構造雙偶數n = 4m階空間最完美幻立方的方法

詹 森，王輝豐

（1.廣東技術師范大學 計算機科學系，廣東 廣州 510665；2.海南師范大學 數學與統計學院，海南 海口 571158）

文獻[1-5]討論了關于空間幻立方的問題，其中文獻[1]給出SCE雙偶數階空間中心對稱幻立方的構造方法。在此基礎上，本研究將文獻[5]給出的在平面上構造最完美幻方推廣到構造空間最完美幻立方，進而討論雙偶數n = 4m（m為正整數）階空間最完美幻立方的構造方法。

空間最完美幻立方[2，4]的定義如下。

本研究中相關方陣元素的記號與文獻[1]的a(k,i,j)、b(k,i,j)、d(k,i,j)、e(k,i,j)等相同，再在其相關記號的頂端加*號，如基方陣、元素a*(k,i,j)。

1 構造n = 4m(m為正整數) 階空間最完美幻立方的步驟

2 定理及證明

定理 立方陣D*是一個雙偶數n = 4m(m為正整數)階空間最完美幻立方。

證明 分4步證明如下。

所以，立方陣D*的4條空間對角線及與其同方向的泛對角線上相隔2m個位置的兩個數字是對稱的，從而其上n個數字之和都等于幻立方常數。

第三步 每個截面可分割成4個2m × 2m的正方形，在每個正方形內中任意選取一個2 × 2小正方形(包括跨邊界的小正方形)，其中4個數字之和都等于2(1+ n3)。

第四步 證立方陣D*的n2條縱列上n個數字之和都等于幻立方常數。

分如下4種情況計算。

（1）當k = 1,2,…,2m，i = 1，j = 1,2,…,2m時，

對k = 2h + 1，h = 0,1,…,m - 1，有

j = 2s+ 1，s= 0,1,…,m - 1，有

得到

對k = 2h + 1，h = 0,1,…,m - 1，j = 2s，s= 1,2,…,m，有

得到

對k = 2h，h = 1,2,…,m，有

j = 2s+ 1，s= 0,1,…,m - 1，有

得到

對k = 2h，h = 1,2,…,m，j = 2s，s= 1,2,…,m，有

得到

（2）當h = 2m + 1,2m + 2,…,4m，i = 1，j = 1,2,…,2m時，