一類(lèi)含多個(gè)絕對(duì)值函數(shù)最小值問(wèn)題的研究

浙江省寧波效實(shí)中學(xué) (315012) 童益民

一、問(wèn)題的提出

問(wèn)題一已知函數(shù)f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|(a1≤a2≤…≤an,n∈N*)，如何求f(x)的最小值？

證明1：根據(jù)絕對(duì)值不等式|x-a|+|x-b|≥

|(x-a)-(x-b)|=|b-a|，若b≥a，則當(dāng)a≤x≤b時(shí)等號(hào)成立，可得:

證明2：設(shè)x∈(ai,ai+1)，則f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|=(x-a1+x-a2+…+x-ai)+(ai+1-x+ai+2-x+…+an-x)=ix-(n-i)x+(-a1-a2-…-ai+ai+1+ai+2+…+an)=(2i-n)x+(-a1-a2-…-ai+ai+1+ai+2+…+an).

問(wèn)題二對(duì)于函數(shù)f(x)=α1|x-β1|+

α2|x-β2|+…+αn|x-βn|，其中αi>0(i=1,2,…,n)，βi∈R(i=1,2,…,n)，且β1<β2<…<βn，問(wèn)x為何值時(shí)f(x)取得最小值？

根據(jù)結(jié)論1的證明思路，同樣可以得到結(jié)論2，證明略.

結(jié)論2 設(shè)α1+α2+…+αn=S，

二、問(wèn)題的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例1求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|+2|x-3|的最小值.

解：根據(jù)結(jié)論1或結(jié)論2，可得當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)取到最小值為f(3)=3.

例2 求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|+…+

|x-2019|的最小值.

例3 已知函數(shù)f(x)=|x-1|+2|x-2|+…+2019|x-2019|，問(wèn)f(x)何時(shí)取到最小值？

解1：根據(jù)結(jié)論1，f(x)=|x-1|+(|x-2|+|x-2|)+…+(|x-2019|+…+|x-2019|).

三、問(wèn)題的深度應(yīng)用

例4 已知等差數(shù)列{an}滿足|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=

|a1-1|+|a2-1|+…+|an-1|=98，則n的最大值為( ).

A.14B.13C.12D.11

解析：令函數(shù)f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|，不妨設(shè)d>0，所以a1

圖1

例5 已知等差數(shù)列{an}滿足|a1|+2|a2|+…+n|an|=|a1+1|+2|a2+1|+…+n|an+1|=|a1-1|+2|a2-1|+…+n|an-1|=M(n∈N*)，則實(shí)數(shù)M的最小值為.

解析：令函數(shù)f(x)=|x-a1|+2|x-a2|+…+

圖2

n|an|≥|a1|+2|a2|+3|a3|=-a1-2a2+3a3=4d≥8，所以M的最小值為8.

四、總結(jié)

本文研究了一類(lèi)含多個(gè)絕對(duì)值函數(shù)的最小值問(wèn)題，從問(wèn)題的提出到得出結(jié)論進(jìn)行證明，再進(jìn)行應(yīng)用，從簡(jiǎn)單的求最小值到根據(jù)函數(shù)圖象特點(diǎn)的拓展應(yīng)用，都需要對(duì)這一類(lèi)含多個(gè)絕對(duì)值函數(shù)有清楚的認(rèn)識(shí)和理解，有很多模擬試卷已出現(xiàn)這樣的題型，所以系統(tǒng)了解該類(lèi)問(wèn)題還是顯得很有必要，對(duì)靈活解題有很大的幫助.