例談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

李艷玲

摘 要：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)思想方法貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，是長期的數(shù)學(xué)發(fā)展所積累下的精髓。基于此，本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)特征，對如何挖掘和滲透數(shù)形結(jié)合思想方法以及指導(dǎo)學(xué)生理解和運用做簡要分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想方法;滲透

數(shù)形結(jié)合思想是高中階段數(shù)學(xué)知識中最基本的思想方法之一。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際認知水平和特點，來選擇恰當且有效的方法完成數(shù)學(xué)思想的滲透。長此以往，促進學(xué)生內(nèi)在掌握知識與方法的遷移，使數(shù)學(xué)素養(yǎng)在潛移默化中得以提高。

一、數(shù)形結(jié)合思想的滲透原則

（一）等價性

代數(shù)的性質(zhì)在于其與幾何圖形之間產(chǎn)生轉(zhuǎn)化關(guān)系時，必須要雙方相等，這樣才能夠使最終數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)出一致性。而具體地無論是在作圖還是計算方面都要精準無誤。例如，解方程x3（1）=2sinx有（）個實根，分別給出了“3、5、7、9”這四個選項。如果作y=?x3（1）和y=2sinx的圖像，由于兩個函數(shù)均為奇函數(shù)，所以只需要作x≥0的部分即可。即∵當x>8時，x3（1）>2≥2sinx∴只需要取[0，3π]上這一段即可。從圖像中還可以發(fā)現(xiàn)，除了原點之外有3個交點，再根據(jù)奇偶性還可以得到其余7個交點的所在位置，故答案為7。從解題過程中可以發(fā)現(xiàn)，在解題時沒有遵循等價性的數(shù)轉(zhuǎn)形原則而導(dǎo)致了錯誤，其實當x=8（1）時，（8（1））3（1）=2（1）>2×8（1）>2sin8（1），因此，在[0，2（π）]內(nèi)還有一個交點，所以正確答案是9。

（二）雙向性

代數(shù)的抽象性與幾何圖形的直觀性是二者最顯著的特點，那么在將這二者進行相互融合時就需要利用到代數(shù)運算的精確性與幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點，二者相互融合便是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。例如，假設(shè)變量x，y滿足x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0這三個約束條件，那么目標函數(shù)z=2x+3y+1的最大值是多少？四個選項分別為11、10、9、8.5。接著，首先要明確不等式組所表示的可行域，然后將z=2x+3y+1簡化為y=-3（2）x+3（z）-3（1），再聯(lián)系圖像可以知道z=2x+3y+1在點A處可以取得最大值，進而由x+2y-5=0和x-y-2=0得出x=3，y=1，所以z=2×3+3×1+1=10。故答案為10。

（三）簡潔性

數(shù)與形的轉(zhuǎn)換需要利用到二者雙向性特點，兼顧各自優(yōu)勢才能夠使解題的思路與過程更加完美。例如，假設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，那么實數(shù)a的取值范圍是多少？解：令g（x）=a^x（a>0且a≠1），h（x）=x+a，這時會出現(xiàn)01這兩種情況，需要在同一坐標系中作畫兩個函數(shù)的圖像。如果函數(shù)f（x）=a^x-x-a有兩個不同的零點，那么就說明函數(shù)g（x）和h（x）也存在有兩個不同的交點。觀察圖像，只有在a>1時，才能夠符合題目中的要求，所以實數(shù)a的取值范圍為a>1。

二、數(shù)形結(jié)合思想在不同問題中的分析

（一）集合問題

集合問題是學(xué)生早就接觸過的知識，也是在高中數(shù)學(xué)課程中較早接觸的知識。它相比于之前的知識難度已經(jīng)有所上升，而恰恰集合問題又是向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想的有效載體。那么教師應(yīng)幫助學(xué)生在解決集合問題的過程中學(xué)會熟練使用數(shù)軸與韋恩圖，當學(xué)生學(xué)會如何利用這兩個工具來表示已知集合關(guān)系之后，就能夠很快地來從圖中找出問題的答案。例如，已知全集U={x丨x取不大于30的質(zhì)數(shù)}，A，B是U的兩個子集，且C_UB={3，5，7，13，23}，A∩B={11，19，29}，C_UA∩C_UB={3，7}，求AB。首先，可以通過畫韋恩圖來得出C_U（A∪B）={3，7}，A∩B=（2，17），又因為U={2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}，所以A={2，5，13，17，23}，B={2，11，17，19，29}。

（二）三角函數(shù)

學(xué)生最初接觸三角函數(shù)是初中階段的正弦、余弦與正切，當然那時接觸的三角函數(shù)還是比較初階的知識。回到高中數(shù)學(xué)課程來看，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在單位圓上去認識和完成對新概念知識的建構(gòu)，這也從側(cè)面向?qū)W生提出了更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求。那么在實際授課過程中，首先要掌握的知識就是三角函數(shù)的基本特征，即學(xué)會如何熟練且靈活地運用單位圓證明三角函數(shù)的誘導(dǎo)函數(shù)。這時便出現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，通過直角坐標系即可迅速地將推導(dǎo)過程直觀化。比如：90°+α。定名：90°是90°的奇數(shù)倍，所以應(yīng)取余函數(shù);定號：將α看做銳角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦為正，余弦為負。所以sin（90°+α）=cosα，cos（90°+α）=-sinα。

（三）圓錐曲線

圓錐曲線問題涉及到橢圓、雙曲線以及拋物線的圖像、性質(zhì)和定義，這其中充滿了數(shù)形結(jié)合思想與相關(guān)方法。要知道，這些圖像與基本性質(zhì)都和直線的位置有密切聯(lián)系，這些看似復(fù)雜的聯(lián)系其實和直線與圓的位置關(guān)系是十分相似的。再如過定點與定直線之類的問題，都可以根據(jù)圖像的特征，聯(lián)系直線與圓的關(guān)系、距離公式或弦長公式進行求解。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想可以實現(xiàn)抽象代數(shù)問題與直觀幾何問題之間的相互轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜的問題變得直觀且簡單易解。教師應(yīng)善于靈活選擇多種不同的方式滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)思想對于自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要意義，進而在解決問題的過程中加以靈活運用。

參考文獻：

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