對(duì)數(shù)公式大匯集及其證明、應(yīng)用

甘志國(guó)

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

一、對(duì)數(shù)公式大匯集及其證明

(1)對(duì)數(shù)的定義：ab=N?logaN=b.

(2)對(duì)數(shù)恒等式：logaab=b；alogaN=N(由定義中的兩個(gè)式子等量代換即得).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)——積、商、冪、方根的對(duì)數(shù)：

①loga(MN)=logaM+logaN；

③logaMn=nlogaM；

證明①由對(duì)數(shù)的定義知，即證

alogaM+logaN=MN.

這由第二個(gè)對(duì)數(shù)恒等式易證：

alogaM+logaN=alogaM·alogaN=MN.

②即證

這由①立得.

③由對(duì)數(shù)的定義知，即證

anlogaM=Mn.

證明如下：

anlogaM=(alogaM)n=Mn

④由③立得.

證明即證logxN=logxalogxN，也即證

xlogxalogaN=N.

證明如下：

xlogxalogaN=(xlogxa)logaN=alogaN=N.

(7)對(duì)數(shù)的同次冪公式：loganNn=logaN.

(9)對(duì)數(shù)的循環(huán)公式：loga1a2·loga2a3·…·logan-1an=loga1an.

(10)對(duì)數(shù)的重排公式：loga1b1·loga2b2·…·loganbn=1(其中a1,a2,…,an與b1,b2,…,bn這兩組數(shù)僅僅次序不同).

(6)～(10)均可由(5)證得，下面證明(10)：

(11)冪的換底公式：ab=xblogxa(由第二個(gè)對(duì)數(shù)恒等式易證).

注以上公式均在兩邊有意義時(shí)才能成立.

對(duì)數(shù)中有很多趣題，其中以對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用最多，比如后文例4的證法2.

二、對(duì)數(shù)公式的應(yīng)用

(6)lg2lg50+lg5lg20-2lg2lg5；

(9)(log25+log40.2)(log52+log250.5)；

解(1)a1+logab=a1·alogab=ab.

(6)lg2lg50+lg5lg20-2lg2lg5=lg2(lg5+1)+lg5(lg2+1)-2lg2ln5=lg2+lg5=1.

例2(1)若log147=a,log145=b，則log3528=____(用a,b表示)；

(2)若log83=a,log35=b，則lg5=____(用a,b表示).

(2)由題設(shè)，可得

例3(原創(chuàng)題)(1)若log303=a,log305=b，則log308=____(用a,b表示)；

(2)若log712=a,log1224=b，則log54168=____(用a,b表示)；

(3)若α=log1218,β=log2454，則αβ+5(α-β)=____.

解(1)3-3a-3b.由題設(shè)，可得

(3)1.由題設(shè)，可得

αβ+5(α-β)=1.

例4求證algb=blga.

證法1只需證lgalgb=lgblga.

由冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則知，即證lgblga=lgalgb.

而此式顯然成立，所以要證結(jié)論成立.

證法2只需證a=blga/lgb.

由對(duì)數(shù)的換底公式知，即證a=blogba.

這由對(duì)數(shù)恒等式，立知成立.所以要證結(jié)論成立.

還可把本題的結(jié)論推廣為alogxb=blogxa.

例5(原創(chuàng)題)甲、乙二人同解一道數(shù)學(xué)題：先求某個(gè)三位正整數(shù)的以2為底的對(duì)數(shù)，再把所得的結(jié)果減去另一個(gè)正整數(shù)b，最后求所得的差與b的商.甲在解題時(shí)把“以2為底”看成了“以3為底”而后進(jìn)行了正確的計(jì)算，乙計(jì)算出了正確的結(jié)果.當(dāng)兩人核對(duì)自己的計(jì)算結(jié)果時(shí)，發(fā)現(xiàn)他們所得的結(jié)果互為倒數(shù).根據(jù)這些信息，請(qǐng)求出這道題的正確答案.

解設(shè)這道題中的三位正整數(shù)是a，由題設(shè)，可得

(log2a-b)(log3a-b)=b2,

b(log2a+log3a)=log2alog3a,

b(loga2+loga3)=1,

bloga6=1,

a=6b(a,b∈N*,100≤a≤999).

再由63=216,64=1296，可得a=63=216,b=3，所以所求答案是