數形結合在初中數學解題中的應用

江蘇省南通市通州區金郊初中 嚴 霞

數學主要研究空間圖像與數量關系，是一個能將自然規律與社會規律相整合的特殊語言與工具。在初中數學解題教學中，“數”具有運算屬性和精確性，“形”有整體性與直觀性，數形結合是運用數量和圖像的特有關系，把數量和圖像相互轉化，達到由復雜變簡單、由模糊變實際、由抽象變具體的目的，幫助學生更快、更準確地解題，增強他們的學習自信。

一、以形助數——應用直觀圖形理解數量關系

在初中數學課程教學中，部分數量關系較為抽象，學生難以理解和把握，圖形不僅具有直觀形象的特點，還有幾何方面有序性與整體性的特征，能將具體思維表現出來，在分析和處理問題時起著重要作用。因此，初中數學教師在具體的解題教學中，應引領學生找到數量所對應圖形，巧妙地將數量問題轉變為圖形問題，使其通過分析與推理圖形直觀地解決數量問題，如利用數軸、函數圖像等均能達到以形助數的目的，幫助他們快速理清解題思路。

如在開展“一次函數、一元一次方程和一元一次不等式”教學時，教師設計題目：先畫出一次函數y＝3x－6 的圖像，學生觀察圖像解決問題：當x取何值時，3x－6 ＝0，3x－6 ＞0，3x－6 ＜0，3x－6 ＞4？

解析：學生根據函數圖像能夠發現直線y＝3x－6 同x軸的交點橫坐標即為方程3x－6 ＝0 的解，他們能輕松求出x＝3；直線y＝3x－6 在x軸上方的圖像即為y＞0，在x軸下方的圖像則為y＜0，以及在直線y＝4 上面的圖像是y＞4，這些所有點的橫坐標就是所求x的取值范圍。

反思：在解決這道題目時，教師需指引學生把數量轉變為圖形，借助圖形找到數量關系，使其在直觀的平面直角坐標系輔助下快速求出正確答案。

針對上述案例，在形象的圖形中，學生能夠清晰明了地看到數量關系，使其嘗試利用一次函數圖像求解一元一次方程與一元一次不等式題目，感受到數形結合思想的實用性。

二、以數解形——運用數量關系揭示圖形性質

在初中數學教學過程中，雖然圖形具有直觀、形象的優勢特征，不過也有表達不便、煩瑣與粗略等不足，以至于在定量方面離不開代數計算的輔助。尤其是對于較為復雜的幾何圖形，學生在解題時不僅需要將圖形正確數量化，還應當認真、仔細地觀察圖形特點，善于挖掘出幾何圖形中的隱含條件，然后借助圖形的幾何意義或性質，使其將圖形準確地表示為數量形式，實現化難為易的目標，最終在以數解形導向下運用數量關系揭示出圖形的性質。

在上述案例中，雖然題目難度不大，圖形也較為簡單，但是學生難以準確確定數量和圖形之間所對應的關系，只有通過計算數值才能夠找到處理圖形的方法，以此求得正確答案。

三、數形互助——數量關系圖形性質有機結合

初中數學研究的對象主要分為數量與圖形兩大類別，兩者之間是有密切聯系的，能相互轉換。在解題教學中，初中數學教師要幫助學生掌握數形互助的解題方法，原因在于部分數學題目較為復雜，并非簡單的以形助數或以數解形，而是要數量和圖形之間相互變換，既要想到由直觀的圖形轉變為嚴密的數量，還需由嚴密的數量轉變為直觀的圖形，使其從已知條件與結論同步切入，仔細分析找出題目中內在的數形互助關系，從而有效解決題目。

比如，在《二次函數的圖像和性質》教學實踐中，教師出示題目：已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像如下圖所示，那么下列結論中正確的是：（1）a＋b＋c＜0；（2）a－b＋c＞0；（3）abc＞0；（4）b＝2a。

解析：圖形作為一種特殊的數學語言，可以有效呈現一些代數式中的數量關系，通過觀察圖形往往能得出部分算式。此時，學生需從數量和圖形兩個角度同時思考，兩者實時轉換，他們發現：當自變量x＝1 時，函數值y＜0，當自變量x＝－1 時，y＞0，所以前兩個結論是正確的；再結合函數圖像開口方向向下，對稱軸為直線x＝－1，頂點位置在第二象限，能得到a，b，c的數量關系，判斷后兩個結論也正確。

上述案例，學生從數形兩個方面展開同步思考，使其根據數量關系研究圖形特征，再根據圖形特征引出數量關系，通過數形的互助作用解答題目，讓他們體會到數形結合的奇妙。

總而言之，數與形貫穿于整個初中數學教學，教師需高度重視這兩者之間的關系，指引學生有效應用數學結合思想來解題，使其將問題變得更為精確化、簡單化和具體化，借此拓展他們的思維空間，使其快速找到恰當的解題思路與方法。