行星輪安裝孔周向位置誤差對行星輪系振動特性的影響研究

王鑫磊, 項昌樂, 李春明,3, 平思濤

(1.北京理工大學 機械與車輛學院，北京 100081；2.中國北方工業有限公司，北京 100053；3.中國北方車輛研究所，北京 100072；4.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

0 引言

行星齒輪傳動作為高功率小體積的機械傳動系統，在國防、能源、交通運輸等行業廣泛應用。但是，因行星傳動結構及內部激勵復雜，其振動機理尚未完全解明。有資料顯示，行星輪安裝孔周向位置誤差作為行星輪系齒輪嚙合的內部非線性激勵，是導致齒輪早期失效的重要因素之一。因此，研究行星輪安裝孔周向位置誤差的動力學建模和振動特性，具有重要的理論意義和工程價值。

目前，國內外主要采用動力學建模方法對行星輪安裝孔位置誤差進行研究。Kalrarman建立了耦合齒輪安裝及制造誤差的非線性時變行星輪系動態模型，對行星輪系的載荷分配進行了研究[1]；Parker等對行星輪嚙合相位關系進行研究，研究了行星輪間嚙合相位間的關系與太陽輪- 行星輪嚙合和齒圈- 行星輪嚙合相位間的關系[2]；Boguski等研究了一種直接測量行星輪系載荷分配的方法，采用該方法對有行星輪安裝孔位置誤差的四行星輪系進行了載荷分配測量與計算對比，證明了這種測量方法的有效性[3]；Iglesias等提出了一種研究行星輪安裝孔位置誤差的改進模型，該模型考慮切向和徑向兩種誤差形式，研究行星輪安裝孔位置誤差對傳遞誤差的影響[4]；Leque等建立了三維行星輪系模型以明顯獲得行星載荷分配情況，在該模型中耦合入行星輪安裝孔位置誤差等制造誤差，以獲得各種誤差對行星輪系載荷分配的影響[5]；史志偉建立了一種計算行星輪間嚙合相位的計算方法，討論了任一行星輪處外嚙合與內嚙合相位差的計算過程，并提出調節嚙合相位可以實現系統的振動抑制[6]；田磊研究了制造及裝配誤差引起的嚙合錯位對行星輪系均載性能的影響，引入行星輪安裝孔位置誤差研究二者共同作用時對均載性能的影響[7]；姜京旼基于多體動力學仿真軟件Admas搭建了軸孔位置誤差對行星輪均載影響研究的虛擬平臺，研究了行星行星架的軸孔位置誤差對風機齒輪箱行星輪均載特性及壽命的影響[8]。

然而，目前針對行星輪安裝孔位置誤差的研究，主要集中在考慮其對接觸線長度的影響方面，而且分析時忽略了行星輪安裝孔位置誤差引起的嚙合線位置和壓力角變化，也未考慮行星輪安裝孔位置誤差引起的行星輪位置角變化對嚙合相位關系的影響[9-10]。實際上，行星輪安裝孔位置誤差不僅會改變嚙合線位置和壓力角從而引起接觸線長度變化，而且會改變位置角而引起嚙合相位變化，以及會影響行星輪系相位調諧能力。因此，有必要建立考慮接觸線長度變化以及嚙合相位變化的行星輪安裝孔位置誤差動力學模型，對行星輪安裝孔位置誤差與接觸線長度、嚙合相位的關系進行研究，分析行星輪安裝孔位置誤差對系統動態特性的影響。

本文針對行星輪安裝孔周向位置誤差導致行星輪系振動特性變化問題，考慮行星輪安裝孔周向位置誤差對嚙合線長度的影響，以及對行星輪系嚙合相位關系的影響兩方面因素，建立行星輪安裝孔周向位置誤差動力學模型，研究行星輪安裝孔周向位置誤差對系統動態傳遞誤差的影響，進而分析行星輪安裝孔周向位置誤差對行星輪系振動特性的影響規律，以期為行星輪系的減振降噪及早期失效分析提供理論和數據支撐。

1 行星輪安裝孔周向位置誤差對嚙合狀態影響分析

行星輪安裝孔位置誤差是較為常見的誤差之一，是指行星輪在行星架上的安裝孔出現的位置度誤差，分為切向誤差和徑向誤差。本文主要討論行星架孔切向即周向誤差對行星輪系振動特性的影響。

行星輪安裝孔周向位置誤差對嚙合狀態的影響示意如圖1所示。

圖1 行星輪安裝孔周向位置誤差對嚙合狀態影響示意圖Fig.1 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on gear meshing

圖1中：P1為行星輪Ⅱ理想的位置，P2為行星輪Ⅱ實際的位置；實線表示行星輪理想情況下的嚙合狀態，虛線表示行星輪Ⅱ存在行星架孔位誤差時的嚙合狀態；行星輪安裝孔周向位置誤差改變了嚙合線位置，ls為理想情況下行星輪Ⅱ-太陽輪的嚙合線，lsk為行星輪Ⅱ行星架孔存在位置誤差時行星輪Ⅱ-太陽輪的嚙合線；行星輪安裝孔周向位置誤差也會改變行星輪的位置角，λ1為理想情況下行星輪Ⅱ的位置角，λ2為行星輪Ⅱ行星架孔存在位置誤差時行星輪Ⅱ的位置角；行星輪安裝孔周向位置誤差會改變壓力角，αs和αr為理想情況下行星輪Ⅱ的內、外嚙合壓力角，αsk和αrk為行星輪Ⅱ行星架孔存在位置誤差時行星輪Ⅱ的內、外嚙合壓力角，Os為太陽輪安裝圓心，x、y分別為以Os為原點建立的直角坐標系橫軸和縱軸。

行星輪安裝孔周向位置誤差引起的嚙合線位置變化、位置角變化及壓力角變化，會導致行星輪嚙合相位以及接觸線長度的改變，其中E1為理想情況下太陽輪上的嚙合位置點，E2為行星輪Ⅱ行星架孔存在位置誤差時太陽輪上的嚙合位置點；嚙合位置點的變化會引起該嚙合時刻下嚙合剛度的變化，即嚙合相位關系產生變化，F1為理想情況下行星輪上的嚙合位置點，F2為行星輪Ⅱ行星架孔存在位置誤差時行星輪上的嚙合位置點。理想情況下E1點與F1點重合，嚙合位置不發生變化；行星輪Ⅱ行星架孔存在位置誤差時，E2點與F2點并不重合，E2F2為行星輪安裝孔周向位置誤差導致的嚙合位置變化。

2 行星輪安裝孔周向位置誤差的動力學建模

考慮到齒輪系統傳動軸、支承軸承和箱體等的支承剛度相對較大，不考慮其彈性，忽略由輪齒嚙合引起的彎、扭等有關自由度間具有的彈性耦合和粘性耦合等因素，軸承支撐與輪齒嚙合通過彈簧和阻尼來模擬。模型中輪齒嚙合剛度為含輪齒彎曲變形、剪切變形、軸向壓縮變形、赫茲接觸變形以及輪體變形的綜合時變嚙合剛度，誤差激勵為所研究的行星輪安裝孔周向位置誤差激勵。

圖2 典型2K-H直齒行星傳動平移- 扭轉耦合動力學模型Fig.2 Coupling dynamic model of translation and torsion of a 2K-H planetary gear train

典型2K-H直齒行星傳動的平移- 扭轉耦合動力學模型如圖2所示。圖2中：xn、yn(n=1，2，3，4)分別為以第n個行星輪安裝孔圓心為原點建立的系桿隨動坐標系橫軸和縱軸；kspn和csp分別為第n個行星輪和太陽輪的嚙合剛度和嚙合阻尼；krpn和crp分別為第n個行星輪和齒圈的嚙合剛度和嚙合阻尼；ksx、ksy、csx、csy分別為太陽輪在固定坐標系x軸和y軸方向的支撐剛度和支撐阻尼；kcx、kcy、ccx、ccy分別為系桿在固定坐標系x軸和y軸方向的支撐剛度和支撐阻尼；krx、kry、crx、cry分別為齒圈在固定坐標系x軸和y軸方向的支撐剛度和支撐阻尼；kp和cp分別為各行星輪系在其系桿隨動坐標系中縱橫軸方向的支撐剛度和支撐阻尼；ksu、kcu、kru、csu、ccu、cru分別為太陽輪、系桿和齒圈的扭轉剛度和扭轉阻尼；xs、xc、xr分別表示太陽輪、系桿和齒圈在x軸方向的振動位移；ys、yc、yr分別表示太陽輪、系桿和齒圈在y軸方向的振動位移。該模型中包含太陽輪、行星架、齒圈3個中心構件與4個行星輪共7個構件，每個構件均含有2個平動自由度和1個轉動自由度，故該行星輪系動力學模型共有21個自由度。基于拉格朗日原理，推導獲得的行星齒輪傳動平移- 扭轉耦合振動動力學運動微分方程[1]可表示為

(1)

行星架孔存在位置誤差時，外嚙合壓力角αsk、內嚙合壓力角αrk以及位置角λ2可由幾何關系(見圖3)推導得到，其計算表達式為

αsk=

(2)

(3)

(4)

式中：Rc為行星架的半徑；xP2和yP2為P2點在行星輪Ⅱ系桿隨動坐標系P1x2y2中的坐標值，可由計算行星架孔存在位置誤差時行星輪旋轉軸心位置得到，如圖3(b)所示。由幾何關系分析，可得P2的坐標：

xP2=Mpncosγ,
yP2=Mpnsinγ，

(5)

(6)

式中：〈,〉表示矢量間的角度；Mpn為P1P2矢量長度；φ為〈P1P2,xt〉；λ1為〈y,x〉。

圖3 行星輪安裝孔周向位置誤差對嚙合線位置、壓力角以及位置角的影響示意圖Fig.3 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on meshing line, pressure angle and location angle

圖4 行星輪安裝孔周向位置誤差對接觸線長度影響示意圖Fig.4 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on contact line length

行星輪安裝孔周向位置誤差對接觸線長度的影響如圖4所示。圖4中，A1B1和A2B2分別為行星輪理想位置和實際位置下與太陽輪的嚙合線，C1和C2分別為行星輪理想位置和實際位置下齒根圓與齒廓線的交點，D為太陽輪齒根圓與齒廓線的交點，EF表示行星輪安裝孔周向位置誤差導致的太陽輪- 行星輪輪齒間接觸線長度的變化量。通過幾何推導可得其計算式：

EF=A2B2-A2E-FB2，

(7)

A2B2=(Rbs+Rbp)tanαs，

(8)

式中：Rbs為太陽輪基圓半徑；Rbp為行星輪基圓半徑；

A2E=Rbp〈P2A2,P2C2〉=
Rbp(αsk-αs+λ1-λ2+β)，

(9)

β=〈P1A1,P1C1〉；

FB2=Rbs〈OsD,OsB2〉=
Rbs(αsk-αs+λ1-λ2+β′)，

(10)

β′=〈OsD,OsB1〉.

結合(7)式～(10)式，可得由行星輪安裝孔周向位置誤差引起的行星輪- 太陽輪嚙合線長度變化eesp：

eesp=EF=(Rbs+Rbp)(αs-αsk+
λ2-λ1+tanαsk-tanαs).

(11)

根據幾何關系推導，同樣可得到行星輪安裝孔周向位置誤差導致的齒圈- 行星輪嚙合線長度變化eerp：

eerp=(Rbr-Rbp)(αrk-αr+λ2-
λ1+tanαr-tanαrk)，

(12)

式中：Rbr為齒圈基圓半徑。

將行星輪安裝孔周向位置誤差引起的接觸線長度變化eejp(j=(s，r)，當j=s時表示太陽輪與行星輪嚙合的相關參數，當j=r時表示齒圈與行星輪嚙合的動態相關參數)作為輪齒嚙合的誤差激勵，耦合入典型2K-H直齒行星傳動的平移- 扭轉耦合動力學模型動態傳遞誤差δjn中。行星架孔存在位置誤差時，太陽輪- 行星輪和齒圈- 行星輪的動態傳遞誤差為

δjn=hfpi(δjn)((yj-yn)cosφjn-
(xj-xn)sinφjn+uj+δun-eejp)，

(13)

(14)

式中：xj和yj分別為太陽輪(j=s)或齒圈(j=r)在x軸方向和y軸方向的位移；xn、yn分別為第n個行星輪在x軸方向和y軸方向的位移；φjn=λ2-δαjk，當δ=1時表示太陽輪與行星輪嚙合，當δ=-1時表示齒圈與行星輪嚙合；hfpi為輪齒分離系數，用來表征在理論嚙合位置處，由于誤差等原因導致兩嚙合齒的嚙合線長度為負，即兩嚙合齒對未接觸上的現象。

行星輪安裝孔周向位置誤差對嚙合相位關系影響，如圖5所示。圖5中，K1為T1點在行星輪基圓上的鏡像點，K2為與K1點距離行星輪基圓齒厚tb弧長的點，K3為與K2點距離整數倍基圓齒距的點，N1M1和N2M2分別為行星輪理想位置下與太陽輪和齒圈的嚙合線，M′1和M′2分別為行星輪實際位置下與太陽輪和齒圈的嚙合線與該行星輪基圓的切點，Δθ2為行星輪Ⅱ理想位置和實際位置下逆時針周向位置角相位差，θ4為理想位置下行星輪Ⅳ逆時針周向位置角，Rbr為齒圈基圓半徑，Rar為齒圈齒頂圓半徑，Eq、Fq、Tq、Gq、Dq(q=1，2)分別表示行星輪與太陽輪(q=1)和齒圈(q=2)輪齒的嚙合狀態，Eq表示第2個齒開始進入嚙合，Fq表示第1個齒開始退出嚙合，Tq表示第2個齒在節點位置處嚙合，Gq表示第3個齒開始進入嚙合，Dq表示第2個齒開始退出嚙合。Parker等[2]在對行星輪系嚙合相位進行相關研究后提出：一般情況下，行星輪系嚙合相位分為兩部分，第1部分是不同行星輪- 太陽輪(或齒圈- 行星輪)的嚙合相位的差異計算；第2部分是同一行星輪與太陽輪(或齒圈)的嚙合相位差異計算[2]。

圖5 行星輪安裝孔周向位置誤差對嚙合相位影響示意圖Fig.5 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on meshing phase

因此，行星架孔存在位置誤差時，行星輪逆時針周向位置角會發生改變，其計算式為

(15)

式中：θn為正常情況下的行星輪逆時針周向位置角；P1nP2nx為行星輪安裝孔周向位置誤差的切向矢量長度，P1n為第n個行星輪安裝孔的理想位置，P2n為第n個行星輪安裝孔的實際位置，P2nx為矢量P1nP2n在第n個行星輪系桿隨動坐標系P1xnyn中xn軸方向的分量，如圖6所示。

圖6 行星輪安裝孔周向位置誤差徑向切向矢量分解示意圖Fig.6 Radial and tangential vector decompositions of circumferential position error of planet wheel mounting hole

行星架孔存在位置誤差時，不同行星輪- 太陽輪或齒圈- 行星輪的嚙合相位差異計算式為

(16)

式中：φsn為第n對太陽輪- 行星輪與第1對太陽輪- 行星輪的嚙合相位差，選定任意一對太陽輪- 行星輪為第1對輪輻φs1為0；φrn為第n對齒圈- 行星輪與第1對齒圈- 行星輪的嚙合相位差；zs、zr分別為太陽輪和內齒輪的齒數。

同一行星輪與太陽輪(或齒圈)的嚙合相位差異對于所有行星輪都是一致的，統一用φsr表示。φsr可以通過圖5中K1、K2、K3點的相對位置確定。

行星架孔存在位置誤差時，嚙合壓力角改變成為外嚙合壓力角αsk和內嚙合壓力角αrk，φsr改變為Δφsr，其計算式為

|Δφsr|=T2K3/Pbt=|E2K3-E2T2|/Pbt，

(17)

E2K3=Pbt-Pbt(dec(K2E2)/Pbt)，

(18)

E2A2=T1T2-E2T2-tb，

(19)

T1T2=Rbp(tanαsk+tanαrk)+Rbp(π-αsk-αrk)，

(20)

(21)

式中：Pbt為基圓齒距；tb為行星輪基圓齒厚。

將行星輪安裝孔周向位置誤差引起的嚙合相位變化Δφsn、Δφrn(i=1，2，3，4)以及Δφsr耦合入典型2K-H直齒行星傳動的平移- 扭轉耦合動力學模型的時變嚙合剛度矩陣Ke(t)中，進而將Ke(t)和動態傳遞誤差δjn輸入典型2K-H直齒行星傳動的平移- 扭轉耦合動力學模型中，采用MATLAB軟件對該動力學模型進行求解，最終獲取行星輪安裝孔周向位置誤差影響下的行星輪系動態響應。

3 仿真結果與討論

為驗證模型的正確性，仿真參數設置參照相關研究的實驗[11-13]，仿真參數如表1所示。本文選擇4階Runge-Kutta方法在MATLAB軟件中對系統振動微分方程進行求解，計算時間步長選擇10-6s，以保證計算的準確性。

表1 仿真輸入參數Tab.1 Simulation parameters

行星輪安裝孔周向位置誤差對嚙合剛度影響，如圖7(a)所示，其中ep2表示行星輪安裝孔周向位置誤差。該計算模型下，正常嚙合情況下行星輪Ⅱ-太陽輪的嚙合剛度大致在8×108N/m，且有著明顯的時變性，與圖7(b)所示相關研究一致[11-13]，從而驗證了模型的正確性。由圖7(a)可知，行星架孔存在位置誤差時，時變嚙合剛度在量級、曲線形狀上雖沒有明顯變化，但是在嚙合相位上出現了明顯變化，這一變化將會影響行星輪系的振動特性。

圖7 行星輪安裝孔周向位置誤差對嚙合剛度的影響Fig.7 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on meshing stiffness

行星輪安裝孔周向位置誤差對行星輪均載性能的影響，如圖8(a)～圖8(d)所示。由圖8可見，行星輪安裝孔周向位置誤差明顯影響了4個行星輪間的載荷分配，其中存在行星輪安裝孔周向位置誤差的行星輪Ⅱ以及其對應行星輪Ⅳ承受了更大載荷，這一現象在相關研究中[14-15]也被發現，如圖8(e)所示，驗證該建模方法的正確性。均載性能往往是行星輪系統正常工作最關鍵的因素，行星輪安裝孔周向位置誤差對行星輪系均載性能的影響會加大故障發生的可能性。

行星輪安裝孔周向位置誤差對傳遞誤差的影響，如圖9所示。圖9(a)所示為行星輪Ⅱ-太陽輪的動態傳遞誤差曲線；圖9(b)所示為行星輪Ⅱ-齒圈的動態傳遞誤差曲線。該計算模型下行星輪Ⅱ-太陽輪的動態傳遞誤差大致在10-5m量級，且有著明顯的周期時變特性。由圖9可知，行星架孔存在位置誤差時，行星輪Ⅱ-太陽輪和行星輪Ⅱ-齒圈的傳遞誤差均會明顯增加，相位上也有一定的偏移。傳遞誤差曲線很好地反映了系統的振動特性，行星輪安裝孔周向位置誤差不僅會明顯增大系統的振動幅度，還會改變系統的振動形式，增大系統故障的發生的可能性。

行星輪安裝孔周向位置誤差對行星輪Ⅱ在x軸方向位移時域頻域的影響，如圖10所示。圖10中fm為嚙合頻率，fc為行星架轉頻，圖10(a)為時域曲線分析，圖10(b)為頻域曲線分析。由圖10(a)可知，行星輪安裝孔周向位置誤差增加了行星輪Ⅱ在x軸方向的振動，且存在調制現象。由圖10(b)可知，行星架孔存在位置誤差時，嚙合頻率及其倍頻幅值均上升，在嚙合頻率及其倍頻左右均存在行星架轉頻的邊頻，可作為行星輪安裝孔周向位置誤差識別的依據。

圖8 行星輪安裝孔周向位置誤差對行星輪均載性能的影響Fig.8 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on load sharing ratio

圖9 行星輪安裝孔周向位置誤差對傳遞誤差的影響Fig.9 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on dynamic transmission error (DTE) of planetary gear set

圖10 行星輪安裝孔周向位置誤差對行星輪Ⅱ在x軸方向位移時域和頻域的影響Fig.10 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on dynamic response of planet wheel Ⅱ in both time domain and frequency domain

4 仿真結果實驗驗證

行星輪安裝孔周向位置誤差實驗臺如圖11所示。實驗臺由電機、行星齒輪箱、轉速轉矩傳感器、磁粉制動器、控制系統和數據采集系統組成。其中，電機為驅動端，電機通過聯軸器和行星齒輪箱輸入端聯接，輸出端通過彈性聯軸器和轉速轉矩傳感器聯接，磁粉制動器為負載端，控制系統通過RS485通訊卡控制變頻器，進而控制驅動電機轉速。另外，控制系統通過調節磁粉制動器的輸出電流改變磁粉制動器的加載力。實驗行星齒輪箱的主要設計參數如表2所示。

圖11 行星輪安裝孔周向位置誤差實驗臺Fig.11 Experimental setup of planetary gear set with circumferential position error of planet wheel mounting hole

行星輪安裝孔周向位置誤差實驗臺測點布置如圖12所示，共有5個加速度振動測點，測點A位于電機頂部，測點B位于太陽輪端軸承座上，測點G位于內齒圈上方齒輪箱處，測點H位于行星架端軸承座上，測點I位于行星架端行星齒輪箱處，測點I所測的加速度信號方向為軸向方向，實驗采用比利時魯文測試系統(LMS)，采樣頻率為20 480 Hz.

表2 實驗行星齒輪箱主要參數Tab.2 Design parameters of planetary gear box

圖12 實驗臺和采集系統示意圖Fig.12 Schematic diagram of experimental setup

圖12中太陽輪為輸入與電機相連，行星架為輸出與負載相連。當輸入轉速為600 r/min、行星輪存在100 um行星輪安裝孔周向位置誤差時，測點G的振動加速度響應時域圖和頻域圖如圖13所示。從圖13(a)中可以看出，振動加速度在-2g～2g范圍內波動；從圖13(b)中可以看出，嚙合頻率fm及其諧頻周圍存在大量的邊頻帶。對振動信號進行包絡解調分析，結果如圖14所示。由圖14可以發現，行星架轉頻率fc(2.441 Hz)及其倍頻為主要成分，表明圖13(b)中嚙合頻率的邊頻成分主要為行星架轉頻率，與仿真結果一致，從而驗證了理論模型的正確性。

圖13 振動信號時域和頻域圖Fig.13 Time domain waveforms and spectrum of test vibration signal

圖14 解調后頻譜圖Fig.14 Spectrum after demodulation

5 結論

本文針對行星輪安裝孔位置誤差激勵機理及響應特性不明問題，提出了一種包含行星輪安裝孔周向位置誤差的行星輪系動力學建模方法。利用該方法推導了行星輪安裝孔周向位置誤差與行星輪系輪齒嚙合線位置、壓力角和位置角之間的映射關系，獲得行星輪安裝孔周向位置誤差影響下的行星輪系動態響應。通過行星輪安裝孔周向位置誤差模擬實驗驗證了本文方法的正確性和有效性。得出主要結論如下：

1) 本文所考慮的行星輪安裝孔周向位置誤差會引起輪齒嚙合位置變化，即嚙合剛度發生相位偏移，但對齒輪嚙合剛度大小無明顯影響。

2) 行星輪安裝孔周向位置誤差將會導致不均載情況出現，在仿真的4個行星輪均勻分布情況下，具體表現為誤差孔行星輪和對稱行星輪(相位差為180°)承受更大載荷。

3) 行星輪安裝孔周向位置誤差導致行星輪系動態傳遞誤差變大，且有相位偏移現象出現。

4) 行星輪系振動響應變大且出現明顯的調制現象，調制頻率邊帶間隔等于行星架旋轉頻率。