，2π）這一區間內，一共有三個解，這種解題方式不僅簡單快速，其準確性也高.因此，在解這類題時，要盡量通過畫函數圖象的方式來簡化題目，節省計算時間，提高做題準確率.

例2函數y=ax2+bx+c（a≠0），其圖象見圖1，那么在b2-4ac＞0，4a+b＞0，a-b+c＞0，a+b+c＞0這幾個公式里面，正確的有個.

圖1

解析

這一題也可以利用函數圖象來進行解答.從函數圖象中可以知道，拋物線和x 軸有兩個交點，因此b2-4ac＞0.同時考慮拋物線的對稱性質和其對稱軸處于1和2之間，所以，將該不等式進行變換可以得到b＞-4a，所以4a+b＞0.若x=-1，則a-b+c＞0.若x=1，則a+b+c＜0.

2 應用于抽象數學問題的解決

除了在填空題和選擇題中應用函數圖象，在面對一些抽象的數學問題時也要全面分析，積極應用函數圖象來解題.從整體來看，函數圖象可以用來解決函數值域、近似值等問題.利用函數圖象求解上述問題，可以將抽象的數學問題具體化，提高做題效率.

例3給出下列不等式：，求式中x 的取值范圍.

解析

在針對題目中有絕對值的問題時，學生常常會出現因為忽略條件或者是計算錯誤造成最終答案錯誤的問題.如果在解決這類題的時候采用函數圖象的方式，將可能出現的情況通過函數圖象表現出來，能有效避免漏解、錯解.在此題中，我們可以將題目中的不等式轉換成＜0，令y=.當2x+3=0或者x-5=0時，即或者x=5.得出上述結果之后，可以將x 軸分成三個部分，在三個區間內畫出三個一次函數圖象，找到這些圖象和x 軸的交點，便可以得出x 的取值范圍.

例4求解不等式

解析

可以看出整個式子比較復雜，而且涉及x 的三次方的問題，如果直接求解不僅需要大量的時間，而且很難得出正確的答案.對此，可以應用函數圖象解題，將上式進行變形，得到x3+5x，又因為所以不等式可以化為可以設函數為f（x）=x3+5x，函數為在定義域R 內的單調遞增函數，不等式又可以化為f（x），所以原不等式就等價于，對上述不等式求解得-1＜x＜1或x＜-2.

例5求方程lgx=3-x 的近似解.

解析

將上述方程化為lgx-3+x=0，令函數f（x）=lgx-3+x，借助計算器計算得到f（2）≈-0.70，f（3）≈0.48，有f（2）f（3）＜0，所以方程在區間（2，3）只有1個解.接著用二分法計算，?。?，3）的中間值2.5，利用計算器計算得f（2.5）≈-0.10，然后再?。?.5，3）的中間值2.75，利用計算器進行計算得f（2.75）≈0.19，有f（2.5）f（2.75）＜0，所以可知x0∈（2.5，2.75），同理可以得到x0∈（2.5，2.625），x0∈（2.5625，2.625），因為2.625-2.5625=0.0625＜0.1，所以方程的近似解的取值為2.5625.

3 應用于比較大小和找零點

在學習函數的時候，學生要熟練掌握常見的幾種函數類型的性質和圖象，這對于解決比較大小、求零點等類型的題目十分重要，可以進一步提高學生的做題效率和質量.

例6如果有不等式loga2＜logb2＜0，則a，b 可以滿足下列哪個關系（ ）.

A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1

解析

如果學生知道對數函數的性質并且能畫出對數函數的圖象，這類題就變得非常容易了.因為loga2＜logb2＜0=loga1，所以0＜a＜1，0＜b＜1.又因為loga2＜logb2，根據對數函數的性質可以知道a＞b，所以0＜b＜a＜1.

例7函數x 在［0，+∞）內（ ）.

A.沒有零點 B.有且僅有1個零點C.有且僅有2個零點 D.有無數個零點

解析

所給函數中涉及兩類函數，如果直接求解幾乎解不出來.因此，在求解時可以采用函數圖象的方式，令-cosx=0，在同一個坐標系中畫出y=和y=cosx 的圖象，兩個函數圖象的交點個數即為零點個數，最終答案為B.

圖2

綜上所述，高中數學的主要學習內容可以概括為兩個字：“數”和“形”，在高中數學中，很多數量關系都可以通過函數圖象表現出來，在此基礎上形成的數形結合思想已經成為高中數學的一種主要解題思路.學生在做數學題時掌握好上述思想，能有效提高數學成績.