基于扭擺的中低頻響應譜修正方法研究

惠安民，閆明，馮麟涵，楊寧

(1.沈陽工業大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110870；2.海軍研究院，北京 100161)

0 引言

實船或浮動平臺水下非接觸爆炸試驗是檢測艦艇及其艦載設備抗沖擊能力的重要試驗方法。試驗中需要準確測量沖擊響應譜，以標定被測試設備的沖擊環境。據國內外公開文獻報道，測量沖擊響應譜的方法,一般為通過實船水下非接觸爆炸測量沖擊時刻的加速度時間歷程，再應用Duhamel積分獲得沖擊響應譜[1-4]，但該方法很難獲取高質量的沖擊信號。究其原因，主要是加速度信號中含有的趨勢項誤差會使沖擊響應譜在中低頻段出現較明顯的失真現象，對艦艇抗沖擊設計產生較大誤導[5]。為從試驗數據中獲取較可靠的結果，諸多學者提出了各種數學修正方法。Grillo[6]提出基于最小二乘法和樣條擬合曲線法修正趨勢項誤差，其原理主要是對測量得到的加速度信號進行多次積分擬合再微分。Goebel等[7]、李海廣等[8]、于大鵬等[9]、李慧浩等[10]、梁兵等[11]分別依據經驗模態分解(EMD)法、低通濾波法、小波變換法等不同修正方法，對加速度的趨勢項誤差進行修正研究。但這些數學方法會引入主觀誤差，導致修正后的結果還需要其他手段進行驗證；除上述數學方法外，還可以通過給加速度傳感器加裝機械濾波器來修正沖擊響應譜測量時中低頻段出現的失真現象[3]，但該方法對沖擊響應譜的修正效果有限；或根據沖擊響應譜定義，應用中低頻彈簧振子和簧片儀對沖擊響應譜進行直接測量。但兩種設備都無法單獨完成測量工作。由于簧片儀自身結構特點，在測量低頻譜時位移響應較大，極易因根部應力過大產生斷裂現象，且測量過程中產生的響應值為多階模態疊加的總和，因此僅適用于5 Hz以上的測量工作[12]。而低頻彈簧振子在測量5 Hz以下低頻譜時，由于自身固有頻率低，彈簧拉伸、壓縮位移形變量過大、質量塊重等缺點，均不利于沖擊譜的修正工作。

本文針對趨勢項誤差的作用機理進行分析，提出一種扭擺模型用以修正沖擊響應譜中低頻段趨勢項誤差。對該扭擺進行縱向沖擊機沖擊試驗，并根據趨勢項誤差產生機理設計一種基于EMD與最小二乘法聯合修正趨勢項誤差的數學方法。分別對比彈簧振子、扭擺以及EMD與最小二乘法聯合修正方法的修正數據，驗證所提出的扭擺修正沖擊響應譜中低頻段的可行性。

1 沖擊響應譜簡介

圖1 沖擊響應譜模型Fig.1 Shock response spectrum model

Gaberson[15]為更加全面地反映沖擊信息，發明了一種對數四坐標沖擊譜繪制方法，將上述3種沖擊響應在同一個圖中表達出來，如圖2所示。圖2中：與縱軸呈+45°、-45°的線分別代表位移譜和加速度譜；對數四坐標系中的沖擊譜形似三折線，左側折線表示彈簧振子的極限譜位移，中間直線表示極限譜速度，右側折線表示極限譜加速度。依據三折線譜，只要確定設備的安裝頻率，即可以確定該安裝頻率設備在沖擊載荷作用下產生的最大相對位移D、相對速度v和絕對加速度a[16].

圖2 沖擊譜與三折線譜Fig.2 Shock spectrum and trilinear spectrum

2 趨勢項誤差對沖擊譜的作用機理與修正

2.1 趨勢項誤差的作用機理

在實際測量沖擊譜時，含有趨勢項誤差的加速度信號所積分得到的速度以及位移曲線在沖擊結束后，其數值并不歸0，甚至趨于無限大。這與艦艇在承受水下非接觸爆炸沖擊后，最終穩定靜止于水面，其速度值為0的事實并不相符。此時含有趨勢項的加速度信號繪制成的沖擊譜在低頻區的譜位移與譜速度高于正常值幾個數量級，呈現明顯的失真現象，對艦船的抗沖擊設計產生極其嚴重的誤導。沖擊譜在低頻區域的數值，一般取決于殘余沖擊響應譜[17]。殘余譜是指沖擊輸入結束后，系統自由振動階段的響應。由文獻[17-19]可知，單自由度彈簧- 質量- 阻尼系統的相對位移沖擊響應可由(1)式表示：

(1)

(2)

(3)

再假設單自由度的彈簧- 質量系統的阻尼為0，即有ξ=0，則(3)式可化簡為(4)式：

(4)

由三角函數性質，該方程可進一步化簡為(5)式：

(5)

式中：φ為相位角。

由此可求出此時的最大位移響應為

(6)

圖3 最大殘余位移響應ze、沖擊結束時刻速度響應對系統最大位移響應zmax的影響Fig.3 Effects of maximum residual displacement response ze and velocity response at the end of shock on system maximum displacement response zmax

2.2 趨勢項誤差的EMD與最小二乘法聯合修正方法

通過2.1節趨勢項誤差對沖擊譜作用機理的分析，可以為修正趨勢項誤差方法提供有效的理論根據，即消除趨勢項的同時，還要保證采樣結束時刻速度歸零。因此根據以上理論，本文設計一種基于EMD與最小二乘法的聯合修正方法。該修正方法經過多次擬合與數學變換，仍無法解決人為引入的主觀誤差，但在一定程度上可以驗證試驗結果的正確性。

EMD可把原始信號中的各種頻率成分以固有模態的函數形式，由高頻到低頻顯示出來[20-23]，如(7)式所示：

(7)

式中：x(t)表示原信號；cj(t)表示EMD得到的固有模態函數分量；r(t)表示殘余信號，通常代表原信號的趨勢或均值；N表示頻率成分個數。因此，對含有趨勢項誤差的信號進行EMD法分解，得到的殘余信號r(t)可以作為原信號中的趨勢項誤差。雖然該方法在消除趨勢項誤差方面很有優勢，但卻無法保證修正后的速度信號在采樣結束時刻的值為0 m/s，使得修正效果并不完美。因此，需要進一步對數據進行修正。最小二乘法是一種通過最小化誤差的平方和來尋找數據最佳的函數匹配方法，可以保證修正后的時域信號在采樣結束時刻數值為零，在趨勢向誤差修正中得到一定應用。因此，通過以EMD方法為主、最小二乘法進行二次修正的聯合修正方法，可以對趨勢項誤差進行較良好的修正。

3 扭擺模型

由于數學修正方法中的不確定性，工程上常采用彈簧振子與簧片儀直接修正由趨勢項誤差引起的中低頻沖擊響應譜的失真現象，并將修正結果與數學修正方法進行相互印證，以保證在中低頻范圍內得到較準確且完整的沖擊譜。但彈簧振子與簧片儀本身也有著局限性，如低頻彈簧振子體積、質量巨大，極不利于工程技術人員攜帶；而簧片儀雖然體積較小，但由于本身為懸臂梁結構，測量得到的數據為多階模態相互疊加的綜合響應，且在強沖擊環境下，固定端易發生破損、折斷等現象。

根據傳統中低頻沖擊測量裝置中存在的不足，本文提出一種用以測量沖擊譜的扭擺裝置(以下簡稱扭擺)。該扭擺在結構上與簧片儀相似，均為集中質量的懸臂梁結構，但扭擺為獲得更大的量程，改變簧片儀固定端完全約束的連接方式，改為鉸鏈連接方式，并在鉸鏈段加裝扭簧作為彈性元件。扭擺的工作原理為：扭擺鉸鏈與基礎剛性連接，當受到沖擊載荷的沖擊時，其集中質量的懸臂端以固定頻率圍繞鉸鏈開始往復振動。其中彈簧振子、簧片儀以及扭擺的原理圖如圖4所示。

圖4 彈簧振子、簧片儀以及扭擺的原理圖Fig.4 Schematic diagram of spring oscillater, reed gage and torsional pendulum

3.1 扭擺運動方程及其近似解析解

設旋轉中心到質量塊重心的距離為l，擺桿質量為MRod，扭簧剛度為kTP，其擺角為θ，扭擺原理圖如圖5所示。

圖5 扭擺的原理圖Fig.5 Schematic diagram of torsional pendulum

建立扭擺的運動微分方程為

(8)

式中：g為重力加速度。

引入sinθ的泰勒級數展開式，并取其中的前兩項代入原方程，可得(9)式：

(9)

對(9)式進行無因次化后，可得方程

(10)

對(10)式應用Ritz-Galerkin平均法求解其近似解析解，其解的形式為

(11)

式中：κ1，κ2，…，κn為待定的權系數；φ1(t)，φ2(t)，…，φn(t)為假定時間函數，n為正整數。假設上述微分方程的1階近似解為(12)式：

(12)

式中：A0為1階近似解的振幅；ω為1階近似解的角頻率。則(10)式可表述為

(13)

(14)

(13)式代入(14)式中并整理，可到非線性方程為

(15)

即扭擺非線性方程的解為

(16)

(16)式中，對于非平凡解而言A0≠0，故該方程的解可表示為

(17)

由(17)式可知，扭擺振幅A0是影響扭擺系統非線性的關鍵因素。在較小擺幅下，扭擺固有圓頻率穩定，且呈現弱非線性性質，線性性質較明顯。該段區域可以很好地應用于低頻段沖擊譜的修正工作中。但隨著沖擊輸入的增大，振幅A0超過一定限度后，扭擺系統進入強非線性區域，導致固有頻率隨著振幅而改變，此時修正低頻譜值不可信。為分析扭擺響應的近似線性范圍，本文進行如下沖擊試驗。

3.2 扭擺幾何參數與樣機

根據(17)式，設計固有頻率分別為6 Hz、10 Hz和20 Hz的扭擺，各扭擺的幾何參數如表1所示。

表1 扭擺樣機的幾何參數Tab.1 Geometric parameters of torsional pendulum

如圖6所示為20 Hz扭擺樣機圖。

圖6 20 Hz扭擺樣機圖Fig.6 20 Hz torsional pendulum prototype

4 彈簧振子與扭擺的沖擊試驗

由于扭擺受到沖擊后，其響應值為擺動角度，對沖擊譜而言，擺動角度并無實際物理意義。為分析扭擺對中低頻段沖擊響應譜的趨勢項誤差修正數據的可行性與可靠性，需先行分析相同沖擊條件下中低頻彈簧振子的最大位移響應與同頻率下扭擺的最大擺角響應間的關系，同時還可以驗證擺桿的近似線性擺角范圍。

4.1 沖擊試驗原理

沖擊試驗中，首先通過加速度傳感器測量彈簧振子與扭擺安裝基座的加速度信號，并通過位移傳感器直接獲取彈簧振子在沖擊過程中的最大位移響應。其次通過角位移傳感器測量沖擊過程中扭擺的最大角度響應，并建立彈簧振子最大位移響應與扭擺最大角度響應的函數關系。最后通過該函數關系，應用扭擺修正趨勢項誤差，與彈簧振子修正趨勢項誤差和EMD聯合最小二乘法修正趨勢項誤差進行對比。

4.2 沖擊試驗

沖擊試驗采用500 kg級垂向沖擊試驗機提供沖擊載荷，采用中國ECON公司生產的MI7016型16通道數據采集儀進行數據采集，采用中國東華公司生產的DH131E型壓電式加速度傳感器記錄彈簧振子的瞬時加速度變化，采用美國MTS公司生產的CS系列磁致非接觸型位移傳感器對彈簧振子的位移響應進行測量，采用中國Robo Brain公司生產的RB100LA型角位移傳感器對扭擺的擺角進行測量。如圖7所示為沖擊試驗圖。圖7中在沖擊臺面上還布置有加速度傳感器，用以測量沖擊臺的瞬時加速度變化量。

圖7 沖擊試驗圖Fig.7 Impact test

圖8 某次沖擊載荷加速度時域曲線波形Fig.8 Time domain wave forms of acceleration of a certain impact load

沖擊載荷是根據德國BV043/85沖擊標準推薦使用的組合半正弦波形沖擊載荷，該組合半正弦波為沖擊載荷的加速度時域曲線，分為正波和負波，正波波峰較高、脈寬較短，負波波峰較低、脈寬較長，且正波對時間積分的面積等于負波對時間積分的面積。圖8(a)所示為某次沖擊載荷與經帶通濾波后加速度時域曲線，圖8(b)所示為該沖擊載荷理論加載波形和經濾波后實際加載波形對比。圖8(b)中，a+為沖擊載荷加速度正弦正波峰值，a-為沖擊載荷加速度正弦負波峰值，t+為正波脈寬，t-為負波脈寬，v+為正波對時間積分的面積，v-為負波對時間積分的面積，該積分面積代表沖擊速度。

在該沖擊載荷下，彈簧振子與扭擺的響應如圖9所示，其中，圖9(a)為彈簧振子位移響應時域曲線，圖9(b)為扭擺擺角響應時域曲線。

圖9 沖擊載荷下彈簧振子與扭擺時域響應曲線Fig.9 Time domain response curves of spring oscillater and torsion pendulum under impact load

沖擊試驗臺液壓壓強由小逐漸增大，彈簧振子的最大沖擊位移響應與對應頻率下扭擺的最大擺角響應如圖10所示。通過觀察圖10中的數據點發現，二者在一定范圍內存在較良好的線性關系，因此基于最小二乘法，應用MATLAB軟件，計算得到擬合曲線的線性段關系式如表2所示。

圖10 彈簧振子最大位移響應與扭擺最大擺角響應的關系圖Fig.10 Relationship between the maximum displacement response of spring oscillater and the maximum swing angle response of torsional pendulum

通過圖10中擬合曲線可以看出，在扭擺擺角小于20.06°(0.35 rad)的范圍內，可以把扭擺的最大擺角響應轉化為沖擊譜中具有物理意義的彈簧振子最大位移響應，并對中低頻段的沖擊譜進行測量與修正工作，且固有頻率較高的扭擺保持線性區域的能力高于低頻扭擺。

4.3 扭擺修正沖擊譜趨勢項誤差

通過擬合出的線性段方程，可得到扭擺最大擺角響應與彈簧振子最大位移響應的關系。為驗證該關系的準確性以及扭擺修正中低頻沖擊譜方法的可行性，取上述試驗線性區間內彈簧振子、扭擺的測量值與沖擊臺臺面加速度，通過Duhamel積分獲得沖擊響應譜，將EMD和最小二乘法聯合修趨勢項誤差后的沖擊譜進行對比，如圖11所示。

表2 彈簧振子與扭擺最大響應關系擬合線性曲線Tab.2 Fitting curve of maximum response relationship between spring oscillator and torsional pendulum at sample point frequency

圖11 彈簧振子、扭擺與EMD和最小二乘法聯合修正中低頻沖擊譜圖Fig.11 Middle and low frequency impact spectra corrected by spring oscillater, torsional pendulum, EMD and least square method

通過圖11可以看出：EMD與最小二乘法聯合修正、扭擺對沖擊譜修正的結果，與彈簧振子對沖擊譜結果較相似，三者相互印證修正了結果的準確性；在小擺幅下扭擺對沖擊譜有較良好的修正與驗證作用。由于該沖擊臺臺面的橫向固有頻率約在2～3 Hz之間，修正后的數據在2～3 Hz間存在大于譜位移的現象。

5 結論

2)通過縱向沖擊臺沖擊試驗發現，本文提出的扭擺在采樣點分別為6 Hz、10 Hz和20 Hz條件下且保證扭擺擺桿振動幅度在0～20.06°范圍內，對中低頻沖擊譜的修正較合理，該修正數據通過與彈簧振子修正數據、EMD和最小二乘法聯合修正數據，可互相印證修正結果，同時也驗證了扭擺對修正中、低頻沖擊譜的可行性與準確性。