1+1=2 到底教會了學生什么？
——小學加法算理研究對學生加法計算能力的重要性研究

江蘇南京市考棚小學 婁力云

一、什么是1+1=2

提到“1+1=2”這個算式，無人不知，無人不曉，剛入學的小學生都能脫口而出這道算式的答案。一年級數學教材里，也涉及了簡單的加法算式。我們在日常教學中往往會發現，學生的口算能力并不是在課堂上得到提高，而是在“計算能手”“口算冊”里得到提高。學生通過大量的計算練習，使得自己的口算做得又對又快，然后走進一個誤區，就是“我會了”。筆者不禁想問，學生真的會了嗎？他們學會的到底是什么？

數是一個神秘的領域，人類最初對數并沒有概念。但是，因為生活的需要，讓人類腦海中逐漸有了“數量”的影子。“數”起源于遠古時代，為了維持生活，人們必須每天外出狩獵和采集果實。有時他們滿載而歸，有時卻一無所獲；帶回的食物有時富余，有時卻不足果腹。生活中這種數與量上的變化，使人類逐漸產生了數的意識。在那個時候，人類開始了解有與無、多與少的差別，進而知道了一和多的區別，然后又有了從多到二、三等單個數目概念的形成。

“1+1=2”，就是一個蘋果加上另一個蘋果，等于兩個蘋果；就是一朵花加上另一朵花等于兩朵花；一件衣服加上另一件衣服等于兩件衣服。推廣之，就是一個物體，加上另一個物體，等于兩個這樣的物體。“1+1=2”，它是一道算式，但又不僅僅是一道算式，它是建立在數量上，由于數量發生變化之后的數量與數量之間的變化關系式。

二、加法究竟應該怎么教

1.算式背后的數學含義

在蘇教版數學一年級上冊“10以內的加法和減法”中，有這樣的一道例題，如圖1。

教學3+2=5。在課前，筆者進行了學情研究。筆者教學的兩個班，每個學生都知道3+2=5。這就表明，這道數學算式的算法，學生都掌握了。筆者又了解了一下學生是怎么知道的。不少學生說，這道題家長教過。有一個學生是這樣告訴筆者的：“婁老師，3加上2，本來就是5呀，不是5是幾呢？”在了解學情的過程中，筆者發現計算方法對于學生來說并不是一個難點。對于學生來說真正沒有掌握到的，恰恰是為什么這里要用3加2。圖1中，左邊有三個學生在澆花，用3表示，右邊有兩個學生，用2表示。因為這兩個學生是另外過來的，所以要將之前的3個人和后來的2個人合起來，所以用加法。

基于上面的分析，那么當教師在教學“3+2”時，就應該有所側重。看似這道題是在教學算式，但在進行了學情了解之后，教學的重點應該放在為什么用加法計算。因為是求合起來一共有幾人，所以用加法計算。了解到這樣的數學本質之后，學生才能對其進行推廣，從而明白，當求一共有多少時，要用加法計算。用原有的數量加上之后的數量，得到的結果就是變化之后的總數量。

2.加法算式算理理解對于加法計算的幫助

在教學當中，教師經常會遇見一種情況，就是家長在與教師交流時，總是會抱怨孩子在做10以內加減法計算時，總是會錯那么幾題，不知道該怎么辦。在前文中提到，學生在做計算練習時，通常是以刷題為主，運用到的都是10以內加減法的算法而非算理。

筆者在班級中選擇了4個學生，做了兩組對比分析，每組兩人。將A組學生聚集在一起，針對練習冊上的錯題“4+5”，套上實際情景，結合情境給學生分析了錯題的算理，并讓學生以兩人一組的形式互相把“4+5”這道算式背后的數量關系說給對方聽。而對B組的兩位同學沒有做過多干預，在糾錯時僅僅讓他們靠記憶力去想，4+5究竟等于幾。每天筆者都選取了一道10以內的加法題進行了對照試驗。兩周后，A組的兩位同學在計算中的錯誤明顯減少。說明當學生加強了算理的理解時，其數學計算能力也隨之得到了提高。

三、小學數學加法算理研究對數學學習的重要性

1.什么是算理

何為算理？顧名思義，算理就是計算過程中的道理，是指計算過程中的思維方式，是解決為什么這樣算的道理。如計算3+2時，就是根據數的組成進行演算的：把3個一和2個一相加得5個一，5個一就是5，這就是算理。

2.算理與算法的關系

當學生進行了一定量的練習以后，發現了計算的規律，在此基礎上引導學生抽象概括出普遍適用的計算法則，這就是算法。從上面的分析可以看出算理與算法之間的關系：算理是客觀存在的規律，算法卻是人為規定的操作方法；算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度；算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉和概括，算法必須以算理為前提，算理必須經過算法實現優化，它們是相輔相成的。

3.如何處理算法和算理之間的關系

（1）引導研究，理解算理

學生只有真正理解了計算的道理，才能“創造”出計算的方法，才能理解和掌握計算方法，才能正確迅速地計算，所以計算教學必須從算理開始。教師要引導學生對計算的道理進行深入的研究，幫助學生應用已有的知識領悟計算的道理。

（2）及時糾錯，鞏固練習

教師要善于發現在計算上有障礙的學生，及時對其進行糾錯。如果學生對加法算式的算理理解不到位，教師應進行及時的講解,并讓學生內化算理，用自己的語言，配合實際情境去分析，最終進行抽象理解，運用在平時的計算當中。

（3）內化算理，歸納方法

算理是計算的思維本質，如果都這樣思考著算理進行計算，不但思維強度太大，而且計算的速度很慢。為了提高計算的速度，使計算更方便、快捷，就必須尋找到計算的普遍規律，抽象、概括出計算法則。學生在理解、內化算理的基礎上進行歸納，歸納出加法計算的一般方法，這才是我們認識算理的最終意義。

這樣的教學模式以思維為主線、以算理為先導、以創造為契機，學生不但理解了算理，而且創造出了簡便的計算方法，并發現計算的規律，歸納出計算的法則，實現了算理與算法的統一。