設計有效數學活動，促進知識內涵理解
——“角的初步認識”案例分析

江蘇錫山高級中學實驗學校第一小學 季欣陽

“角”是義務教育階段“圖形與幾何”部分內容學習的重要基礎。小學階段主要分兩段教學：第一階段是初步認識角；第二階段是角的再認識。本文要討論的是蘇教版數學二年級下冊“角的初步認識”的教學。由于該年齡段的學生認識抽象的角存在一定困難，所以精心設計有效的數學活動尤為重要。通過不斷摸索，我們終于從“模模糊糊”走向了“清清楚楚”，找到了一些容易被學生接受的教學方法。下面就結合幾個片段前后的設計對比，談談如何設計有效的數學活動。

一、利用已有認知，主動建構表象

【片段一 原設計】

認識特征

看圖并用“角”組詞。（出示牛角、眼角、嘴角、三角尺、書角、五角星）

談話：把這些角描出來，像下面這三個圖形就是我們數學中的“角”。（出示圖片）

提問：跟上面的3個圖形相比，你覺得角最大的特征是什么？

辨析圖形“/ ”是否為角。

指出：像這樣直直的線，數學家稱它為邊。角的兩邊連在一起，稱為相交。而這個相交的點稱為頂點。

教師示范指角方法，并用小弧線表示。學生指一指后兩個角。

提問：仔細觀察，角有幾個頂點幾條邊？

判斷三個角旋轉后是否依舊是角，并小結。【片段一 修改后】

認一認。

（1）看圖并用“角”組詞。

提問：你覺得這里面哪些可能是我們今天要研究的數學中的角？

引導：上面這些牛角、眼角、嘴角，雖然都帶有“角”字，但和數學上的角關系不大，今天就不研究了。把下面這些描出來，得到的圖形就是數學中的角。

提問：仔細觀察，角有哪些特征？

預設：直直的邊、尖尖角。

相機指出：像這樣直直的線叫做“邊”。這是它的邊，這也是它的邊。角的兩邊連在一起的點就叫“頂點”。

追問：角有幾個頂點幾條邊？

（2）教師邊說邊示范指角方法，并用小弧線表示。學生指一指后兩個角。

（3）判斷三個角旋轉后是否依舊是角。

指出：雖然位置發生了改變，但它們還是具備角的兩個特征，所以是角。

教師在最初設計時考慮到角的知識過于抽象，為了降低理解難度，設計了很多引導，限制了學生的發揮空間，使得教學過程十分僵硬。但試課后卻發現學生的認知水平遠高于預設，他們有一定的生活經驗，之前也初步認識了簡單的平面圖形，完全能感知到立體的角和近乎平面的物品上的角的差別。所以經過修改，讓學生憑借數學直覺從六個“角”中找出本節課要研究的對象，經過抽象，舍去無關因素，突出數學意義上的角，讓學生在頭腦中初步建構角的表象。在觀察角的特征時，并不需要教師提供“/ ”這樣的圖形，學生基本都能說到“尖尖的”，教師結合回答指出：“角的兩條邊連在一起的點就叫做頂點”。由于“相交”概念不屬于本階段學習范疇，故在修改后刪除了這個詞。

此外，修改后的教學環節條理更清晰，安排更合理。主要分四個層次，第一層次，揭示數學意義上的角，讓學生在頭腦中初步形成角的表象。第二層次，通過觀察認識角的特征。第三層次，規范指角的方法，即從頂點出發，指兩條邊，并用弧線表示兩邊所夾空間。這個層次一方面是讓學生進一步感受角的特征，另一方面是為后續以靜態描述方式定義角（即“從一個點引出兩條射線可以組成角”）做孕伏。第四層次，提供角的變式，豐富角的感知材料，深化角的表象。

對比前后兩次教學，明顯能感覺到后者給了學生更大的發揮空間，也更尊重他們的已有認知，充分體現了學生在課堂中的主體地位。通過層層遞進的教學環節，讓學生自主建構角的表象，發展空間觀念。

二、借助游戲活動，深化角的認知

【片段二 原設計】

學生拼搭一個角，使它變大或變小。同桌兩人比角。

全班交流如何比較兩個差不多大的角。

小結方法——觀察法和重疊法。

（出示兩條邊很長的角）

提問：這個角比你們做的角都要大，你同意嗎？

學生上臺用重疊法比較。

指出：角的大小與兩邊張開程度有關，兩邊張開得大，角就大；張開得小，角就小。與所畫邊的長短有關系嗎？

【片段二 修改后】

做一做。

（1）出示要求，學生做一個角。

引導學生想辦法比較兩個差不多大小的角。

介紹重疊法，指出觀察法和重疊法的適用情況。

同桌兩人比較角的大小。

（2）談話：下面我可要請小朋友們給手中的活動角施點魔法了。你可得邊玩邊思考！聽好魔法指令！請讓手中的角變大點！再變大！還再大一點！變小！再變小！還要更小！

提問：有什么發現嗎？

談話：我這里還有一個超級角呢！比你們任何一個人做的角都要大！

提問：我這個角大不大？你怎么覺得它大了？（邊很長）

請提出反對意見的學生做一個比“超級角”大的角，并用重疊法比一比。

引導：我要把這個角的邊再變長點，這下比他的角大了吧？再變長點，夠大了吧？再變長，大不大？如果我把邊剪短一些，這個角變小了嗎？再剪掉點，變小了嗎？再剪掉！變小了嗎？（很短的邊）

提問：通過剛才的游戲活動，你有什么想說的嗎？

指出：角的大小只和兩邊張開程度有關，兩邊張開得大，角就大，兩邊張開得小，角就小，和所畫邊的長度沒有關系。

在游戲中學習是每個學生喜聞樂見的形式，也是習得知識與技能的一種重要途徑，又特別符合二年級學生的心理特點，所以課堂中添加游戲無疑像注入了“催化劑”。

本節課的難點是認識角的大小只與兩邊張開程度有關以及掌握比較角的大小的方法。如何才能讓學生深刻體會知識的內涵，教師又如何引導學生以積極的心態投入數學學習一直是筆者思考的問題。原本筆者的設想是只要讓學生玩起來，就能激發他們的學習興趣，促進知識的吸收，但事實上缺乏“思”的“玩”在數學教學中毫無意義。所以就出現了學生玩過后還是沒有理解知識的內涵的現象。所以修改后筆者引導學生帶著思考去玩，這樣更有針對性。該片段同樣設置了三個層次：第一層次，做角并比較大小，掌握重疊法；第二層次，讓學生經歷角變大變小的過程，初步感受角的大小和兩邊張開程度有關；第三層次，利用歸謬思想，讓學生在一次次辨析中進一步感知決定角的大小的因素。其中最精彩的就是將角的兩邊三次延長，再三次剪短，直至兩邊變得非常短的過程。夸張的演示給學生留下了深刻的印象，使他們能更好地理解角的大小只與兩邊張開程度有關，對角的認識也更進了一步。

三、分層拓展訓練，有效內化知識

【片段三 原設計】

總結與提升

1.想想做做第3題。（略）

2.想想做做第4題。

比較兩塊三角尺上的角，并找出最大的一個角。

學生演示用重疊法比較角的大小。

指出：兩塊不同的三角尺上有一個角是一樣大的，說明角的大小和兩邊的張開程度有關。

3.拓展訓練

有序地數一數圖形里有幾個角。

交流展示：三條邊：2+1=3；四條邊：3+2+1=6；五條邊：4+3+2+1=10……

提問：如果一百條邊，你能用算式表示一共有幾個角嗎？

【片段三 修改后】

（一）深入認識

1.比一比。

（1）想想做做第3題。（略）

（2）想想做做第4題。

引導：每塊上分別有幾個角？請同桌兩人相互比一比尺上的角，說說有什么發現。

預設1：兩塊形狀不同的三角尺上有一個角（直角）是一樣大的。

預設2：形狀相同的三角尺上，對應位置的角一樣大。

出示兩塊教具三角尺，引導學生思考大小三角尺上角的關系，并驗證。

小結：形狀類似的兩塊三角尺，雖然大小不同，但對應位置的角總是一樣大的。

（二）內化知識

1.連一連。按順序把點用直線連起來。

交流連成了什么圖案，并指一指角，說說是怎么看出來的。

指出：角有一個頂點和兩條直直的邊，連點成線就能創造出包含很多角的圖形。

2．折一折。

出示一張正方形紙。

引導：這上面有幾個角？除了這4個角，你還能再折一個角出來嗎？展示并比較兩位學生折的角。

引導：繼續折一個比這個再大一些的角。你是怎么折的？（往里折點）

3.剪一剪。

出示：剪掉正方形紙的一個角，還剩幾個角呢？

學生活動，并展示作品。

……

引導學生想出更多方法。

在圖形的學習中，操作對學生來說至關重要，只有經歷了畫、擺、折、剪等數學活動，才能有效內化所學知識，所以習題的挑選和設計十分關鍵。原設計的練習按部就班，顯得不夠新穎，也缺乏思考，最后一題拓展又過分拔高要求。于是筆者重新布局，將教材中比較簡單的第3、4題歸為一塊，意在豐富學生對角的感知，促進他們進一步掌握比角方法。另外設計了連一連、折一折、剪一剪三個游戲，拓展思維的同時使學生感受角與平面圖形的內在聯系，發展空間觀念，為以后“圖形與幾何”的學習埋下伏筆。這樣的設計既促進了知識內涵的理解，又培養了學生的數學素養。

通過打磨“角的初步認識”這節課，筆者意識到教學中只有設計有效的數學活動，才能讓學生真正有所收獲，數學核心素養才能得到發展。