運用同構式 巧解數學問題

姜 磊

(江蘇省南京市板橋中學 210039)

一、不等式問題中的同構式

例1證明：當x>0時，恒有(ex-1)ln(x+1)>x2.

二、函數問題中的同構式

對于高中生而言函數問題一直是難點之一，那么除了常規的函數方法外，運用同構式解決函數問題也不失為一個不錯的選擇.

例2設f(x)=x(e2x-a)，若f(x)≥1+x+lnx恒成立，則實數a的取值范圍是多少？

三、解析幾何問題中的同構式

例3已知如圖1，A、B為拋物線C:y2=4x上的兩個點，且直線AB過定點(1,0)，現存在C外一點P，使得AP、BP的中點均在C上.(1)求點P的軌跡方程；(2)求S△PAB的取值范圍.

反思上述例題看上去似乎并沒有運用同構式的相關知識，但是實際上這是一道“類阿基米德三角形”問題，整體的運算過程是“同構”于阿基米德三角形性質的證明過程的，因此該題從本質上依然是一道同構式問題.

同構式是數學和諧美、對稱美的集中體現，其公式看起來簡單，但是想要合理運用卻很難，如果學生可以將同構式的相關知識在高中數學的解題中加以合理運用可以發現它不僅可以簡化運算，更可以理清思路，拓展思維.