例談平面向量的數量積的應用

劉立強

(甘肅省康縣第一中學 746500)

平面向量的數量積是平面向量的重要內容，也是高考命題的一個熱點，主要考查平面向量數量積的運算、幾何意義、模與夾角、垂直等問題.下面舉例說明平面向量的數量積常見的幾種應用，供參考.

一、求向量的長度(模)

例1已知向量a、b、c兩兩所成的角相等，均為120°，且|a|=2，|b|=3，|c|=1，求向量a+b+c的長度.

點評根據題意先求|a+b+c|2的值是求|a+b+c|的關鍵.

二、求兩向量夾角

例2已知a，b是兩個非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，求a與a+b的夾角.

三、求解兩向量的垂直問題

例3已知|a|=5，|b|=4，且a與b的夾角為60°，則當k為何值時，向量ka-b與a+2b垂直？

分析利用向量垂直的充要條件(ka-b)·(a+2b)=0及數量積的運算性質展開，列出關于k的方程即可.

點評解決向量垂直問題常用向量數量積的性質a⊥b?a·b=0，這是一個重要性質，它把垂直問題轉化為代數計算問題.

四、判斷三角形的形狀

分析由已知條件可根據角來判斷三角形的形狀.

點評根據向量數量積的有關知識判斷平面圖形的形狀，關鍵是由已知條件建立數量積、向量的長度、向量的夾角等之間的關系.

五、求參數的取值范圍

分析根據向量a+λb與λa+b的夾角是銳角時，則有(a+λb)·(λa+b)>0且(a+λb)與(λa+b)不共線，列出關于λ的不等式即可.

六、證明平面幾何題