消費者均衡和生產者均衡的“鏡像”分析

崔俊富，苗建軍

（南京航空航天大學 經濟與管理學院，江蘇 南京 210016）

消費者和生產者是市場的參與者，消費者購買商品、服務，生產者提供商品、服務。消費者要實現固定預算的效用最大化或者固定效用的預算最小化，生產者要實現固定成本的產量最大化或者固定產量的成本最小化。[1]為了簡化分析，本文僅討論消費者實現固定預算的效用最大化和生產者實現固定成本的產量最大化。作為市場有聯系的“對立”方或者“對面”方，消費者與生產者之間如同某個個體照鏡子一樣，可以與鏡子中自己的“像”做出相同的動作、表情等等，消費者是生產者的“鏡像”，生產者是消費者的“鏡像”，他們追求利益最大化的行為具有相似性，因而對兩者均衡的分析也具有相似性，某種程度上是“鏡像”分析。[2]

一、消費者均衡

消費者購買商品是為了獲得效用，不同的商品提供不同的效用，單個消費者如何選擇不同商品以實現固定效用最大化便是消費者均衡的實現問題。消費者均衡可以使用三種方法來模擬，分別是邏輯分析法、幾何分析法和數理分析法。邏輯分析法使用邏輯推理來模擬消費者均衡的實現，幾何分析法使用幾何推導來模擬消費者均衡的實現，數理分析法使用數理演算來模擬消費者均衡的實現。[3]

（1） 邏輯分析法

x1,x2,...,xn分別代表種 商品， p1,p2,...,pn分別代表種商品的價格。令分別代表種 商品帶來的邊際效用為貨幣的邊際效用。如果

那么，消費者會選擇增加單位價格邊際效用較高的商品，減少單位價格邊際效用較低的商品，最終會實現

該均衡條件意味著單位價格的不同商品帶給消費者的邊際效用應相等，等于一元錢的邊際效用。邏輯分析法簡單明了，通過簡單的概念推理即可模擬消費者均衡的實現。[4]

（2） 幾何分析法

幾何圖形是科學研究的有力工具，消費者均衡的模擬也可以借用幾何圖形來實現。以兩種商品為例， M N 為消費者預算線， U1,U2,U3為無差異曲線。消費者不會選擇無差異曲線上的點，因為無差異曲線 U2,U3代表的效用高于。消費者也不會選擇無差異曲線上面的點，因為在的預算下，無法達到該效用水平。最終，消費者最優化的選擇是選擇E點，如圖1所示。該點為消費者預算線與無差異曲線的切點，該點為的預算下所能達到的最大效用水平。[5]

圖1 消費者均衡

斜率為

無差異曲線 U (x1,x2)符合

可得其斜率為

可得

該式即為式（3）。幾何分析法最大的優點是直觀，消費者均衡點的選擇一目了然，就是E點，其最優值的計算轉換為斜率等式。其缺點是幾何圖形嚴重受到空間維數的影響，1維空間、2維空間、3維空間都可以由幾何圖形來表示，但是空間維數一旦大于3維，就很難由圖形來表示了，其斜率等式將轉換為超平面的斜率等式，這與數理分析法的思想就類似了。

（3） 數理分析法

在數理上消費者均衡可以轉化為約束最優化問題，也就是在固定約束下的效用最優化問題，約束最優化比較常見的方法是拉格朗日乘數法。約束方程是式（1），構建拉格朗日函數[6]

最優化的條件為

經過變換可得

該式即為式（3）。與邏輯分析法和幾何分析法相比，拉格朗日乘數法具有明顯的優點。一是通過最優解的求解，非常嚴謹地模擬了最優化的形成過程，導出式（11）。二是不再受到空間維數的限制，可以推廣到多維空間的最優化模擬。[7]

二、生產者均衡

生產者是消費者的“鏡像”，其行為與消費者是相似的，生產者如何選擇不同的生產要素以實現固定成本的產量最大化便是生產者均衡的實現問題。生產者均衡同樣可以使用邏輯分析法、幾何分析法和數理分析法三種方法來模擬。

（1） 邏輯分析法

令mp1,mp2,...,mpn分別代表種 生產要素帶來的邊際產量，為貨幣的邊際產量。如果

那么，生產者會選擇增加單位價格邊際產量較高的生產要素，減少單位價格邊際產量較低的生產要素，最終會達到均衡條件

該均衡條件意味著單位價格的不同生產要素帶給生產者的邊際產量應相等，等于一元錢的邊際產量。[8]

（2） 幾何分析法

生產者均衡的模擬也使用幾何分析法來實現。以兩種生產要素為例。為生產者成本線，Q1,Q2,Q3為等產量曲線。消費者不會選擇等產量曲線上的點，因為等產量曲線代表的產量高于。消費者也不會選擇等產量曲線上面的點，因為在的成本下，無法達到該產量水平。最終，生產者最優化的選擇是選擇點，（見圖2）該點為生產者成本預算線與等產量曲線的切點，該點為的預算下所能達到的最大產量水平。[9]

圖2 生產者均衡

斜率為

可得其斜率為

可得

該式即為式（14）。與消費者均衡的分析類似，幾何分析法最大的優點是直觀，生產者均衡點的選擇一目了然，就是E點，其最優值的計算轉換為斜率等式。其缺點也是嚴重受到空間維數的影響，空間維數一旦大于3維，就很難由圖形來表示了。[10]

（3） 數理分析法

在數理上生產者均衡可以轉化為約束最優化問題，也就是在固定成本約束下的產量最優化問題。構建拉格朗日函數[11]

最優化的條件為

經過變換可得

該式即為式（14）。與消費者均衡的分析類似，數理分析法的優勢可以非常嚴謹地模擬最優化的形成過程，導出式（22）。另外，不再受到空間維數的限制，可以推廣到多維空間的最優化模擬。

三、生產者的自身“鏡像”—生產與成本分析

上面分析了消費者均衡和生產者均衡存在“鏡像”關系，其分析思路和分析方法是一致的。對于生產者自身，生產者的生產選擇活動就是成本選擇活動。因此，生產選擇與成本選擇也互為“鏡像”，只是與消費者和生產者的“對立面鏡像”不同，這種“鏡像”關系更像是一面鏡子的正面與背面。

（1） 生產函數與成本函數的“鏡像”關系

生產函數改寫為

成本函數改寫為

這里存在一個不確定性，同一成本對應的生產要素組合 y1,y2,...,yn不一定是唯一的，因而同一成本值有可能對應了多個產量值。[12]如果施加非常嚴苛的條件，假定生產要素 y1,y2,...,yn為等比例的；或者多生產要素中僅有一種生產要素改變，而其他生產要素不變；或者是單生產要素函數，那么產量值和成本值就存在一一對應的關系，生產函數可轉換為

（2） 短期對于勞動要素的討論

經濟學微觀領域比較接近的情況是短期對于勞動要素投入的討論，可以假定其他要素（土地、廠房、機器）是不變的。生產函數為

成本函數為

假定價格不變，因為其他生產要素都是常數，因而可以進行合并

其中， W =p1yˉ1+p2yˉ2...+pnyˉn。

此時生產函數和消費函數將具有一些非常優良的性質。邊際成本函數

根據邊際成本函數和邊際產量函數的關系以及平均成本函數和平均產量函數的關系，總產量函數為“S”型曲線，而總成本曲線為反“S”型曲線，如圖3中和所示。在特別嚴苛的條件下，例如 yi=0,i≠L 且，總產量函數曲線和總成本函數曲線關于45°線對稱，如圖3中和所示。[13]

圖3 生產曲線與成本曲線

四、結語

通過上面的分析可知，消費者和生產者作為市場的參與者，其行為具有相似性，消費者是生產者的“鏡像”，生產者是消費者的“鏡像”，都可以使用邏輯分析法、幾何分析法、數理分析法對最優化進行模擬。生產者自身的生產分析和成本分析也是“鏡像”分析，在特定的條件下，生產函數和成本函數可以轉換為函數與反函數關系，例如短期對于勞動要素投入的討論具有許多非常優良的性質。這種消費者和生產者“鏡像”分析討論也可以推廣到經濟學的其他領域。[14]