深刻理解平均數，讓學習深度發生
——人教版數學四年級下冊“平均數”的教學思考與實踐

浙江杭州市蕭山區夾灶小學 李國良

“平均數”是人教版數學四年級下冊的教學內容，平均數是統計學中最常用的統計量，也是統計與概率中一個重要的知識點。數學課程標準指出：統計與概率領域要讓學生經歷數據的收集、整理和分析過程，掌握一些簡單的數據處理技能，進一步認識到數據中蘊含的信息，發展數據分析觀念。這給教師教學“平均數”這一知識點提供了啟示，不僅要讓學生體會平均數的作用、能計算平均數，還要感悟到平均數能刻畫一組數據的集中趨勢，是比較不同組數據的一個指標。

一、教材內容分析

人教版數學四年級下冊“平均數”這一知識點安排了兩個課時（新授課+練習課），編排了兩個例題。我們發現，例1通過四個小朋友收集礦泉水瓶的生活事例，解決“平均每人收集了幾個礦泉水瓶？”的問題，讓學生初步掌握運用移多補少和用算式方法來求平均數；例2通過兩組踢毽子的數據讓學生分別求出平均數并進行比較，重點讓學生體會平均數可以反映一組數據的集中情況和區別不同數據組間的總體情況。

筆者認為，這樣安排雖符合“平均數”概念的認知過程，即“是什么→怎么得到→有什么用”，但例1通過礦泉水數量間的“移多補少”及計算來定義平均數的概念顯得單薄，它讓學生感受更多的是平均分，而“13就是這4個數的平均數”讓學生感受更多的是計算，沒有深刻反映一組數的總體趨勢。其實，平均數在生活中是有原型的，如“小紅踢了5次毽子，找出最能代表小紅踢毽子水平的數”，這里“不多不少”的那個數就是這5次踢毽子的平均數。學生對這樣的生活場景很熟悉，他們可以用自己的表達方式來理解平均數，自然也就容易感受到平均數是什么了。

二、名師課堂賞析

“平均數”作為統計與概率中的一節典型課，許多專家和教師對其進行了多次的演繹，我們可以從他們的教學思想與理念中尋求合理的教學方法，其中吳正憲、張齊華、俞正強三位著名特級教師的課較為經典，梳理后的教學流程見表1：

表1 三位名師課堂教學流程匯總表

仔細分析三位專家的課堂，發現有兩個明顯的特點：一是三節課均把平均數的意義、特點作為教學重點來開展；二是均運用了移多補少的方法來揭示平均數的產生，淡化了用計算方法來得出平均數。針對三位專家的課堂及教材分析，筆者有一些淺顯的想法：

1.對眾數知識點滲透的思考

先前教材分析中“踢毽子”的素材與俞正強老師的“跑步計時”素材有相似之處，一個是“不多不少”，一個是“不快不慢”，兩者均容易讓學生感受到平均數是什么。筆者還觀察到在數據的選擇上俞正強老師把眾數（14）也安排其中，我們認為，這一編排存在一定爭議，因為在現實生活中，眾數往往反映一組數據的集中趨勢，是真實存在的，這與平均數代表“一組數據的集中水平”相混淆，學生不容易把兩者區分開來，而課堂上學生的表現也證實了這一觀點。

2.對統計圖教學策略的思考

平均數的“變化”特征有兩個：一是容易受極端數據的影響；二是平均數介于最大值和最小值之間。張齊華老師在課堂上通過計算（4,6,5,5）和（4,6,5,9）這兩組數據，發現平均數發生了變化，再觀察兩個統計圖，從而得出“平均數容易受極端數據影響”的結論。

筆者認為，這一環節還可以更加精致一些，如果能在統計圖中描畫出“平均數的水平線”，學生更能直觀感知9這個數據在這組數中的影響，同時，還可以通過課件演示“平均數的水平線”隨著某一個數據的變化而變化這一動態過程，進一步讓學生體會到平均數的變化區間，幫助其理解意義。

三、學生認知解析

基于對教材和名師課堂的分析，筆者覺得有必要對學生的認知水平做一個原始的調查，便于準確了解學生對平均數知識的認知情況。

1.調查對象及方法

為使調查更具有全面性和真實性，我們選取了城區與鎮屬小學各兩個班的學生，采用無記名、閉卷、無暗示的形式進行，共發放及回收調查卷117份。

2.調查內容分層次剖析

本次調查設4個小題，根據每一問題的回答情況進行了認知水平分級統計，具體見表2～5：

表2 對平均數意義的理解程度

表3 對平均數計算方法的掌握情況

表4 對平均數虛擬性的理解程度

表5 對平均數統計價值的理解能力

在對上述4個題目分層次分析后，我們認為學生的認知水平主要存在兩個問題：

一是平均分與平均數的意義混淆。平均數是在理解平均分及除法運算含義的基礎上進行教學，從調查卷第2題發現大部分學生會算平均數，但更多的是停留在平均分上，筆者對第1題中水平2的部分學生進行了談話了解，進一步證實了這個觀點。

二是對平均數的特征缺乏認知。對比表3與表4我們可以發現，學生對平均數問題的解決要遠遠好于對平均數特征的理解，第2小題就是解決求平均數問題，而第3小題屬于統計中的“問題解決”，并不需要學生計算，更側重理解，對學生來說有一定困難。

四、教學實踐評析

基于對認知基礎的調查與分析，我們認為在教學中要著重落實兩個問題：一是引出并揭示平均數的意義要用合理化的素材，可以用學生認知建構中的“不多不少”來進行；二是要積極幫助學生理解平均數的代表性、虛擬性和易變性，體會從不同的角度來建構平均數的本質特征。也就是教師在教學平均數時需要讓學生經歷、體驗平均數的產生及應用，了解平均數特征，領悟平均數的統計意義及價值，掌握平均數的計算方法。

1.基于生活經驗，初步體會平均數的意義

從學生所熟悉的現實情境和已有的知識經驗出發，讓學生能夠積極地開展思維活動。課始，教師出示小紅踢5次毽子的情況統計圖（如圖1）并設問：如果要用一個數來記錄小紅踢毽子的水平，會是怎樣的數呢？讓學生在討論的過程中逐步體會到24最能代表這5次成績的一般水平。接著質疑：你們是怎么得到這個24的？它又代表什么意思？

生1：通過把次數多的分給次數少的，這樣每一次均是24。

生2：通過把5次成績相加得到一個總數，再平均分成5份，就是（23+28+22+26+21）÷5=24。

生3：這個24就是他們平均分了以后得到的。

生4：24是不多不少的一個數。

……

通過思考、討論后，學生初步感受到24是個平均數，最能代表小紅5次跳繩的真實水平，也懂得了平均數可以通過“移多補少”或者“總數÷總份數=平均數”來求得。筆者認為，提供一份“有生活經驗的素材→進行觀察比較→引向深層次分析→指向知識本質的思考”是概念教學的有效實施路徑，學生在“觀察表面個數→發現這些數據不能解決問題→找最合理的數作為代表”的過程中逐步明白平均數的概念。

2.基于多重辨析，深入感知平均數的特征

概念的形成是從外部的、比較具體的非本質特征到內部的、比較抽象的本質特征的不斷深化的過程，更是學生心理的建構過程。因此，實現平均數從“生活化”到“數學化”，使學生學會用數學的眼光來分析問題需要一個不斷強化、辨析的過程。

學生初步理解平均數之后，教師再次設問：假如小紅第6次剛好踢了24個，這六次的平均數還是24個嗎？為什么？學生很快知道平均數依然是24。接著追問：第6次的24與平均數的24意思一樣嗎？通過討論，學生們一致認為第6次的24是實實在在踢出來的，而平均數24是一組數據平均后的一般水平，兩者意思不一樣。這樣讓學生充分感知到平均數虛擬性的特征。

隨后，繼續研究第6次踢毽子數量的可能性：假如小紅的狀態不好，第6次踢了6個，平均數會發生怎樣的變化？會比6還小嗎？組織學生列式計算出具體的平均數，并質疑為什么是21個。假如小紅的狀態特別好，第6次踢了42個，現在的平均數又會發生怎樣的變化？會比42大嗎？如果第6次比42個還多，平均數又會怎樣？通過這一系列的討論，讓學生感受到平均數的變化是有一定區間的：總比最大的小，比最小的大，同時也感覺平均數是一個敏感數，容易受統計數據內某個數據的變化而變化，特別是受極端數據的影響較大，會偏離“大多數”。

雖然平均數容易受極端數據的影響，但當統計量較多時，一些極端數據對整個數據的平均數影響不大，而當這些極端數據顯得十分極端時，對整個數據的影響依然存在。教學時，教師應讓學生充分感受到統計量個數的多少與平均數變化也存在一定的關系。教學中出示一些例子，組織學生討論極端數據與平均數的變化情況。

筆者以為，通過上述的辨析，學生對平均數的意義和特征有了較為準確、全面的理解，知道了平均數是對一組數的直觀了解，也是一組數據集中趨勢的代表，懂得了平均數的虛擬性和變化區間，引入極端數據也讓學生明白平均數存在的缺點，它能掩蓋一組數據的真實性，有時代表不了一組數據的集中趨勢，有利于引入新的統計量（中位數、眾數）來分析統計數據。

3.基于實踐運用，科學研判平均數的價值

概念教學中建構意義就是幫助學生形成對概念較深刻的理解,提高他們運用概念解決問題的能力。在明確了平均數的意義與特征后，出示兩個關于正確研判平均數價值的題目進行分析，有利于進一步掌握“平均數”的特征。

一是“平均壽命問題”（如圖2）。讓學生在充分討論的基礎上，進一步明白平均數只能代表一組數據的集中趨勢，不能代表每一個數據的個體情況；而且平均數還可以起到一個推斷更多數據（預期）的作用。

二是“比賽成績問題”（如圖3），先組織觀察兩個班級的合唱成績再進行比較，學生自然計算出原始成績的平均分401班好于402班，然后教師質疑：401班的成績真的好于402班嗎？有不同想法的嗎？

合唱比賽成績如下，哪個班級成績稍微好些呢？

生5：因為401班的平均分為86分,402班平均分為85分，所以401班的成績較好。

生6：我不同意，因為402班有4個同學的成績比401班的好。

生7：401班有個較大的極端數96，402班有個較小的極端數75，如果這兩個評委分別對一個班級好一點、一個班級差一點，就不公平了。

生8：在打分比賽的時候，往往會去掉一個最高分和一個最低分，然后取平均值。

師：如果按照生8說的，現在是哪個班級的成績好一點？

生9：401班平均分為85.2分，402班平均分為86.2分,402班成績好點。

師（小結）：兩個班級都有不一樣的極端數據的存在，所以原始的平均分并不能真正代表兩個班級的真實水平，不要被眼前的數據所迷惑，一定要通過觀察、思考分析數據背后隱藏的信息，才能讓我們科學、準確地判斷。

平均數起著一組數據的描述功能或推斷功能的作用，要讓學生深刻領悟平均數的價值，需要教師給予一個“腳手架”，讓學生在這個支架上認真分析、推理；同時把生活中運用平均數的問題通過隱含極端數據的方式呈現出來，在觀察、比較、計算的基礎上幫助學生積累分析、處理數據的方法和經驗。

總之，一個概念的習得需要經歷“感知—理解—深化”三個階段。我們通過對“平均數”一課的教材分析、有效利用“優課”資源、正確把握認知基礎，從數學本質出發來構建有深度的課堂。讓學生充分感知平均數的產生、理解平均數作為一組數據集中趨勢的代表量以及平均數受統計數據中每一個數的影響的特征，懂得能更多地利用所有數據信息開展統計學中的描述與推斷，發展學生的統計素養和數據分析觀念。