各向異性電介質無界域泊松方程的定解問題

李文略

（嶺南師范學院 基礎教育學院，廣東 湛江 524037）

陳燊年等系統研究了介質為各向異性（限于有且只有3個正交主軸方向的電介質）的電磁場，由各向異性電介質靜電場的基本方程出發，導出靜電勢所滿足的泊松方程，寫出泊松方程的δ函數形式，并引進分離變量法研究各向異性電介質中有限域拉普拉斯方程的定解問題[1-2]。文獻[3-8]由泊松方程出發，應用分離變量法、傅里葉變換法、格林函數法求解各向異性電介質有界域或無界域的定解問題。本研究擬由泊松方程的δ函數形式出發，應用聯合積分變換法求解點電荷在無限大導體平面上方的各向異性電介質中激發的電勢分布，以期為數學方法在各向異性電介質中無界域泊松方程定解問題研究中的應用提供補充。

1 各向異性電介質無界域泊松方程定解問題的確定

2 應用聯合積分變換法求解無界域泊松方程的定解問題

泛定方程的等號右邊計算為

第二類邊界條件為

于是，式（2）寫為

由求得的電勢分布式（23）和（24）可知，電勢分布是以分段的形式寫出的，點電荷激發的電場線一部分會終止于導體的平面，另一部分會終止在x3→+∞的地方，電勢分布結果符合判斷預期。

3 結語

陳燊年等從各向異性電介質中靜電場的3個基本方程出發，在引入靜電勢的基礎上推導出各向異性電介質泊松方程的δ函數形式，但未對δ函數形式表示的泊松方程的應用作深入研究[1]。由本研究可知，各向異性電介質泊松方程的δ函數形式在研究各向異性電介質無界域泊松方程的定解問題時有很好的應用。將各向異性電介質主軸坐標系下泊松方程的定解問題式（1）通過變量代換轉化為電各向異性坐標系下泊松方程的定解問題式（2）是研究中常用的技巧方法[1]；當無界域范圍為( - ∞,+ ∞)和(0,+ ∞)或( - ∞,0)同時出現時，應用聯合積分變換法能較好地求解該類無界域泊松方程的定解問題，由求得的結果式（23）、（24）亦可知，應用聯合積分變化法求得的解往往是積分形式解，該解表示為傅里葉卷積或拉普拉斯卷積。