基于多塊體的非對稱雙層臨坡地基上限承載力

楊博銘

摘 ? 要：為進一步解決條形基礎荷載作用下雙層臨坡地基的承載力和穩定性問題，對現有研究成果進行對比分析，并對其假設的合理性進行判斷，根據臨坡地基破壞模式的非對稱性的基本特征，考慮到雙層地基分層界面處速度的間斷性，采用一種新的多滑塊模式來構建其破壞模型. 根據速度相容關系、速度三角形閉合條件確定該模型的相容速度場. 引入極限分析法的上限分析理論，推導條形基礎非對稱雙層臨坡地基上限承載力的計算公式. 采用MATLAB二次規劃算法的優化計算方法對雙層臨坡地基的上限承載力進行優化求解. 最后通過工程算例來驗證理論公式的合理性，并與現有研究方法以及軟件計算結果進行對比，證明了本文方法的可行性.

關鍵詞：極限承載力;雙層地基;臨坡地基;非對稱破壞模式

中圖分類號：U443.15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

Abstract：In order to solve the problems of bearing capacity and stability for the double-layer slope foundation under the load of the strip foundation，this paper compared and analyzed the previous research results，and judges the rationality of its hypothesis. According to the basic characteristics of the asymmetry of the failure mode of the slope foundation and considering the velocity inequality at the stratified interface of the double-layer foundation， a new multi-slider failure mode was used to build its destruction mode. The compatibility velocity field was determined according to the speed-compatible relation and velocity triangle closure condition. At the same time，the upper limit analysis theory of the limit analysis method was introduced to derive the calculation formula of the upper limit bearing capacity of the asymmetric double-layer slope foundation of the strip foundation. The optimization calculation method of the secondary planning algorithm in MATLAB was used to optimize and solve the upper limit bearing capacity of double-layer slope foundation. Finally，the engineering examples was used to verify the rationality of the proposed method， and compared with the existing research methods and the results of the software calculation，proving the feasibility of the method used in this paper.

Key words：ultimate bearing capacity;double layered foundation;slope foundation;asymmetric failure mode

臨坡地基承載力，既可看作地基極限承載力問題，也可看作邊坡整體穩定性問題. 臨坡地基與水平地基的區別在于：臨坡地基的承載力受到坡體的幾何特性以及邊坡土體的物理力學性質的共同影響和制約. 因此推導能綜合考慮臨坡地基影響因素的承載力計算方法是解決工程實際問題的有效途徑.

目前，在進行臨坡地基設計時，沒有相關規范可以參考，絕大多數工程問題都是采用在水平地基極限承載力公式的基礎上乘以一個修正系數的方法[1]. 這樣的經驗計算方法的可靠性、合理性以及經濟性在一定程度上很難實現定量把控[2-3].關于臨坡地基極限承載力研究，可分為以下三類：第一類是在平地地基的基礎上進行研究[4-6]，考慮坡面傾斜系數來進行折減修正，其計算簡單，力學理論清晰明了，但是折減系數的確定沒有理論公式支持，僅根據經驗取值，缺乏一定的科學性. 第二類就是直接以臨坡坡體為研究對象，充分考慮其破壞模式的非對稱性，但是其理論基礎還是固體介質力學，這樣導致計算結果與工程實際存在一定差距[7-8].第三類就是通過實驗來處理工程問題[9-11].雖然實驗的結果與工程實際更加接近，但是造價以及時間成本是制約其發展的主要因素. 上述極限承載力計算方法，在工程應用中計算值可能過于保守，造成浪費，或者因承載力不足而導致工程事故. 綜上，完善臨坡地基設計理論、計算方法，在保證建筑物安全的前提下，優化工程設計參數、降低工程造價具有重要的經濟效益和社會效益.

在臨坡地基破壞機理、破壞模式研究方面，Kusakabe等[12]、Mizuno等[13]認為臨坡地基單側破壞模式的破壞機構由3個滑塊組成，即基礎下的三角形主動破壞區、中間過渡區和被動滑塊區，且認為基礎底下的主動區為對稱的三角形. 但是，對于中間過渡區，不同學者又有不同的觀點，Kusakabe認為是對數螺旋線而Castelli等認為是圓弧滑動面并延伸到坡面[14];對于主動破壞區，王曉謀等[15]利用有限元法提出基礎底下的彈性區應為不對稱的三角形. 同時魏學勇等[16]還提出應該考慮基礎內側土體應力分布對基礎承載力的影響.

對于非均質的臨坡地基承載力的研究，部分學者給出了相應的研究方法. 胡衛東等[17]考慮了臨坡地基的分層性以及非對稱性，但是沒有考慮到內摩擦角對臨坡地基承載力的影響，也沒有考慮基礎與土體之間的相對滑動對承載力的影響;秦會來等[18]考慮了地基的分層特性，但其計算方法是基于水平地基的. 因此，本文在條形基礎荷載作用下，將多塊體理論運用于臨坡地基，考慮臨坡地基破壞模式的非對稱性與地基土體的成層性，同時考慮了土層分層界面處上、下土層的速度間斷性，以及基礎與土體之間的相對滑動，來建立臨坡地基的多塊體破壞模型及其相應允許的速度矢量場. 引入極限分析理論，推導了非對稱雙層臨坡地基上限承載力計算方法.

1 ? 臨坡雙層地基破壞模式的確定

1.1 ? 多塊體上限分析法

在本文計算模型中，外力功的功率應包括：重力功的功率、基礎傳遞荷載功的功率和考慮埋深的超載功率;對應的內能耗散的功率應包括：塊體間速度間斷面的內能耗散率和基礎底面摩擦消耗的內能.

1.2 ? 雙層臨坡地基中多塊體上限法的破壞模式

破壞模式決定了相容速度場的分布從而決定了內能耗散率. 相比于雙側破壞模式，單側破壞模式計算臨坡地基承載力偏于安全，且與工程實際更加接近. 為了能夠充分體現分層界面處速度的間斷性，本文采用如圖1所示的破壞模式，并建立如圖1所示的坐標系：基礎中心點O為坐標原點，水平向右、豎直向下分別為x軸、y軸正方向.

如圖1所示，根據臨坡地基單側破壞機理，破壞模式由n個剛性三角形組成. 為便于敘述，分別做如下規定：滑動面記為A123456…n，沿著滑動面上的節點1、2、…、n記為外部節點;外部節點與坐標原點相連的線段稱為主斜線（如O71）;水平地層分界線與主斜線的交點用n+1、n+2、2n來標記，記為內部節點;條塊標示用①②③…表示，條形基礎正下方的三角形條塊為條塊①;連接主斜線的線段稱為輔斜線（如72）;位于滑裂面上的輔斜線稱為底輔斜線（如12）;滑動面上的n個大三角形（△O12、△O23…）以原點為頂角，且頂角分別設定為α1、α2、α3…;底輔斜線與豎直線的夾角（順時針）為β1、β2、β3…;破壞面上的底輔斜線長為c1、c2、c3…;輔斜線長為p1、p2、p3;主斜線長為l1、l2、l3.

在圖1中，對于水平層狀土，若主斜線li位于兩層土中則其長度li = lsi + lxi，其中lsi、lxi分別表示位于上層土的長度和位于下層土的長度. 大三角形被輔斜線分為兩個三角形，三角形編號如圖1所示，三角形的面積分別表示為S1、S2、S3… . 土層分界線將偶數編號的三角形面積分為上、下層土的面積之和即Si = Ssi + Sxri，其中Ssi為上層土中三角形的面積，Sxri為下層土中的面積. 編號為奇數的三角形都位于下層土中，Si = Sxli. 下層土中四邊形面積被輔斜線分為左右兩個三角形，分別用Sxli、Sxri表示其面積.

1.3 ? 幾何參數的求解

已知條件：條形基礎的寬度d、基礎外沿距坡頂距離l=ad（a為距離比系數）、可變參量αi和βi、上層黏土的厚度h. 根據圖1所示幾何關系，可分別求出其他幾何參數.

2 ? 機動允許速度矢量場的確定

2.1 ? 基本假定

根據條形基礎下的臨坡地基的幾何參數，以及本文研究的具體情況，在確定臨坡雙層非對稱地基承載力上限值所允許的速度矢量時，做如下假定：

1）土體服從Mohr-Coulomb屈服準則以及相關流動法則;

2）考慮條形基礎基底和土體的相對滑動，其外摩擦角為δ;

3）基礎在上部荷載作用下向下做垂直運動;

4）土層分界面為水平向.

2.2 ? 速度的確定

根據假設以及速度相容原理，求得各滑塊的速度以及間斷面的速度.

1）根據圖2所示速度關系，在條形基礎下方的三角形滑塊的速度以及間斷面的速度見式（23）.

要使臨坡地基取得極限承載力Qu的最小值，只有當地基處于極限狀態，即式（56）取最小值. 利用Matlab編程計算可獲得承載力的目標函數表達式，即將問題轉化為約束非線性規劃問題. 對式（56）進行優化求解必須滿足式（22）的約束條件，本文采用序列二次規劃算法（SQP）. SQP非線性優化算法是利用目標函數和約束條件構造增廣目標函數，借此將約束最優化問題轉化為無約束最優化問題，然后利用求解無約束最優化問題方法間接求解新目標函數的局部最優解問題，此方法既適合高度非線性問題，也具有較快的運算速度[22-24].

5 ? 工程算例計算與分析

為了驗證本文關于非對稱雙層臨坡地基上限承載力計算方法的合理性，結合具體工程案例進行分析，并與相關的分析方法、軟件計算結果進行對比. 驗證的具體情況如下.

5.1 ? 算例1

采用文獻[17]中的計算案例：某臨坡條形基礎雙層地基，基礎埋深H = 1.0 m，持力層范圍內兩層飽和黏土. 土體相關計算參數詳見文獻[17]. 基礎外邊緣到基礎坡頂的距離l = a × b，其中a為距離比例系數，a = 1，邊坡坡角η = 20°.

5.1.1 ? 計算結果對比分析

文中還采用有限差分軟件（FLAC-3D）對工程案例1的非對稱臨坡地基進行數值計算. 在分析過程中按平面應變問題處理，材料參數：E = 45 × 103 ?kPa，ν = 0.3. 土體的本構模型服從Mohr-Coulomb屈服準則. 圖5為分級加載的荷載-位移曲線，每一級荷載為10 kPa.

圖5所示為FLAC模擬的分級加載的荷載-位移曲線，可以看到，當加載到110 kPa時位移呈極速下降的狀態，通過觀察塑性區可看出，此時塑性區已經貫通. 而文獻[17]中采用Abaqus得到的荷載-位移曲線得出破壞荷載也應該在110 kPa左右，此時荷載-位移曲線已經處于快速下降階段，在文獻[17]中作者的取值有些偏大.

數值模擬結果表明，案例1中的雙層地基加載到Qu = 110 kPa時臨坡地基發生了破壞. 文獻[17]的理論計算方法所得地基極限承載力Qu = 128.6 kPa，本文所得地基極限承載力Qu = 125.9 kPa，兩者的計算結果與數值分析結果都很接近，很明顯本文結果更加接近數值分析結果. 在多滑塊體分析模型中，塊體劃分得越細其計算值就越精確，本文的塊體劃分比文獻[17]中的塊體數量少了一半，但計算結果比文獻[17]中的計算值更加接近于數值分析結果，因此本文的分析方法可行且效率更高.

5.1.2 ? 參數分析與討論

分層地基的承載力一般會受到土層性質、土層厚度的影響. 通常，下臥軟弱土層都對基礎承載力有不利影響. 為了探討上、下層土的強度參數以及幾何尺寸對基礎的極限承載力的影響規律，下文通過改變案例1中的下臥層土的黏聚力，其他參數保持不變，來分析土體強度參數的改變對承載力的影響;在保持強度參數不變的情況下改變上層土體的厚度來分析土層厚度對承載力的影響.

圖6所示為在不同的上層土體厚度情況下，土體黏聚力對承載力的影響曲線. 由圖6可知：隨著下層土體黏聚力的增加，臨坡條形地基的承載力上限值也逐漸增加且增加速度越來越快. 在上層土厚度不同的情況下，上、下層土體強度差距越小，其地基的承載力也就越接近，這與事實相符. 當上、下層土體強度逐漸接近時，不管上層土的厚度是多少，其地基承載力趨近于同一個值，即接近于均質地基承載力.

圖7所示為臨坡條形基礎的上限承載力與上層土厚度的關系，圖中給出了上、下土層不同黏聚力的承載力隨著上層土的厚度變化的關系. 當兩層土體強度相差不是很大時，隨著上層土厚度的增加，地基承載力也增加. 當土層厚達4 m左右時，承載力不再受黏聚力比的影響，即轉化為單層土體的地基承載力形式. 兩層土體的強度差異很大時，其承載力依然隨著厚度增加而增加.

5.2 ? 算例2

為進一步驗證本文計算理論的正確性和合理性，下面采用不分層的臨坡地基來計算地基上限承載力. 一臨坡地基，基礎寬b = 2 mm，坡頂距比a = 0，基礎埋深2 m，重度γ = 18 kN/m3，內摩擦角φ = π/6，黏聚力C = 20 kPa，坡角η = π/9. 計算結果和文獻[17，25-26]計算結果對比見表2.

算例2是非成層地基，而本文計算方法主要針對分層地基，但是本文計算方法可以退化為均勻地基來計算臨坡地基的承載力上限值. 計算結果與其他3種理論計算方法對比表明：本文采用較少的計算單元（10個計算單元）獲得了與其他文獻相近的承載力值. 綜上，本文采用較少的單元劃分，得到較好的計算結果，證明了本文采用的破壞模式是合理、有效的.

6 ? 結 ? 論

本文綜合考慮了地基的分層性、破壞的非對稱性、基礎與土體的摩擦作用、地基埋深、基礎外緣與坡頂距離等對臨坡地基承載力的影響. 采用一種新的多滑塊模式來構建其破壞模式并根據速度相容的關系、速度三角形閉合條件確定該模型的相容速度場，同時采用極限分析法的上限分析理論來推導雙層臨坡地基上限承載力的計算公式. 最后，通過兩個算例，分別與數值分析結果和理論計算結果對比，證明了本文計算方法的合理性，并進行參數分析，得出如下結論：

1）隨著下層土體黏聚力的增加，臨坡條形地基承載力上限值也逐漸增加且增加得越來越快.

2）當兩層土體強度相差不是很大時，隨著上層土厚度的增加，地基承載力也增加. 當土層厚達4 m左右時，承載力不再受黏聚力比的影響，即轉化為單層土體的地基承載力形式. 兩層土體的強度差異很大時，其承載力依然隨著厚度增加而增加.

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